Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 40
Текст из файла (страница 40)
с(7 и — — 5!пи — = О, й! Ж , !1и 1~Кр 5!П 7 5!П 5!и Т с05 (30) йТ"! с05 Т— Ж Из первых двух уравнений легко находятся производные е(1 ет, — н —: е! л! д!! г япи 1 й( 7/ гсрЯП Т йТ !. соз и (31) (32) а затем нз третьего получаем еа в! йи )г Кр — = —,— — — = — я п и с1я Т Ф,. й! г )у яр (ЗЗ) Так как и = о + О, то отсюда легко можно найти веее, личину --: в! й6 ды )г й.р — — = — — + —.; — — . яп и с1ЕТФ,.
(34) 1 КР Уравнения (31), (32) являются двумя из шести уравнений системы Ньютона — Лагранжа, а уравнение (34) мы используем далее для получения остальных уравнений этой системы. 5 !] ВОЗМУЩЕНИЯ В ЭЛЕМЕ1!ТАХ ОРБИТЫ 275 !(г /К вЂ” — е 51п О, г(1 )Г р гЬ, К вЂ” = — е со50+Фг, д1 ге до„К д1 —" = — —, еяпО+ Ф,. 1 (38) Из (8) и (10) видно, что величины г, о„о„зависят от 1 через посредство трех функций О, е, р. Поэтому по правилу дифференцирования сложной функции дг дО , дг др дг де дО Л ' др д1 ' де д1 до, дО, до,. др до„де — ' — -+ - ' — + —— дО д1 др Л де !(1 ' до„ г(0 , до„ !1р , до„ де дО дК' дрЖ ' де д1 (36) При помощи (8) и (1О) находим: дг еяпО, дг г д» г, — =- —, — =- — — со5 О, дО р ' др р ' де р /К дп,, 1 /КеяпΠ— е со5 О, — — — — — 1 г р 'др 21: р р /К .
доВ /К ~/ — япО, — "= — 1 — еяпО, р ' дО 1~ р /гК 1 до„ / К вЂ” — — — — — =1, — со50. р 2г' де ) р дц. дО (37) до~ де де„ ор 18* 7. Найдем теперь Йо с~р !1е Ш' Ж' д1' Для этого обратимся к первым трем уравнениям системы (21). Используя (8) и (10), перепишем эти уравнения в следующем виде: 275 ОтклОнение От кеплеРОВОи тРлектОРин )гл. Ен! Подставляя величины (37) и (34) в (Зб), а затем (Зб) в уравнения (35), получим три линейных уравнения относительно !йа др де 11 ' с)7 ' Г(7 ' Йд 1 1(р !й Геяп 9 — е яп 9 — -1- — — — со50 — .
— Ч',, Ш Г ТУ ТУ )Г'Ггр !()л еяпбдр . й — е с05 9 —— — + япб —- Ж 2р Г(7 ' Ж (38) ГЕЕ050, ГР Ч)е+ ~à — Ф„ !нее 1 1)р т) е еяп0 — — — — + со59 — = Ш 2Г Ж ' Ш Гезшб ГГр — Ч з + ~, ~. Ф! где Ч"е = яп и с19 у Фе. Складывая первое и третье уравнения, найдем —: и! ' (39) Подставляя найденное — в первое и второе уравнения и др !)1 привлекая уравнение (8), после несложных выкладок получим .— и) + 1+ — — ) — — Ц) с050 Г 151ПΠ— — с1к 7 яп и Ф,1, (40) р — = ! — ) яп 0 Ф, + ~ 1! -1- — ! соз 0 + е — 1 Фе с, (41) 2 11 возмущения в злеме11тлх оевиты втт Приведем еще без вывода формулы для производной оску- лирующего элемента т: й.г 1.2 р а1 еК~ — = — ~ (е яп 8Л1 — соз О) Ф, + — ЛФ2~ .
