Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 36
Текст из файла (страница 36)
7.4 изображены все пять точек либрации. Неколлинеарные точки либрации 7.А и Т.в лежат на окружности с центром в звезде А„проходящей через другую звезду А,. Через 7, мы обозначаем ту из этих двух точек лнбрации, которая находится на 60' впереди *) звезды А,, через Т.ив ') По ходу движения точки А, вокруг А . точк!! лиБРАции 249 4 4) ту, которая находится на 60' позади этой звезды. Три точки 7, А,, 7.4 представляют собой последовательные вершины правильного шестиугольника, вписанного в окружность с центром А, и радиусом А,А1. Вернемся к уравнению (7'). Его можно записать и так: р) 1(3 — 2р) — р, (3 — р) + р',1 = )4 (1 — р,)', откуда 11(3 — 211) — р, (3 — р) + р)Ч ) Вещественный корень р, этого уравнения иногда 17.41 находят методом неподвижной точки (см.
з 3 главы П1). Если ради краткости обозначить правую часть формулы (11) через)р (р,), то последовательные приближения р!") к искомому корню р, можно вычислять по формуле 1 р4441) !р (р(а)) 1 и =- О, 1, 2,...; нулевое приближение р)4) можно принять, на- 1 пример, равным О.
Аналогично можно поступить и применительно к точкам либрации 1., и 7., П р и м е р. Определим положение точек либрации для системы Земля — Луна, принимая, что Луна движется вокруг Земли по окружности радиуса а = 384 400 км. В канонических единицах измерения а = 1, р = 1: 82,35. По формулам (8), (9), (10) для Е1 находим р, = ~-" — ) '— — — ( — ) = 0,15 канонических единиц, то есть з )з) Р,=58000кА4; длЯ)-,: Р =(з) + з (3) '=0,17 канонических единиц, то есть р, = 65 000 кхи для 7.а 2зо ОГРл!!Иче!!!!Ая зхдхчА тРех тел [Гл.
ч!! 7 получим р! = 1 —, 9 =. 0,99 канонических единиц, тоесть рх = 380 600 кн. 4. Решением уравнения (1) является функция вида г= — г(г)=х(г)+!у(г), — сс(г(сс, которая, будучи подставленной в (1), обращает это уравнение в тождество. Геометрический смысл решения — это возможная траектория спутника. Найденные пять точек либрации — это пять частных решений уравнения (1) (точку, в которой все время находится спутник, также следует рассматривать как траекторию спутника). Подробный анализ показывает, что треугольные точки либрации ~, и ~, при достаточно малых р (р ( 0,038...) являются ус!пойчиэььни решениями уравнения (1).
Это значит, что если спутник в начальный момент Г =- 1, расположен не в самой точке Т., (или Е,), а на некотором достаточно малом расстоянии от нее и имеет достаточно малую относительную скорость, то с течением времени спутник останется внутри малой окрестности точки й, (или ь,). Наоборот, точки Т.о 1., Т., являются неустойчивыми решениями. Это значит, что при любом сколь угодно малом смещении спутникаот такой точки либрации спутник может удалиться на значительное расстояние от этой точки. Устойчивость точек либрацин Е, и Е, находит интересное воплощение в солнечной системе. Пусть Е, и 1., — точки либрации для системы двух тел Солнце — Юпитер.
В силу ранее сказанного всякое малое небесное тело, оказавшееся в какой-то момент времени достаточно близко от одной из этих точек и имеющее достаточно малую относительную скорость, должно остаться вблизи этой точки либрации неограниченно долго. Именно так, по-видимому, обстоит дело с астероидами так называемой Троянской группы, которые концентрируются вблизи треугольных точек либрации системы Солнце — Юпитер. Естественно полагать, что и вблизи треугольных точек либрации системы Земля — Луна также скапливаются какие-то космические тела.
Любопытно, что это предположение подтвердилось: в марте †апре 1961 года астроном Краковской обсерватории К. Корднлевскпй после десятилетних ЛИНИИ ХИЛЛА 251 4 з. линии хиллА Интеграл Якоби позволяет выделить такую часть плоскости, куда непритягивающий спутник системы двух звезд в течение всего своего движения заведомо никогда попасть не сможет. На это впервые обратил внимание американский астроном Дж. В. Хилл в своих исследованиях движения Луны (1877 год). В канонических единицах измерения интеграл Якоби (7.2.22) записывается в виде о' = 2Ег — с, где (/ = — (х'+у») -1- — -1-— 2 2 Р 2 рг р, (2) Допустим, что в момент времени го спутник находился на расстояниях р,о и р,„от звезд А, и А, и имел относительную скорость о,.
Пусть р, — расстояние спутника от бари- центра С. Постоянная с интеграла Якоби выражается через начальные данные рьи р„, р, при помощи формул с= 2Ег, — и,„ где 21/о = р,', + 2',-~- +— г' !— рго рго (4) поисков обнаружил два космических «облака», по-виднмому, состоящих из метеорной пыли, в районе точки либрацип Е„а через некоторое время подобные «облака» были им найдены в районе точки либрации Е, 17.5). Возможно, что эти точки либрации будут в дальнейшем использованы для помещения в них «космического буя» — космической обсерватории. Достоинством такой обсерватории будет неизменность расстояний до Земли и Луны и вследствие этого — простота пересчета результатов наблюдений, полученных в такой обсерватории к виду, удобному для наблюдателя с Земли.
