Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Егоров рассматривает случай, когда А, — Земля, а А, — Луна. Он показывает, что траектория сближения обязательно должна выйти из сферы действия Луны. Иными словами, захват Луной космического корабля с Земли на траектории сближения невозможен. Значит, если захват снаряда с Земли и может произойти, то это во всяком случае не может быть на траектории сближения. Вывод В. А. Егорова следует из того, что участок траектории сближения внутри сферы действия Луны весьма близок к гиперболе (в селеноцентрической системе координат, то есть в системе отсчета с началом в центре Луны и с неизменно ориентированными осями координат).
Аналогично можно показать, что неуправляемый снаряд, который запущен с Земли и вошел в сферу действия какой-либо планеты (относительно Солнца) на первом своем обороте вокруг Солнца, обязательно выйдет из этой сферы действия (если он только не столкнется с планетой). 4.0сцилляция в ограниченной зад а ч е т р е х т е л. Будем рассматривать движение спутника двух звезд в инерциальной системе отсчета с началом в их барицентре С. Если непритягива~сщему спутнику Р двух притягивающих центров (Ао т,) и (А„т,) сообщить в какой-либо точке 262 ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ [ГЛ. Р 1! пространства достаточно большую скорость, то он уйдет в бесконечность (вспомните, например, задачу о третьей космической скорости, которую можно решить и в предположении, что ракета вовсе лишена способности притягивать).
Если же непритягивающему спутнику сообщена достаточно малая скорость, то он навсегда останется внутри некоторого конечного шара с центром в барицентре данных звезд. Может показаться с первого взгляда, что при любой величине начальной скорости, сообщенной спутнику, возможен только один из этих двух исходов. Советский математик К. А. Ситников обнаружил (см. (5.2)), что возможен еще и третий исход, а именно, может случиться, что спутник Р будет совершать колебательное (ОСЦИЛЛЯЦИОННОЕ) ДВИЖЕНИЕ: ПРИ Г' — со ЕГО РаССтОЯНИЯ От каждого из притягивающих центров А„А, не остаются ограниченными и в то же время эти расстояния не стремятся к бесконечности.
К. А. Ситников строит конкретный пример системы трех тел, в которой имеет место осцилляция. Пусть звезды А, и А, имеют равные массы т, = — и, = М; С вЂ” их бари- центр; С~Ч~ — инерциальная система отсчета; С$т) — плоскость, в которой движутся точки А, и А,. Предположим, что притягивающие центры А, и А, при своем движении описывают эллипсы с большой полуосью а и эксцентриситетом е, отличным от нуля.
Движение точек (А„М) и (А„М) будет вполне определено, если для какого-то одного момента будет задана величина угла ~р между осью С5 и вектором СА,. Пусть при 1 = О у = у„ а непритягивающий спутник Р находится в точке С и имеет скорость и,, направленную по оси Сь. Для такого частного случая ограниченной задачи трех тел К. А. Ситников доказывает следующий факт. Для каждого значения у, и каждой последовательности положительных чисел (5А) (в частности, для любой последовательности, стремящейся к бесконечности) существует такое значение и„ что при Г ) О, à — оо спутник Р бесконечное число раз пройдет через точку С, удаляясь от нее после й-го прохождения на расстояние, большее, чем ЗА, й=1,2,... ДОПОЛНЕНИЯ И ОБОБЩЕНИЯ б б) 263 5.
Периодические орбиты. Дифференциальные уравнения ограниченной плоской круговой задачи трех тел могут быть решены для любого данного конечного промежутка времени с любой требуемой точностью, если воспользоваться методами численного интегрирования. Однако получаемые таким образом результаты не позволяют судить о движении непритягивающего спутника вне этого промежутка времени. Исключение составляет тот случай, когда движение периодическое.
Движение спутника Р в ограниченной плоской круговой задаче трех тел называют периодическим, если его координаты х ((), у (б) во вращающейся системе отсчета являются периодическими функциями времени, то есть существует такая константа )б ) О, что х (1+ ).) = х ((), у (~ + )б) .= у (1) при любом т. Если движение точки Р является периодическим и мы знаем его в течение только одного периода, то тем самым мы знаем движение для любого промежутка времени. В течение последних 70 лет появилось значительное число исследований, посвященных периодическим орбитам ограниченной задачи трех тел.
Так, например, группа датских астрономов (Т. Тйле, Э. Стрем- грен и другие) дали полную классификацию периодических решений для так называемой Копенгагенской задачи, то есть для ограниченной плоской круговой задачи трех тел при условии, что массы притягивающих центров А, и А, равны (и, = тпб).
