Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Введем обозначения: иитеГРлл ПлОЩАДей и инте! Рлл эпеРГиР! 293 о! пространстве под воздействием какого-то двигателя (вид двигателя, режим его работы нас здесь не интересуют). Каково будет движение этих трех тел с точки зрения наблюдателя такой обсерватории? В данном случае началом системы Л2 служит наблюдательный пункт космической обсерватории, а оси координат должны иметь постоянную ориентацию относительно «неподвижных» звезд. В этой системе отсчета между координатами и скоростями точек А„А„А, существуют некоторые зависимости, которые мы сейчас получим. Пусть С вЂ” барицентр материальных точек (А„т,), (А,, т,), (Ао, то). Рассмотрим систему отсчета СХГЛ с началом в точке С и осями, параллельными соответствующим осям системы Л2хуе.
Введем обозначения: НАЕ -- гы СА» =- тсы Л2С вЂ” Гс, Е2~ = Г2, Уо — — Яы т2~ — — Гс, Ус = И~ = =О, 72 — — 0,1,2; Л2 = !!!о + 2П2 + Л22. Мы имеем: ото =- го — гс, Уо — т22 — ч2с, 72 =- О, 1, 2. (1) Для системы трех взаимно гравитирующих материальных точек А„ А „ А, имеют место зависимости [см. ~ 4, формулы (9) — (!2)1 тотхо + тЯ2 + тоохо (2) оУ + 2У + оУ = О (3) — (т„У,'+ т,Ь", + т,В",,) — (7+ й, (4) то (ото х Уо) + и! (2х! х У!) Ле то Жо х Уо) = — а. (5) Переходя к новым переменным гы Е22, 72 = О, 1, 2, нз (2) получим т,го + т2г! + т,го — тгс = О.
(6) Из (3) следует (7) тот!о + тгч2! + тое22 — 2лт2с = О. 2З о2, г,.во,„„ 194 1гл. и ЗАДАЧА Л ТЕЛ Из (4) найдем — (тоУо + тУ1+ тУ2) = — (то (оо — ос) + 1 2 2 2 2 2 2 1 + т1 (Ю1 — 27С) + П21 (92 — ччс) ) = 2 ((П106(~+ т191+ + тооэ',) — 2 (то110 + т1211 + тото) оос + (то + т1+ то) 222с). Принимая во внимание формулы (7) и (4), получим: 1 1 — (т,о„'+ т,о', + топ,') — 2 тф = У+ Ь, (8) где (ч о("1от1 + тото + тото) (О) Г01 Г02 Г12 ~ т„Я,ХУ,) = ~ тч (г„— гс) х(ю, — ос) = ч=О 2 2 2 = ~ Пгч (Г, Х 22,) — ( ~„т„Г„) Х 22С вЂ” ГС Х ~ т,ОЭ, + ч=о =о ч=о 2 2 -(- ~ т, (Г. Х ЕС) = ~~ т, (Гч Х Оч) — (тГС Х 22С)— ч=о — (ГС Х тите) + ( 22 тчГч) Х 22С. =о Принимая во внимание (б), получим: ~ то (Гч Х Оч) — т (ГС Х т2С) = а. ч=о (10) Отметим важный частный случай, когда движение рассматривается относительно одной из трех данных материальных точек, например А,.
В таком случае интегралы Это и есть искомый интеграл энергии в относительном движении. Аналогичными рассуждениями выведем из (5) векторный интеграл плон(адей в относительном движении. 5 5! интегглл площлдеи и интегглл энеггии 195 (8) и (!О) принимают вид 1,, 1 2 — (т1о1 + т,о2) — -- тос = и + й, (11) 2 П11 (», Х Ф1) + 1П, (», Х е22) — 1П (»с Х т2с) = 22. (12) где (14) т = т2 + т1-)-... + т, „ т2с — скорость барицентра материальных точек (А„т,), ..., (А„„т,,), и — 1 и = ~,"~ " ', »„== А„А,; (15) М, 5=0 55 ич5 б) интеграл площадей и — 1 ~ т, (», х т2,) — т (»с х е2с) = о.
