Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Выясним теперь, какова геометрическая форма области действия меньшей звезды относительно большей. Для этого сначала найдем уравнение граничной поверхности Л области действия, то есть поверхности 5, на которой Ф, Ф, а, а, (12) Из формул (7), (8) и (10) следует, что и,+и г„г аз= 7' рз аз гз Ф, = ~из — — —. и+и г1з р аз = г гз ' аз рз Фз=1т, —,--— В силу формулы (12) в точках, лежащих на поверхности 5, имеет место равенство (и, + и) и г — — — = (и + и) и р г„р г,з г аз рз з ' з аз (13) Возводя обе части равенства (13) в квадрат, мы после упрощений получим з,Г! 1 1 (и, + и)' т,'г' ~ — + — — 2 соз 0 — 1 = аз з 2 з ! 1 1 а' — ар соз 01 =- (и, + и)'тзР'~ — + — — 2 .
(14) ~аз гз азгз Здесь г' = а'+ р' — 2ар соз О, О = ~ А,А,Р. Уравнение (14) представляет собой уравнение границы 5 сферы действия в сферических координатах р, О. При помощи уравнения (14) можно установить, что в О случае, когда т,(<т„величина -'- является малой.Произвеа дем в этом уравнении приведение к общему знаменателю йпа ПРИМЕИЕИИЕ ПОИЯТИЯ О СФЕРЕ ДЕЙСТВИЯ !ГЛ. Р! ( — ) (1+Зсоззй) =ц', (15) где т Отсюда .—.. а '1* р.— — ар *„,-- !Я!+Зсоз 0 (16) Это — уравнение поверхности вращения !рис.
6.3), представляющей собой «слегка вытянутую» сферу. Она может Рис. О.З. быть получена вращением вокруг оси А,А, плоской кривой, имеющей то же уравнение. На рис. 6.3 А,г: А,О = тй 2=1,15, то есть "" = 1,15. (17) рФМ Итак, граница 5 области действия меньшей звезды относительно большей звезды при малых значениях и разложение по степеням —. Сохраняя после этого в Р а разложении самую низкую степень величины —, получим а' уравнение: 209 пРиБлиженнАя методика отношения т, ! та мало отличается от сферы радиуса р =- а!А'1л, (18) описанной вокруг меньшей звезды.
Внутри поверхности д будет выполняться неравенство Ф, Ф, — -< —, а, аа вне ее — неравенство Ф, Ф, — С вЂ”. а, а, ' Число р, определяемое формулой (18), называют обычно радиусом дейппвия (или радиусом сферы действия) меньшей звезды относительно большей. Из планет солнечной системы наибольший радиус действия относительно Солнца имеет Нептун (около 90 млн. км), наименьший — Меркурий (около 1!0 тыс. км).
Задачи 1. Вычислите радиус действия Земли относительно Солнца. 2. Вычислите радиус сферы притяжения и сферы действия Марса относительно Солнца. 3. Вычислите радиус действия Луны относительно Земли. 9 2. ПРИБЛИЖЕННАЯ МЕТОДИКА Решение задачи о движении материальной точки (Р, т) (космического корабля, астероида н т. п.) под влиянием притяжения других тел Т„Т„..., Т„приводит к сложным дифференциальным уравнениям. Даже приближенное решение этих уравнений с помощью известных методов математического анализа весьма громоздко.
Особенно интересна для космонавтики такая ситуация, когда движение тел Т,, Т„..., Т„известно, а масса материальной точки Р мала по сравнению с массой каждого из этих тел. В этой ситуации можно указать прием приближенного решения задачи о движении точки Р, достаточно удовлетворительный для многих практических случаев.
Сущность этого приема состоит в следующем. 14 м. в. гали 2)0 ПРИМЕ!!ЕНИЕ ПОНЯтпи О СФЕРЕ ДЕЙСТВИЯ [ГЛ. У! Ту часть пространства, где происходит движение точки Р, разбиваем мысленно на несколько частей (областей) 6„6„..., 6л, в каждой из которых учитываем влияние на точку Р лишь одного из больших тел Т,,..., Ти и совершенно пренебрегаем влиянием остальных тел. (Такую область назовем «сферой влияния» соответствующего тела.) Таким образом, внутри каждой из сфер влияния истинная траектория точки Р заменяется «невозмущенной» траекторией, которая представляет собой дугу конического сечения (эллипса, гиперболы и т. п.); точки стыка этих дуг лежат на границах смежных сфер влияния.
