Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 42
Текст из файла (страница 42)
8.2) выведен на круговую орбиту вокруг Земли (А — центр Земли). Вследствие торможения атмосферой спутник начнет снижаться н по пологой спиралевидной кривой будет входить в более плотные слои атмосферы. Пусть движение спутника происходит в некоторой плоскости р. Она содержит точку А и вектор и скорости спутника. 888 Откзгоиегтие От кеплеРОВОЙ тРАектОРии !Гл.
ми! В плоскости р выберем прямоугольную систему координат Аху с началом в центре Земли А (рис. 8.2). Будем на р смотреть как на плоскость комплексного переменного г = х+ ттп Пусть радиус-вектор АР в момент !' образует с осью Ах угол !р; РР == е!, ~ АР% = —;,, х' МРГ == гх, Р— сила торможения спутника атмосферой, Р = ~.0 ~, Рис. 8.2, та — сила тяготения спутника к центру Земли, так что га — тег ~ — ггИт,'г'-', 1! — масса Земли, т — масса спутника, г =- АР. Сила Р направлена противоположно вектору скорости тт, а оплате! — вектору АР, о=-)тт~.
Согласно второму закону Ньютона и+Р =- т--. ахт (9) Перепишем это равенство в комплексной форме. Для этого заметим а), что р „'(' -«- —,') :,') (ар+ ог)) е ее! = — гое'" . ('ь- ое (10) (о+ ра (1 1) ') Напомним, что если некоторый вектор имеет длину р и наклонен к осн Лх под углом О, то он изображаетси комплексным числом, пмеюши ! такую запись в показательной форме: з --.— ре' . 9 31 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ ЗЕМЛИ ЗЗЗ (12) (!э) (14) Выразим ти только через на и са, используя равенство (!4). Для этого заметим, что и =- — («е'') = («+ 1«ар) е' . Ш поэтому то есть о соз са ар = (17) Очевидно, что Пока сопротивление атмосферы не очень велико, можно считать, что а меняется медленно при вращении спутника 19 М.
Б. Бала Поэтому уравнение (9) принимает вид — не" + Йе ( ' ' = т (о+ Ы (гр+ а)) е — а (а-'„а+ — -) или (после умножения на е — г (а Р— ) — нсе а — 17 = — т Ь + !о (ар + а)), что равносильно двум вещественным равенствам: го я'пса — Е> = тс, и соз а = тгс (ар + а).
Отсюда и из (10) следует, что (« --") се ' = «+ !«ар; — оз!па = «, о соз а = «ср, гбх ° са = — ф. ~р Поэтому из (!4) получим: (15) (16) 2ЭО ОТКЛОНЕНИЕ ОТ КЕПЛЕРОВОЙ ТРАЕКТОРИИ 1Г11. ЧН! вокруг Земли, то есть допустимо пренебречь величиной аан(1р. Тогда из (18) получим приближенное равенство М ое= ~ —. (19) Используя (15) и (19), можем написать: е(х по то =-- т — — г = т — ( — о я п а) = 1(Г Й т . й(ое) т . а1 М1 и1 — — — 51п а — — — = — —.— 51п а — '(/ —. ) = — 51п а, 2 йг 2 йг( г1 2 то есть 1 то = — и1 яп а. 2 (20) Теперь из равенства (13) следует: 1 — гояпа =В, 2 (21) или АА япа = 2 — —.
и1 (22) 1Э а =2— Р (23) то есть измеренный в радианах угол а снижения спутника, движуи1егося по почти круговой орбите, примерно вдвое Эту формулу мы несколько упростим. Вес Р спутника Мт равен ~ —, где тт — радиус Земли. Если спутник движется нй на небольшой высоте (порядка 200 — 400 км), то можно Г для прикидок считать, что — = 1 (погрешность не превзойдет 12%), и поэтому и1 допустимо считать равным весу спутника.
Угол снижения спутника а будет мал (если отвлечься от последних витков, описываемых спутником перед падением на Землю), так что допустимо считать яп а =- а (а — в радианах1). Поэтому из (22) вытекает такая полезная для ориентировочных прикидок приближенная формула: 9 31 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ ЗЕМЛИ 991 больше отношения атмосферного торможения спутника к его весу. Из (13) и (21) видно, что то = Е). (24) ш созсс = той, то есть йи ш 1 — =- — — соз а. с(Г т о (25) На высотах ниже 100 км допустимо величину ш7т считать равной ускорению силы тяжести на поверхности Земли (д), так что (25) можно переписать так: (26) 19" Последняя формула и выражает «парадокс спутникаги Вследствие торможения атмосферой линейная скорость спутника, движушегося по орбите, близкой к круговой, возрастает; ускорение в направлении движения оказывается таким же, каким бы оно было, если бы сила лобового сопротивления изменила свое направление на противоположное и толкала бы спутник вперед.