5 =-2 В частности, если в качестве точки Л5 выбирается точка А„то зависимости (13) и (16) принимают более простой вид: и — 1 — — — +й, 2 ! 2 (! 7) 5=5 и — 1 ~ т„(». х т2„) — - т (г о х т2с) = 2т. (16) (18) !Зи В том частном случае, когда движение рассматривается относительно барицентра трех материальных точек, формулы (6) — (10), естественно, превращаются в ранее полученные формулы из 9 4. 2. Рассматривая движение системы из л материальных точек (А „т,), (А „т,),..., (А, „т„,) относительно точки Лг, можно с помощью таких же рассуждений, как в случае трех точек, получить следующие зависимости между скоростями т22 и радиусами-векторами»2 (»2 = — ХА2) рассматриваемых точек: а) интеграл энергии 5-1 —,, Х т„о„— . т.с = и+ й, (13) ЗАДАЧА и ТЕЛ ейг [гл.
ч Формулы (17) и (18) представляют собой интеграл энергии и интеграл площадей при движении системы и гравитируюших точек относительно одной из них (А,). з 7. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 1. В предыдуших параграфах этой главы мы получили дифференциальные уравнения, определяющие движение п взаимно гравитирующих материальных точек в различных системах координат. Общее решение этих уравнений при и ) 3 в замкнутом виде до сих пор неизвестно, и обычно приходится их решать приближенными методами или исследовать свойства движения качественными методами.
Дифференциальные уравнения и известные первые интегралы (интеграл площадей, интеграл энергии) позволяют получить ценную дополнительную информацию о возможных движениях нескольких гравитирующих тел. Отметим здесь в качестве примера одну интересную проблему, связанную с задачей многих тел,— проблему «финальных типов движениям В случае п = 3 речь идет о возможных взаимных расположениях трех гравитирующих точек при неограниченном возрастании времени Е Вопрос о финальных типах движения исключительно важен для космогонии (теории происхождения и развития солнечной системы и других звездных систем). Изучение финальных движений интересно и для космонавтики, ибо может дать некоторые ориентировочные представления о возможной эволюции траектории космического аппарата при длительном — в течение нескольких лет и более— воздействии на него двух или нескольких небесных тел.
Наиболее содержательные исследования о финальных движениях были выполнены в течение последних 35 лет и связаны с именем французского астронома Ж. Шази и ряда советских математиков и астрономов (О. Ю. Шмидт, Г. Ф. Хилыми и другие). ' Различают следующие случаи движения трех тел при оо: а) ограниченное (или эллиптическое) движение: расстояния между тремя телами остаются ограниченными, не превосходящими некоторой фиксированной величины; здключительиые здмечлния б) гиперболическое: попарные расстояния между телами с течением времени неограниченно возрастают; в) гипербола-эллиптическое: расстояние между двумя телами остается ограниченным сверху некоторой константой Р, а расстояние третьего тела от этих двух неограниченно растет; г) осаиллирующее движение: расстояние одного из тел от одного из двух других !или от обоих тел) с течением времени принимает сколь угодно большие значения, но не стремится к бесконечности.
Аналогично можно классифицировать движение трех тел в прошлом, то есть при у — — по. Если рассматривать движение трех тел во времени от 1 = — е до ! = + е, то мыслимы, в частности, такие возможности: 1) При 1 — ео движение гиперболическое, а при + и движение гиперболо-эллиптическое. 2) Движение при г — — ео гиперболо-эллиптическое, а при ! + оэ — эллиптическое. В каждом из этих двух случаев говорят, что в системе имеет место захват.
