Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 29
Текст из файла (страница 29)
д/ Ряд Ли — Гребнера для функции Г (г) — это следующий ряд: Символически возможно этот ряд записать и так *): и' ) (з), (б) *) Ряд Тейлора представляет собой частный случай ряда Ли — Гречнера, когда Р = с)гог. В этом частном случае формула (6) дает раэложенне функции г'(г+ О в ряд тейлора по степеням и 1(а+ а) = ~~ (~я (а). » — о ~гл. т 200 злдлчА и тел где е'о — оператор, определяемый формулой гь еш =- 1 + 1Р + — —,Р' +...
+ —, Р" +... (7) Можно показать, что (8) г" (е'ог) = е'ог (2). В. Гребнер показал, что координаты и компоненты скорости каждой из и взаимно гравитируюших точек возможно представить в виде рядов (5). Для решения задачи об п телах прн и ) 3 оператор Р имеет, к сожалению, весьма громоздкий вид, что сильно усложняет практическое применение рядов Ли — Гребнера. ГЛАВА Л ПРИМЕНЕНИЕ ПОНЯТИЯ О СФЕРЕ ДЕЙСТВИЯ К ПРИБЛИЖЕННОМУ РАСЧЕТУ ТРАЕКТОРИИ МАЛОГО ТЕЛА В Е СФЕРА ПРИТЯЖЕНИЯ И СФЕРА ДЕЙСТВИЯ )А,Р(' Р« ~ А2~ В пространстве существуют такие точки, в которых меньшая звезда А„притягивает спутник сильнее, чем большая звезда, то есть в которых Р, ) Р,. 1.
С ф е р а п р и т я ж е н и я. Пусть рассматривается движение некоторой материальной точки (Р, т) (космического корабля, астероида, кометы и т. п.) под воздействием двух небесных тел с массами т, и т«. Эти тела будем называть притягивающими центрами, или у с л о в н о, для краткости, «звездами». Мы будем их рассматривать как материальные точки; для определенности будем полагать, что т,«. т«и будем говорить, что «звезда А, меньше звезды А,». Особенно нас будет интересовать случай, когда масса т, значительно меньше массы т» (т, (~ т,). Точный смысл этого ограничения заключается в том, что при требуемой в данной конкретной задаче точности в расчетах допустимо пренебречь квадратом величины и = т, ! пць Массу материальной точки (Р, т) будем считать пренебрежимо малой по сравнению с массами звезд (т( т,).
Материальную точку (Р, т) условимся здесь называть спутником системы двух притягивающих центров (А„т,) и (А„т,). Силы Р, и Р„с которыми точка (Р, т) притягивается к точкам А, и А„определяются в соответствии с законом всемирного тяготения по формулам 2ОЗ ПРИМЕНЕНИЕ ПОНЯТИЯ О СФЕРЕ ДЕЙСТВИЯ ГГЛ, У« Множество всех таких точек пространства называется областью притяжения меньшей звезды относительно большей *).
Что же собой представляет геометрически это множество точек? Если спутник Р находится в непосредственной близости к звезде А, (то есть если А,Р достаточно мало), то он будет притягиваться к меньшей звезде (А,) сильнее, чем к большей (Ае). Будем теперь мысленно перемещать спутник Р по прямой А,А, в направлении от А, к Ав (рис. б.1). Спутник при этом пройдет через такое положение С, в котором он будет притягиваться с одинаковой силой к точкам А, и А,. Рис.
6Л. Перемещаясь по прямой А,А, в противоположном направлении, то есть удаляясь неограниченно вдоль луча АвА„спутник опять пройдет через некоторую точку 1), в которой он будет с одинаковой силой притягиваться к А, и А,. Точки С и О можно назвать коллинеарными точками равных притяжений. В точке С тгпт тпта ) АС)' ) А,С)а отсюда АС . /«пт — — = Ур.
А,С 1«иа *) Обычно вместо термина «область притяжения» употребляют менее точный термин «сфера притяжения» (менее точный потому, что в геометрии под сферой понимают поверхность, а не пространственную область). Е!1 СФЕРА ПРИТЯЖЕНИЯ И СФЕРА ДЕЙСТВИЯ 203 Аналогично А,0 А»Р (2) ках Р А»Р — = У)А = сопз( (1, А»Р то есть отношение расстояний точки Р от А, и А, постоянно. В курсе элементарной геометрии *) устанавливается, что таким геометрическим местом точек является сфера с диаметром С0, она называется «сферой Аполлония». Внутри этой сферы А,Р— (Ур, А,Р откуда т,т т,т ! А»Р1' ! А,Р!' то есть Р т ) Р,. Вне этой сферы Р, ( Р,. Итак, «областью притяэкения» меньшей звезды относительно большей является шар (внутренность сферы); кон»(ами одного из его диаметров служат точки С и О, делящие отрезок А„А, в отношении )г р внутренним и внешним образом.
') Л. И. П е р е и е л к и н, Курс элементарной геометрии, ч. 1, стр. 95, ГТТИ, 1949, Какую же фигуру образуют все точки пространства, в которых спутник с одинаковой силой притягивается к звездам А, и Ае? Покажем, что геометрическим местом точек пространства, в каждой из которых притяжение спутника к меньшей звезде равно притяжению к большей звезде, является сфера; концами одного из ее диаметров служат две коллинеарные точки равного притяжения С и О.
