Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 35
Текст из файла (страница 35)
То же имеет место и для его секториальной скорости, а значит, и для его кинетического момента. А в ограниченной задаче трех тел меняется и энергия (Е) спутника, и его кинетический 1б м. в. гала игл. ю~ огплпнчспнля заллчх тРГх тел 2ав момент (1). Но из (16) видно, что неизменной остается разность Š— ьl =- — С = сопз1. (17) 4. Преобразование Тиле. Правая часть дифференциального уравнения (12) возрастает неограниченно, если спутник в своем движении неограниченно приближается к одному из притягивающих центров.
Это обстоятельство, затрудняющее численное интегрирование уравнения движения спутника, можно обойти, если воспользоваться преобразованием, предложенным датским математиком и астрономом Т. Тиле. Прежде чем применить зто преобразование, совершим во враи~аюп1ейся плоскости Схд перенос начала координат в середину О отрезка А,А„но сохраним старое направление осей. Таким образом получим новую систему координат Овч, причем 0$'1Сх, От)~,'Су. От переменного г = х+ (у перейдем к промежуточному переменному ' ь = $ + (т) по формуле ~=8+2г, где 8 = 1 — 2р.
(18) Можно проверить, что дифференциальное уравнение (12) и интеграл Якоби (15) примут вид ~ = — — - 21~+ ( — + 1 — ~ ~ ~би .8и ) д$ дц (19) где ~/'= —, 1~' — %+ — + 1,, 8р 8 (1 — н) (20) 2 ' Рг Ра ~ ь~' = — 2О' + й'. (21) К уравнснню движения спутника в виде (19) мы и применим преобразование Типе: ~ =- сов ю, гУ = Р~рг(т.
(22) Здесь ю = — и + (о — комплексное переменное. »! !!Римснг!!иг комплекс!!ых пе!'пме!!и!!х лз В чем смысл преобразования Тилей От времени ( мы переходим к другой переменной т, так что !(т = — Ш. 1 Р!Р» (23) Это значит, что при подходе спутника к одному из притягивающих центров (то есть когда р, или Р, мало) мы вместо каждого малого промежутка времени !(( получаем во много раз больший промежуток !(т для введенной нами величины т. Эта величина т заменит в уравнении спутника (19) время !. Иначе говоря, величина т выполняет такую же роль, как время ! в уравнении (19); т — это новое, вспомогательное «время», которое, как видно из (23), как бы растягивается, когда спутник подходит к одному из притягивающих центров. Быстрое движение вблизи одного из притягивающих центров рассматривается через «лупу времени», как в замедленном кинофильме.
Обратимся теперь к первой формуле преобразования Тйле (22). Известно, что вблизи притягивающего центра орбита спутника мало отличается от конического сечения (эллипса, гиперболы и т. п.). С другой стороны, можно показать, что при отображении к = созп! прямым плоскости комплексного переменного и!, параллельным осям координат, соответствуют эллипсы и гиперболы (быть может, вырождающиеся) плоскости переменного ь. Таким образом, — хотя бы для некоторых из возможных траекторий — дуги траектории спутника вблизи притягивающего центра будут изображаться в плоскости ш в виде линий, близких к прямолинейным отрезкам. Правая часть уравнения (12) разрывна в тех точках плоскости переменного ь, которые соответствуют притягивающим центрам А, и А, (то есть для которых р, = 0 или р, = 0). Аналогичным недостатком обладает, разумеется, и уравнение (19).
Но можно показать, что после перехода к переменным Тйле и! (и!= и + !о) уравнение (19) переходит в уравнение, у которого правая часть в точках, соответствующих притягивающим центрам, уже является непрерывной и, более того, Регулярной (аналитической) функцией. Переменные Тйле применяются для расчета траекторий космических аппаратов. Так, например, в 1953 — 1955 годах 15* 244 ОГРАннченнзя 3АдАчА тРех тел Г! л.
з!! в Математическом институте им. В. А. Стеклова АН СССР было рассчитано в переменных Тйле около тысячи различных траекторий возможного полета космического аппарата под действием Земли и Луны )6.1). Э 4. ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ 1. В ближайших двух параграфах мы сделаем некоторые выводы из уравнения (7.3.8) для ограниченной плоской круговой задачи трех тел. Для простоты будем полагать, что нами выбрана каноническая система единиц, так что аз=1, а=1, лз,+т,=1, 7"=1, т,=р, тз= — 1 — р. Предположим для определенности, что т,< т,.
Тогда р< —. ! 2 ' Уравнение (7.3.8) движения спутника относительно вращающейся плоскости Сху имеет в канонических единицах вид г = — 2!2+ г+ — (г, — г) + (г,— г). (1) 1 — р рз з рз Пусть спутник в какой-то момент времени ! = гз находится в точке М вращающейся плоскости Сху и имеет нулевую относительную скорость (то есть нулевую скорость относительно вращающейся системы координат). Останется ли он в этой точке вращающейся плоскости? Рассмотрим сначала два конкретных случая. а) Точка М вЂ” это барицентр С двух притягивающих центров (А„р) и (А„1 — р).