(42) Здесь 22 2р21' соз ОйО Р ) (1 + е соз 0)2 ' О (43) Уравнения (31), (32), (39) — (42) и аредспшвляют собой искомую систему уравнений Ньютона — Лагранжа. 8. Во многих практически встречающихся случаях возмущающее ускорение 112 не зависит явно от времени 1. Тогда и правые части дифференциальных уравнений Ньютона — Лагранжа тоже ие зависят явно от 1. В этом случае целесообразно принять за независимое переменное вместо времени 1 аргумент широты и (8.111. Воспользуемся для этого уравнением (33), которое перепишем в виде с(и 1' Кр и'1 геГ (44) где 1 1 — — с18 тяп и<112 Кр (48) Переходя в уравнениях (31), (32), (39) — (42) к дифферен- цированию по и, при помощи (44) получим; (46) (47) (48) йР йи 2ГГ йи йр Ф,, 1-'Гяп и Кр 51П 7 г2à — соз иФ„ Кр 2г'à — Ф, К 2 г'à — ~51п ОФ, Ке ~ + соз 0(1 -1- — )Ф, + е — Ф2~, (49) 273 ОтклОнение От кеплеРОВОР! тРАектОРии 7«л, Р111 т(В! «'Г г / !' — — — соз ОФ„-г еяп О ~ 1 + — Ф,— Йи Ке~ " (, р) — е — с1я Т я и и Ф,1, (50) р — ~ (е яп 0 Х вЂ” соз О) Ф, + — А7 Ф,1 .
(51) 1(т г'Г г . р .К)К ~ Заметим, что формулы (46) — (51) получаются из уравнений (3!), (32), (39) — (42), если в последних заменить | на и и правую часть умножить на «ВГ!'Г«Кр. 4 2. ВЛИЯНИЕ СПЛЮСНУТОСТИ ПЛАНЕТЫ НА ТРАЕКТОРИЮ СПУТНИКА Как мы уже отмечали в главе 1 (э 3), потенциал планеты, имеющей форму сжатого сфероида, можно вычислить по следующей приближенной формуле: (7 = — + (,К вЂ” ' — (3 яп' Ч" — 1), К К 1 г' 2 где г — расстояние от барицентра планеты (А) до спутника (Р), Ч' — угол наклона радиуса-вектора спутника АР к плоскости экватора, «г, — экваториальный радиус планеты, l, — безразмерная константа, К =- г̄̄— масса планеты. В случае Земли Уе =- — 1082,8 10-'.
Отметим без доказательства, что 7, можно вычислить по формуле В', = — — ' — 2а (2) где д, — ускорение силы тяготения к планете на экваторе, б — угловая скорость вращения планеты вокруг ее оси и а — сжатие планеты. Будем рассматривать движение спутника планеты в следующей системе отсчета: за основную плоскость Аху примем плоскость экватора; направление оси Ах сохраним неизменным в пространстве (в частности, в случае Земли ось Ах направим в точку весеннего равноденствия); ось з М влияние сплюснэтостн планеты нл тглвктогню Втз и, = (,К вЂ”; (3 ! - Ч вЂ” 1).
(3) Вычислим проекции возмущающего ускорения Ф, сообщаемого спутнику, на оси координат А я, Ап, А ь: дУ, дУ, дУ, Ф1 ~ Ф2 ФЗ дэ ' дп ' дь ' (4) Проектируя на небесную сферу плоскости меридиана, экватора и орбиты спутника, получим прямоугольный сферический треугольник. Величины и, Ч", у являются в этом треугольнике соответственно гипотенузой, катетом и углом, противолежащим этому катету. Согласно известной формуле сферической тригонометрии 10.17! япЧ'= яп ияпу. Поэтому К)~ 2 (/1 У,— — (3 яп и яп т 1). (б) Дадим г приращение Лг, а и и у менять не будем. Тогда Л$ — Лг, Лп = Ль = О, а У, получит приращение ЛУ,. Поэтому дУ, . ЛУ, дС', Ф, = — „' = ! ни — — ' —. да~ зг о Лг д~ то есть Ф = — — Уа — — '- (3 яп' и я'па т — 1).