Действительно, речь идет о геометрическом месте таких т,т т,пт точек Р, в которых у = ~ . Но в таких точ- ( А»Р (' '1 А»Р !1' РО4 ПРИМЕНЕНИЕ ПОНЯТИЯ О СФЕРЕ ДЕЙСТВИЯ !ГЛ. Р! Отсюда а) р ри+ и„=- —— 1 — Р'р ар'р р„— и„=- 1+ Ур Решая эти уравнения, найдем а Р'р 15 п (4) и„=' (5) 1 — р П р и м е р. Определим радиус сферы притяжения Луны относительно Земли и положение центра этой сферы. В данномслучае р = „—, а = 384 000 км.
По формулам (4) и (5) находим: 1 9 9 р„= а = — а = 43 000 км, 1 —— 81 1 81 1 и, = и — = — а.=4500 км. 1- —— 81 2. Сф е р а де й с т в и я. Движение малого спутника Р (рис. 6.2) под действием притяжения двух«звезд» Найдем радиус сферы притяжения и положение ее центра. Так как точка 0 находится вне отрезка А,А, а точка Св внутри него, то ОА, ) СА,.Поэтому из (1) и (2) вытекает,что ЙА, ) А,С. Следовательно, центр О сферы притяжения (середина отрезка 0С) всегда лежит вне отрезка А,А,. Пусть А,А, = а.
Обозначим через р„радиус сферы притяжения и через ии — расстояние центра этой сферы до точки А, (рис. 6.1). В этих обозначениях равенства (1), (2) запишутся так: р, — и„ , р„ + ии =1'Р, ' .-)'Р. а — (р„— ии) ' а+ (р, + и„) сФеРА пРитяжения и сФеРА действия 2ОВ «11 Ряс. 6.2 1П,+ О! Р р' (7) /г — р г'2 12 г = А,Р, г,» =- А,А», ~ г„.) == а. (8) Ускорение спутника распадается на две составляющие: а) «основное» ускорение а,, то есть то ускорение, которое имел бы спутник, если бы прекратилось влияние «возмущающей звезды»; ' б) возмуи1агои(ее ускорение Ф,, то есть то дополнительное ускорение, которое получает спутник Р вследствие вмешательства «возмущающей звезды» А,.
Величина Фг!а1 показывает, какую часть «госновного» ускорения а, составляет возмущающее ускорение. Чем ') С«1. $ З главы Аг. (А,, иг) и (А,, и«) можно изучать в различных системах от- счета. В частности, можно принять в качестве начала отсче- та любую из точек А, или А „то есть рассматривать движение спутника Р относительно .любой из двух звезд А, или А„ а другую звезду считать возмущающей. Так, например, движение советской искусственной планеты, запущенной 2 января 1959 года, можно рас- л 4, сматривать в системе отсчета с началом в центре Земли (геоцентрическое движение).
И то же движение можно рассматривать в системе отсчета с началом в центре Солнца (гелиоцентриче- ское движение). Рассмотрим сначала движение спутника Р в системе отсчета с началом в мень«пей звезде А,. Тогда уравнение движения спутника запишется в виде *) где — — =а,+Ф,, й2р й12 (6) 2ОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ПОНЯТИЯ О СФЕРЕ ДЕЙСТВИЯ 5ГЛ, ЕЪ меньше это отношение, тем меньше отличается орбита спутника от кеплеровой орбиты. Обратимся теперь к движению спутника относительно большей звезды А,. Уравнение движения принимает вид й'г — =а +Ф, й/2 2 2 (9) где т»+ и /р — г р2 и2 г» г, Ф»=~тт, — —, .
(10) г» р» 32 Доля возмущающего ускорения Ф, от «основного» а, составляет Ф,/а,. Область пространства, в которой выполняется нера- венство Ф, Ф, — — < —, а» а» (11) называется областью действия, или с4ерой дейспиия, меньшей «звезды» относительно большей. Внутри сферы действия меньшей звезды (относительно ббльшей) обычно выгоднее рассматривать меньшую звезду в качестве центральной, а ббльшую — в качестве возмущающей.
Так, например, в случае движения искусственной планеты, запущеннои с Земли, в начале ее пути, когда ракета находится внутри сферы действия Земли, целесообразно рассматривать ее движение в системе отсчета, связанной с Землей (геоцентрическое движение), а Солнце рассматривать как возмущающую звезду. Вне сферы действия Земли выгоднее, наоборот, рассматривать ее движение в системе отсчета, связанной с Солнцем (гелиоцентрическое движение), а Землю рассматривать как возмущающее тело.
Другой пример: при прохождении кометы внутри сферы действия Юпитера часто выгоднее не Солнце, а Юпитер принять за центральное тело, а Солнце считать возмущающей звездой (точнее говоря, внутри сферы действия Юпитера рассматривать движение кометы в системе отсчета с началом в центре тяжести Юпитера). После прохождения кометы з 1! с ьвгл пгитяжения и савел действия 207 через сферу действия Юпитера целесообразно снова перейти к гелиоцентрической системе отсчета.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