В этом случае при г = О и г = О. Поэтому ускорение г при ! = гз согласно формуле (1) равно 1 — р 2= — Ез+ Яз. рз рз Но в данном случае 1 Р! = Гз, Рз = Гз, е! = Г! = 1 — )А )— аз= — Г,= — Р, Р( —. 2 ~очки лньглцин » 4! 245 Поэтому при! = 1з р (1 — р) (1 — р)р 1 — )з з == з (1 р)з Ь ( (з) )<~. Итак, имея нулевую скорость в точке С, спутник будет иметь отличное от нуля, а именно отрицательное, ускорение. Значит, он будет падать на ббльшую звезду А,. б) М вЂ” точка равных притяжений двух притягивающих центров (А„р) и (А„! — 1з), лежащая на отрезке А,А,.
В данном случае фр,' = (1 — !з)/р'„откуда гз — з , г — зз = (1 -р) ,з ибо г, — г = р„г — г, = р,. Поэтому (см. (1)) в момент 1 = 1, г = г. Но точка М, как точка равных притяжений, ближе к меньшей звезде А„ а барицентр С ближе к большей звезде А„так что М лежит на луче СА,. Следовательно, г ) О, н поэтому г) О (при 1 = — зз): спутник будет двигаться по направлению к меньшей звезде А,.
2. Пусть теперь М вЂ” произвольная точка вращающейся плоскости; пусть в момент времени гз спутник Р находится в точке М и имеет нулевую относительную скорость. Из-за тяготения к притягивающим центрам А, и А, спутник Р, вообще говоря, не удержится в точке М и начнет как-то перемещаться по вращающейся плоскости. Например, он может в течение какого-то промежутка времени приближаться к точке А, и удаляться от точки А,.
Возникает вопрос: нет ли во вращающейся плоскости таких особых, «привилегированных» точек, в которых спутник мог бы находиться в покое (относительно вращающейся плоскости) неограниченно долго» Оказывается, такие точки существуют. Такая точка М вращающейся плоскости, в которой спутник будет находиться неограниченно долго, если его начальная относительная скорость равна нулю, называется точкой либрации, или точкой относительного равновесия.
Итак, если спутник придет в какую-то точку М с нулевой относительной скоростью, то он все равно не 246 ОГРиничвнная задлчА тРех тел [га!. т!! удержится в этой точке, его <вытянут» из этой точки притягивающие его звезды. Исключение составит лишь тот случай, когда точка М окажется точкой либрации. 3. Сколько же существует точек либрации? Как они расположены на плоскости? И как их можно найти? Так как в точке либрации относительная скорость спутника должна оставаться тождественно равной нулю (г = О), то и относительное ускорение г = О.
Уравнение (1) в точке либрации г принимает вид г+ — (1 — р — г) + ( — 1з — г) = 0 (2) Р 1 — р рз рз или А+ '," — 1) г = р (1 — р) ( — ', — — ~;-) (3) ! з з Имеем два случая: 1) 1т г + О. Уравнение (3) принимает в этом случае вид а г=р, (4) (1 1 р (1 — р)( — — — 1= О. ра рз! (6) Из (6) следует, что р, = р,, а из (5) получим, что р, =- 1, так что А,М = А,М = А,А, = 1. Итак, точкой либрации является вершина М правильного треугольника, построенного на отрезке А,А, как на основании. Имеются, очевидно, две такие точки (рис.
7.3, точки Л, и 7.а). Их называют треугольными точками либрации. где а и р — вещественные числа. Число г, для которого 1т г+ О, удовлетворит этому условию тогда и только тогда, когда одновременно а = 0 и р = О. Действительно, если бы а + О, то левая часть (4) была бы мнимым числом, а правая — вещественным, что невозможно; а если а = О, то должно быть и р = О.
В нашем случае получим з т 4! точки лиаглцип 247 2) 1щ г = О. Мы теперь ищем точки либрации, лежащие на прямой А,А,. Задача сводится к разысканию вещественнык корней уравнения (2). Рассмотрим отдельно три интервала прямой А,А,: а) (г„г,), б) (г,, + =о), в) ( — о, г,). Будем сначала искать точку либрации Е, на отрезке (г„г,). Рис. 7.3. Выразим в уравнении (2) все неизвестные через р, (р, = == (.,А,): р, =- 1 — р„г =- 1 — р — р,. Получим 1 — р 1 — р — р,+ — — — — — -„= О, (7) (1 — р1)е то есть р' — (3 — р)р4+ (3 — 2р)р', — р (о', — 2р, + !) = О. (7') Таким образом, задача сводится к рец~ению некоторого уравнения пятой степени относительно р,. Можно показать, что это уравнение имеет только один вещественный ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ ГГЛ.
ИГ! корень. При малых )х этот корень удобно вычислить путем разложения его в степенной ряд по степеням (ф3)УН Можно показать, что (8) (где под ()х!3)7* следует понимать вешрспиенное значение корня тг )А/3). Аналогичным образом можно показать, что существует только одна точка либрации 7 х на интервале (ам оо) и одна 7.в на интервале ( — оо, гх). При малых )х удобно найти положение этих точек с помощью разложений величин р, или р, в степенные ряды.
Для 1., (9) Для 1.в 7 23 7' (10) Отсюда видно, что при малом 1А, то есть при гп,(~ пт„ точка либрации Т.т расположена ближе к меньшей звезде, чем 1„примерно на — ( —.) каноническихединиц и что расстояние точки 7.в от большей звезды меньше расстояния между притягивающими центрами А, и А, примерно на 7 — (А, так что при малых 1А 7.в и А, примерно симметричны относительно А,. Точки 1,„7.„7.в называют прямолинейными, или коллинеарными, точками либрации. На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