Правда, возмущающее действие Солнца может оказать значительное влияние на положение такого «буя». 252 ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ [ГЛ. Ш1 В силу интеграла Якоби в любой момент времени координаты и скорость спутника Р удовлетворяют условию о'= 2У вЂ” с, где 2(1' = Г' + 2 ~ — + РГ Ре (6) 2(7 — с= 0 (7) отделяет множество тех точек вращающейся плоскости, где движение спутника, вообще говоря, возможно, от множества точек, где движение спутника наверняка невозможно. Такая линия называется линией Хилла, или линией нулевой относительной скорости (как видно из (3), в каждой точке такой линии должно быть о = 0).
Уравнение линии Хилла (7) можно переписать и так: х'+у'+ 1 -1- ' 1 =с. 2 2(1 — ) РГ Ре (8) Меняя с, мы получим семейство линий Хилла. Сначала представим себе линию Хилла при большом с. Уравнение (8) можно переписать в виде х'+у'= с+ е, (9) где е будет мало, если р, и ре велики. Если бы е было равно О, то уравнение (9) представляло бы собой уравнение окружности с центром С радиуса г' с. Если же е + О, но мало по сравнению с с, то линия (9) близка к окружности: х' + у' = с.
(10) Таким образом, при большом с и больших Р, и Ре уравнению (8) удовлетворяют координаты точек, лежащих иа кривой, близкой к окружности (10). При малых Р, и р, (то есть при Очевидно, в любой точке, куда спутник может попасть, имеет место неравенство о' ) О, то есть 2У вЂ” с ) О. А область, в которой 2(7 — с < О,— это область, где движение заведомо невозможно, Линия линии хиллА 253 малых х и у) уравнение (8) перепишем в виде р 1 — р с — + = — — а, р« р, 2 (1! ) где а =- — (х«+ у'). 2 (!2) Отвлечемся временно от равенства (12). Рис. 7.5. Равенство (11) при а = О представляет собой уравнение хорошо изученной линии 1 — р с — + Э р, р, 2 (13) которую называют овалом. При достаточно больших с = с эта линия распадается на два замкнутых контура, описанных вокруг каждой из точек А, и А, (рис.
7.5); прн меньших с = с,( с, эта линия имеет форму гимнастической гантели, причем более «массивная» часть «гантели» описана около большей звезды А, (см. рис. 7.7). Если а+ О, но достаточно мало (по сравнению с с), то линия (11) будет мало отличаться от овала. !ГЛ. РЫ 254 ОГРАничсннАя зАдлчА тРРх тел Таким образом, при большом с линия Хилла разбивает всю плоскость на четыре области (см. Рис. 7.5).
Во всех точках каждой из" этих областей величина 2У вЂ” с сохраняет знак. Чтобы определить этот знак, например, в 172, достаточно рассмотреть одну какую-либо точку из 772. Если возьмем в области 772 точку Р (х, у), настолько далекую от С, чтобы было х'+ у') 2с и 212 2 (1 — Р) Рх Рз то получим, что 2У— — с) О. Значит, и во всей области Оз 2У вЂ” с) О.
Аналогичными рас- суждениями можно порно. 7.6. казать, что в областях Ози11,2У вЂ” с)О, ав области Р, 2У вЂ” с ( О. Таким образом, при большом с спутник в своем движении не может попасть в область 772 (на рис. 7.5 она заштрихована); если движение возможно, то лишь в областях 21„77„Оз. При уменьшении с происходит сжатие наружной ветви кривой (7) и расширение ее внутренних ветвей. Картина деформации кривой (7) при изменении с показана на рис. 7.5 — 7.11*). Здесь С] Сз ° Сз) Са ) СЗ ' Се) Ст' При некоторых частных значениях константы с может произойти самоприкосновение кривой (7), то есть прикосновение различных ее ветвей.
Точка самоприкосновения будет особой для кривой Хилла. В такой точке частные про- *) Зти рисуаки носят ориентировочный характер и должны дать лишь качественное нредставление об изменении областей, в которых движение невозможно. ЛИИИИ ХИЛЛА % 51 изводные функции 2с/ — с должны быть равны нулю, то есть — =- О, — О. дУ д(l дх ' ду (14) Пусть в такой точке оказался спутник с нулевой относительной скоростью: г =- О. Из уравнения движения спутника (см.(7.3.!4)) г =-- - — 2гг -1- — - + дУ д(l .
(! 5) дх ду *) В. А. Егоров рассматривал случай, когда А! — Луна, Аа— Земля. следует, что в такой точке г = О. Но в предыдущем параграфе мы выяснили, что точки, в которых при выполнении условия г = О имеет место равенство г =- О, являются точками либрации. Следовательно, каждая особая точка кривой (7) являет- а:',; д ся точкой либрации. Следуя рассужде- л'. а(, ниям советского механика В. А. Егорова, про- .Я4',: ла следим за эволюцией ве- 1 личины с и самой кривой Хилла (7) при нарастании начальной скоРости пв спУтника Р, ',:ф; ": тЗ.%.;:: ' Яг если последний находится в достаточно малой окрестности точки А, *).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