3 КК 2 " г4 (6) Дадим величине и малое приращение Ли, а ги т закрепим. Тогда $ и ь не изменятся, а и получит приращение, Ак направим в один из полюсов планеты; ось Ау выберем так, чтобы система Акуг была правоориентированной. За возмущающую силу мы примем разность между силой, с которой спутник притягивается к планете, и силой, с которой спутник притягивался бы к точке А, если бы в ней была сосредоточена вся масса планеты. Возмущающая сила имеет потенциал зао ОтклОнение От кьплеРОВОЙ тРлектОРНН !Гл. т Н1 равное г Ли; У1 получит приращение ЛУ1.
Поэтому дУ, . ЛУ, . ЛУ, 1 дУ, Фа = ' =- И п1 — ' = 1! гп — ' =— дЧ а4 о Лт! Ли 4 1'Ли 1 ди то есть Ф, = —,)2 — '51п2ияп'у. 3 КК. При помощи несколько более сложных выкладок можно показать, что 3 Кй", Ф, =- — 12 — 'яп и яп 2у. 2 г' (8) Получим теперь (в первом приближении) скорость изменения элементов орбиты спутника в предположении, что оскулирующая орбита — эллипс. Начнем с долготы восходящего узла 41. Обозначим через 4(д/с(Л' изменение параметра й за один оборот спутника, то есть от того момента, когда и = О, до того момента, когда и = 2п: Но в силу (8) и (8.1.46) тЯ г'Г яп и 3 К)т'1 — = — — — 12- 4'яп и 51п 22— 4(и Кр я'ну 2 ' г4 Д2à — 3,12 †', соз у яп" и !1 + е соз (и — ы)1.
р тИ пй",, 180 Р', 2 — = 34'2 —;-' со5 у рад.'об — 3/2 - — — „' соз у град,'об. (10) Проинтегрируем это выражение по и от 0 до 2Л. При этом можно в первом приближении принять, что Г = 1 и что в течение одного оборота можно считать р, 24 и у постоянными. г! Влияние сплюснутости плАнеты нА тРАектсРню ая! Совершенно аналогично можно из (7), (8) и (8.1.50) по- лучить: — — = Зг'е — '(5 соз' у — 1) рад!об = гйо, пес, — — — г 180 К1,' = ЗУВ, ' (5 созе у — 1) град.'об.
р (1 1) З,г'К, йы'л 1 ,,соз у рад. !!так, мы пришли к следующей приближенной формуле: ;1 =- — г', 1,' — ( — ') „; соз у рад,'сек, (! 2) 2 !' г",1, '( а ! (! — Ез)'-' пли — — 86 400 — г'а 11 — — (--'-) —,, град.'срт (13) !80 3 / К 1Я,.
'* соз у л 2 "" 1' р," ( а ) (1 — ге)е (здесь сутки понимаются как земные средине солнечные сутки). Лля орбит спутников Земли, имеющих эксцентриситет г е 0,1, л1ожно заменить формулу (13) более простой, если Что касается других элементов орбиты спутника (р, г, у, т), то они могут из-за сплюснутости планеты испытывать довольно значительные периодические изменения. Однако окончательные изменения этих элементов орбиты за один полный оборот будут весьма малыми и ими можно в первом приближении пренебречь.
Формулы (10) и (11) иногда записывают в ином виде, удобном в случае малого эксцентриситета г. Пусть экваториальный радиус планеты (!х,) и большая полуось орбиты спутника (а) измеряются в км, а гравитгциопный параметр К имеет размерность кА1'гсеке; тогда период обращения спутника (Т) составляет 2ла'".4~К сек. Поэтому в среднем за одну секунду,'~ изменится па величину —.' 1'Т, то есть на и(1 а1У 232 ОтхлОнение От КеплеРОВОЙ тРлектОРН!! [Гт!. Рн! учесть, что У, = — 1082,8 10-', К = — 398 600 км'!сек', Й! = 6378 !сн; я л !! = — 10 ( — ') сов у град~сут. а Аналогичным образом можно упростить формулу (11): угловую скорость ы движения перицентра спутника можно вычислять по следующей приближенной формуле; ь! = — — Уе ' — ! — ')ь, (5 соз'у — 1) рад сек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