Выбор самих сфер влияния, их размеров, формы и расположения стремятся произвести так, чтобы было минимальным «отклонение» кусочно-конической траектории от истинной траектории точки Р. Сам термин «отклонение» может пониматься в разных задачах по-разному. Наиболее распространенный способ выбора сфер влияния связан с понятием сферы действия: в случае движения малого тела Р под влиянием только двух тел («звезд») внутри сферы действия меньшей звезды пренебрегают вовсе притяжением большей звезды, а вне этой сферы действия полностью пренебрегают притяжением меньшей звезды.
Иначе говоря, за сферу влияния меньшей звезды принимают ее сферу действия, за сферу влияния большей звезды — всю остальную часть пространства»). Аналогичным образом можно поступить и в том случае, когда траектория точки Р определяется тяготением к нескольким телам. В частности, при расчете межпланетных перелетов иногда пренебрегают влиянием Солнца внутри сфер действия планет и влиянием планет вне этих сфер **).
Рассмотрим несколько примеров. П р и м е р 1. При расчете полета второго советского лунника, попавшего в Луну, в начале полета пренебрегали вовсе влиянием Луны. Но после входа ракеты в сферу дей') Отметим, что предложены также — и иногда заслуживают предпочтения — другие способы разбиения пространства на сферы влияния 1см. )б.21).
**) Масса Солнца настолько преобладает над массой планет (оиа составляет 99,ббй» всей материн солнечной системы) и расстояния мезкду планетами настолько велики, по ик сферы действия относигельио Солнца расположен!я далеко одна от другой. пеиьлижениАя методикА 2Т! ствия Луны, на расстоянии примерно 66 000 км от центра Луньц перестали вовсе учитывать притяжение ракеты к Земле, а учитывали только притяжение ракеты к Луне. П р и м е р 2. Пери~елин некоторых комет находятся вблизи орбиты Юпитера. В тех случаях, когда комета проходит вблизи Юпитера, при расчете ее орбиты можно внутри сферы действия Юпитера относительно Солнца, то есть внутри шара с центром в центре Юпитера и радиусом около 48 10«ки, пренебречь возмущающим влиянием Солнца, а вне этой сферы действия — влиянием Юпитера.
П р и м е р 3. При расчете полета к Венере советской автоматической межпланетной станции (196! год) можно получить достаточно хорошее представление об этом полете, если а) внутри сферы действия Земли, то есть внутри шара, описанного около Земли радиусом = 930 000 кА«, пренебречь влиянием Солнца и Венеры (а учитывать только притяжение Земли); б) после выхода из сферы действия Земли и до входа в сферу действия Венеры пренебречь притяжением и Земли и Венеры и учитывать только влияние Солнца; в) после входа в сферудействия Венеры, то есть внутри шара, описанного около Венеры радиусом = 600 000 кА«, пренебречь гравитационным воздействием Солнца и учитывать только влияние Венеры.
Приближенная методика обычно дает достаточно хорошее представление о траектории точки Р, если движение Р рассматривается в течение небольшого промежутка времени, происходит в основном вдали от границы сферы действия меньшей звезды и траектория тела Р только одиндва раза пересекает эту границу. В других случаях результаты, полученные с помощью такой методики, могут оказаться чересчур грубыми или даже просто ошибочными. Когда точка Р движется внутри сферы действия меньшей звезды, мы — в соответствии с приближенной методикой — вовсе пренебрегаем тем влиянием, которое на него оказывает ббльшая звезда, пренебрегаем тем возмущающим Ускорением, которое получает спутник Р из-за притяжения к большей звезде. В действительности это ускорение хотя и мало «в глубине» сферы действия, но не равно нулю.