Отсюда, в частности, следует, что из двух спутников, запущенных на одну и ту же круговую орбиту, быстрее будет двигаться тот, который испытывает большее торможение. Заметим, что после вхождения спутника в плотные слои атмосферы (примерно иа высоте порядка 120 — 100 км) угол а снижения спутника растет весьма быстро и уже недопустимо пренебречь производной дауда, как мы делали в предыдущем расчете.
При Опускании спутника ниже 100 — 120 км его движение резко Отличается от движения на высотах порядка 170 — 200 км и выше. Из-за сильного торможения спутник начинает быстро спускаться в более плотные слои атмосферы. При атом скорость поворота ~р радиуса-вектора Ар спутника невелика (по сравнению с й), и мы получим достаточно правильную качественную картину, если в дальнейших рассуждениях пренебрежем величиной ~. Тогда формула (!4) примет вид ОТКЛОНЕНИЕ ОТ КЕПЛЕРОВОЙ ТРАЕКТОРИИ [ГЛ. ТН! 2пв Пусть 1.„1., — дуга, по которой спутник падает на Землю (7н — начало дуги — предполагается выбранным на высоте до 100 †1 кл!, 1., — точка падения на Землю). Интегрируя уравнение (26), найдем (27) где 1н, ан и 1„а, относятся соответственно к точкам т.н и е,„.
Из (27) следует, что (н(""+~)=(н~""+~)е' ' " (28) где о,р — скорость спутника в каком-то промежуточном положении на дуге 7.„Е,. Можно показать (и это подтверждается опытом), что спутник падает на Землю со сравнительно небольшой скоростью, которая по меньшей мере в несколько десятков раз меньше его скорости на последних витках вокруг Земли. Величина О,Р тоже сравнительно невелика, а величина я — (1,— 1„) )~ 1. Это значит, что угол — а„+ — близок к ср —, а следовательно, и угол а„близок к — (радиан). Иными словами, спутник падает на Землю почти отвесно (в действительности — под углом 60 — 80' к горизонту).
Не задерживаясь на подробном рассмотрении орбит большого эксцеитриситета, отметим только, что в этом случае снижение спутника происходит почти исключительно за счет торможения в районе перигея, причем снижение перигея происходит значительно медленнее, чем снижение апогея. Например, если после запуска л„ = 700 км, л„ = 300 км, то понижение апогея на 100 км соответствует снижению перигея лишь на 6 км (см. 18.11!). С течением времени вследствие торможения в атмосфере зксцентриситет орбиты спутника будет убывать и станет практически равным нулю в последние сутки, предшествующие крутому падению спутника на Землю.
»»1 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ ЗЕМЛИ 2йз 3. «Срок жизни» спутника. Искусственные спутники Земли, подвергаясь торможению в верхней атмосфере, с течением времени опускаются в более плотные слои воздушного океана и в конце концов сгорают и.ти падают на Землю. После запуска в СССР первого искусственного спутника было опубликовано большое число исследований, в которых изучается возможность предсказания продолжительности существования спутника по данным о его орбите, известным в первые дни его полета. На продолжительности жизни спутника сказываются многие факторы. Это не только сопротивление верхних слоев атмосферы.
Это также сплюснутость Земли, вращение атмосферы, давление солнечных лучей, тяготение спутника к Луне и Солнцу. Благодаря последним двум факторам перигей орбиты спутника совершает периодические колебания, и при опускании перигея в более плотные слои атмосферы испытываемое спутником торможение увеличивается, что приводит к сокращению срока его жизни. Так, например, вследствие воздействия Луны высота перигея американского спутника «Эксплорер-6» менялась каждые 3 месяца в пределах от 250 до 160 км; вследствие этого срок жизни этого спутника составил примерно 2 года вместо 20 лет, которые просуществовал бы спутник, если бы воздействие Луны отсутствовало. Сплюснутость Земли приводит к перемещению перигея орбиты спутника без изменения расстояния от центра Земли. Если, скажем, перигей переместился от полярной области в экваториальную, то теперь он ближе к поверхности Земли и, следовательно, оказывается в более плотной среде, что должно сказаться на сроке жизни спутника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