3) Движение системы трех тел при ! — — ею и при 1 + ео является гиперболо-эллиптическим, но на ограниченных расстояних друг от друга остаются разные пары тел. В этом случае говорят, что в системе имеет место обмен. В интересных исследованиях французского астронома Ж Шази, опубликованных в 1929 — 1932 годах, содержалось доказательство утверждения, что захват и обмен в задаче трех тел невозможны. Впрочем, такого же мнения придерживались многие астрономы Х1Х вЂ” ХХ веков.
Однако впоследствии было обнаружено, что доказательство Шази ошибочно. В 1947 †19 годах советские математики О, Ю. Шмидт и Г. Ф. Хилыми, а затем К. А. Ситников, Г. А. Мерман и другие на конкретных примерах показали возможность захвата. Несколько позднее была установлена возможность обмена в задаче трех тел (В.
М. Алексеев и др.). Оказалось, что как захват, так и обмен связаны со сближением хотя бы двух из трех тел. Особенно любопьппой представляется возможность осцилляции в задаче трех тел, обнаруженная К. А. Ситниковым в 1960 году в). ') См, пп этому поводу еще главу У! !, 4 6. 198 1гл. ч злдлчх л твл г„= У1 с1«"'и», «=-» (1) х„=- ~ и» и», 'с1 еп «=-о у„= ~ Ь»~и~, »=.» т = 1,2,3. Время 1 также выражается через и с помощью степенного ряда: «(«и» (2) »=0 Здесь и — специально подобранное вспомогательное переменное («псевдоврсмя»), связанное с временем Е зависимостью вида (3) где С вЂ” константа, а У вЂ” силовая функция системы, определяемая формулой (5.4.10').
Ряды Зундмана пока не нашли практического применения, ибо до сих пор почти не изучен вопрос о быстроте сходи- мости этих рядов. Известно, что в некоторых случаях ряды Зундмана сходятся крайне медленно. Так, например, французский астроном Белорицкий в начале тридцатых годов показал, что при некотором специальном выборе исходных данных ряды Зундмана дадут правильный результат с относительной погрешностью !О"», лишь если число членов в рядах Зундмана будет больше, чем 10' "'"'.
Суммирование 2. В текущем столетии различными учеными предпринимались энергичные попытки получения общих решений задачи трех и многих тел с помощью бесконечных рядов того или иного вида. Вначале пытались представить координаты (х„, у„, г„) каждой из и взаимно гравитирующих точек А„, т = 1, 2, 3,..., п, в виде степенных рядов относительно времени С Однако очень скоро было подмечено, что такие ряды будут, вообще говоря, расходящимися.
Тогда стали искать разложения этих координат в степенные ряды по некоторому вспомогательному переменному. В 1912 году финский математик К. Зундман, привлекая аппарат теории функций комплексного переменного, построил степенные ряды, дающие решения задачи трех тел. Эти ряды имеют вид у т) злключительные замечания 199 такого громадного числа слагаемых не под силу даже самой быстродействующей вычислительной машине. В то же время в статье югославского астронома Р. Верника в 1955 году приведен пример противоположного характера, когда при другом специальном выборе исходных данных можно вычислить суммы рядов Зундмана с тремя верными десятичными знаками, если ограничиться лишь первыми тремя членами каждого из этих рядов. 3. Уже в последние годы, после запуска первых советских спутников, австрийский математик В.Гребнер и его ученики предприняли новую попытку поиска общего решения задачи многих тел, имея в виду в первую очередь запросы космонавтики.
Гребнер (5.4] ищет представление решений задачи и тел в виде рядов специального типа, встречающихся впервые в работах норвежского математика Софуса Ли. Ряд Лн — Гребнера может быть определен следующим образом. Пусть гы г„..., г,„— какие-то независимые переменные (вообще говоря, комплексные); О, (г), О, (г),... ..., О„(г) и у (г) — аналитические функции от г (аы г„..., г,„). Рассматривается оператор 0 = О, (г) — + О, (г) — +... + О,„(г) †. (4) д д д Операторы 0Г', 0аГ',..., Ру' определяются формулами ВУ = „'Р О, ( ) —, О У = П(ВД,..., В'У = ~) (()" 'у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