После длительного воздействия этого ускорения орбита точки Р может сильно отклониться от той, которую нам дает »4" пипмгнвние понятия о сье с дгиствия 1гл. ш приближенная методика. Чем ближе находится малое тело к границе сферы действия меньшей звезды, чем дольше оно движется вблизи этой границы, тем сильнее скажется на его движении возмущающее влпянне большей звезды.
Возмущающее влияние большей звезды существенно скажется и в том случае, когда спутник длительное время движется хотя и «глубоко внутри» сферы действия меньшей звезды, но на больших расстояниях от этой звезды (например, на расстояниях того же порядка, что радиус действия меньшей звезды). Так, например, обстояло дело с советской автоматическои межпланетной станцией (АМС), запущенной 4 октября 1959 года в облет Луны. После завершения фотографирования обратной стороны Луны АМС двигалась внутри сферы действия Земли относительно Солнца (расстояние АМС от центра Земли не превышало5 10'км, а радиус сферы действия Земли относительно Солнца равен примерно 9. 10' км); АМС в то же время двигалась вне сферы действия Луны относительно Земли.
Если бы по этим соображениям мы пренебрегли влиянием Солнца и Луны, то получили бы, что орбита спутника должна быть б.лизка к эллипсу, имеющему одним из фокусов центр Земли. Однако такой вывод ложен: в действительности же из-за влияния Солнца и Луны минимальное расстояние АМС от Земли убывало с каждым витком и на ! 1-м витке (это было в конце марта 1960 года, то есть примерно через полгода после запуска) АМС вошла в плотные слои земной атмосферы и сгорела. Заметим, что такая судьба АМС была заранее предсказана на основании теоретических расчетов, проведенных с учетом влияния Солнца и Луны. Приближенная методика может привести к ошибочному выводу и тогда, когда точка Р долго движется вне сферы действия меньшей звезды, но вблизи от этой сферы действия. На расстояниях от границы сферы действия того же порядка, что и радиус сферы действия, на траектории точки Р еще достаточно сильно будет сказываться влияние меньшей звезды.
Это особенно важно учитывать при посылке космических ракет к другим планетам: небольшое отклонение ра- ЗАДА'1А О ТР1 тьсп космич1.ско11 скОРОсти 213 кеты от расчетного курса у границы сферы действия Земли может повлечь за собой отклонение от намеченной цели на миллионы километров. В следующих параграфах мы рассмотрим несколько примеров применения приближенной методики. з з. 3АДАчА О ТРЕТЬЕЙ КОСмиЧеСКОЙ скОРОсТи Под геоцентрической скоростью точки 1или скоростью относительно невращающейся Земли) понимают ее скорость относительно какой-либо системы отсчета с началом в центре Земли и осямн координат, имеющими постоянную ориентацию в пространстве, то есть имеющими неизменную ориентацию относительно «неподвижных» звезд. Получив у поверхности Земли геоцентрическую скорость, равную второй космической скорости»), ракета может преодолеть притяжение Земли, но она не сможет выйти за пределы солнечной системы.
Выйдя пз сферы действия Земли с малой скоростью относительно Земли, то есть со скоростью около 30 кн1сск относительно Солнца, она начнет обращаться вокруг Солнца по эллипсу, мало отличающемуся от окружности и весьма близкому к орбите Земли. Однако можно сообщить ракете настолько большую геоцентрическую скорость у поверхности Земли, чтобы она могла удалиться сколь угодно далеко от Солнца. Под третьей космическоа скоростью понимают ту минимальную геоцентрическую скорость, которую должна иметь ракета после старта у поверхности Земли для того, чтобы она могла удалиться на любое сколь угодно большое расстояние от Солнца. При этом мы имеем в виду следующие оговорки: 1) влияние на ракету других тел, кроме Солнца н Земли, можно не учитывать. 2) получив третью космическую скорость, ракета должна уйти в бесконечность «на первом витке», то есть не совершив ни одного полного оборота ни вокруг Земли, ни вокруг Солнца, 3) не учитываются сплюснутость Земли, сопротивление атмосферы, вращение Земли вокруг своей оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