Аналогичное исследование при и, ! Лт = 1: 10 выполнил английский астроном Дж. Дарвин в последние годы Х1Х столетия. Фундаментальные результаты и методы в исследовании периодических орбит принадлежат русскому математику А. М. Ляпунову (1857— 1918) и французскому математику А. Пуанкаре (1855 — 1912). ГЛАВА Н!!1 ОТКЛОНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА ОТ КЕПЛЕРОВОЙ ТРАЕКТОРИИ й Е ВОЗМУЩЕНИЯ В ЭЛЕМЕНТАХ ОРБИТЫ 1. В главах 11 — 17 мы подробно ознакомились с движением «спутника» (Р, и) под действием тяготения к некоторому притягивающему центру (А, М). Траекторию, по которой движется спутник Р относительно притягивающего центра А, обычно называют кеплеровой.
При изучении движения спутника, помимо тяготения к притягивающему центру, часто оказывается необходимым учитывать и другие факторы, которые действуют на спутник и существенно сказываются на описываемой им траектории. К таким факторам относятся: 1) тяготение к другим небесным телам (например, тяготение спутника Земли к Луне или Солнцу); 2) сопротивление атмосферы; 3) несферическая структура центрального тела (например, сплюснутость Земли); 4) световое давление на спутник; 5) электромагнитные силы, возникающие вследствие перемещения металлических частей спутника в электромагнитном поле центрального тела.
Равнодействующую т". всех сил, учитываемых при решении задачи о движении спутника, можно представить в виде суммы двух слагаемых: Р=Р,+Р.. Одно из ннх, 1ч„— «главная» сила, с которой спутник Р притягивается к центральному телу, рассматриваемому как материальная точка; она определяется через массу центрального тела М, массу спутника л«и радиус-вектор г, соединяющий барицентр А центрального тела со спутни- О ВОЗМУЩЕНИЯ В ЭЛЕМЕНТАХ ОРБИТЫ 265 ком Р, по закону всемирного тяготения: Мт Р, = — у — т пз Второе слагаемое Р„ обычно по модулю значительно меньшее, чем Р„, называется возмущающей силой. Ускорение Ф, сообщаемое ею спутнику, называют возмущающим ускорением.
Таким образом, уравнение движения спутника имеет вид с)зг Мт т — =- — 7, г+Р, 21Р г' или 212г К вЂ” = — — г + Ф. ,122 гз Если бы возмущающее ускорение Ф было равно нулю, то уравнение (1) представляло бы собой дифференциальное уравнение задачи двух тел и определило бы кеплерову орбиту (эллипс, гиперболу или параболу). Положение, форма, размеры орбиты и положение самого спутника на ней полностью характеризовались бы шестью константами— элементами этой орбиты 23, у, е, р, оз, т *). Если же Ф+ О, то орбита, вообще говоря, не будет коническим сечением. Но мы можем все же считать, что спутник в каждый момент времени 1 находится на некотором коническом сечении, а именно на той кеплеровой орбите, на которой он оказался бы, если бы в момент 1 вдруг прекратилось действие возмущающей силы. Для каждого момента времени 1 будет своя такая кеплерова орбита. Иначе говоря, коническое сечение, на котором находится спутник, меняется с течением времени,оно как бы «дышит», то разбухая, то сжимаясь, то поворачиваясь в пространстве.
Это значит, что элементы этой орбиты, вообще говоря, меняются с течением времени, они являются функциями от времени г. Но в каждый момент времени 1 такое коническое сечение касается истинной траектории спутника в той самой точке, где в этот момент и *) Через т мм в этой главе обозначаем момент прохождения спутника через перипентр. 2бй ОТКЛОНЕНИЕ ОТ КЕПЛЕРОВОЙ ТРАЕКТОРИИ !ГЛ Уп! находится спутник. Непрерывно меняющаяся кеплерова орбита, которая строится указанным выше образом, называется оскулирующей орбитой, а ее элементь! ~ (у), у (у), е (у), р (у), ш (т), т (у) (2) называют оскулирующ ми. Если шесть функций (2) известны, то можно найти положение спутника в любой момент времени т!.
Например, если окажется, что е (г!) 1 и у (г!) + О, то три координаты спутника Р в момент г! можно вычислить по формулам (4.2.25) (предварительно придется вычислить а, Ь и Е, что нетрудно сделать). По сходным формулам можно найти положение спутника и в том случае, когда е (г!) ) 1 или е (т!) = 1. Для нахождения шести функций (2) используют вспомогательные уравнения, которые связывают производные от этих функций с самими функциями. Эти дифференциальные уравнения называются уравнениями Ньютона — Лагранжа. Для вывода уравнений Ньютона — Лагранжа воспользуемся приемом, предложенным А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
