Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 23
Текст из файла (страница 23)
В общем случае должна быть, строго говоря, специальным рассуждением доказана сходимость последовательных приближений (а~">,..., аы>) к точному решению (а,,..., а«) системы уравнений (6). До сих пор мы говорили об уравнениях для параметров а„..., а„получаемых на основании наблюденийкоординат спутника >р, А, р (это могут быть, как мы уже отметили, любые декартовы или криволинейные его координаты).
Но можно получить такие же уравнения из наблюдений каких-то других характеристик спутника, например радиальной составляющей его скорости. Незначительно усложняя использованный здесь прием, можно учесть не только результаты наблюдений, но и качество, ценность, «вещ> каждого такого результата по сравнению с другими (подробнее об этом см. [4.21, [4.61, 14.81).
$ 6. ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ТРАССЫ СПУТНИКА ЗЕМЛИ 1. Под трассой спутника Земли понимают проекцию орбиты спутника на поверхность Земли. Та точка Р' земной поверхности, над которой в данный момент времени находится спутник Р, называется подспутникоеой точкой. Иными словами, точка Р' является проекцией точки Р на поверхность Земли. Мы здесь ради простоты будем считать поверхность Земли идеальной сферой н условимся, что проектирование орбиты спутника на земную сферу производится из центра Земли. Для многих советских спутников Земли в печати заранее сообщались моменты их прохождения над отдельными городами.
В этом параграфе мы выясним, какие математические расчеты дают возможность получить такой прогноз. Выберем две прямоугольные системы отсчета с началом в центре Земли О (рис. 4.8): одну Озимь, вращающуюся вместе с Землей вокруг земной оси, вторую Охуе, невращающуюся, постоянно ориентированную в пространстве. э »7 НРогнозиРСЕАние тРАссы спУтникА земли 187 Система 0$1)Ь выбирается так: ось 0~ направляется в точку встречи нулевого (гринвичского) меридиана с экватором, ось Оь — к Северному полюсу Земли, ось 0«1 выбирается так, чтобы система отсчета 05Ч~ была правоориентированной. Систему Охуг выбираем таким образом: за ось Ох принимаем то положение оси Ок, которое она (ось 05) занимает в определенный, заранее выбранный нами момент времени 1».
(Это может быть, например, момент прохождения спутника через перигей или мо- Р' мент, когда ось 08 проходит через точку весеннего равноденствия, и д т. д.; в каждом конкрет- у иом случае следует за- 1- ранее договариваться б(Е й) относительно выбора этого момента.) х Л Ось Ог совместим с Оь, а ось Оу выберем Рис. 4.8, так, чтобы система Охуг была правоориентированной. Очевидно, координатные плоскости Оху и 0$Ч совпадают с плоскостью экватора Земли. В момент ~б оси вращающейся системы отсчета 0$«Д совпадают с соответствующими осями невращающейся системы отсчета Охуг.
В системе отсчета Охи Земля (и вместе с ней система отсчета 08»)Ь) вращается равномерно вокруг оси Ог. В астрономии называют звездными сутками время, в течение которого Земля совершает полный оборот «относительно неподвижных звезд», то есть относительно системы отсчета с началом в центре Земли и осями, неизменно ориентированными в пространстве. Продолжительность звездных суток — 2З часа 56 минут (точнее, 86 164 секунд). Следовательно, за каждую минуту вращающаяся система ~~счета 0$«1~ (а вместе с ней и Земля) поворачивается относительно невращающейся системы отсчета Охуг на 153 ТРАЕКТОРИЯ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ИГЛ.
!Ч следующий угол З6О 24 60 — 4 или З60 1 З6О' т, 24 60 1 24.601, 360/ ' З6О то есть 361' 6 = — (точнее, 6 = ' ). 360,986' (1) В системе отсчета О~т1~ положение каждой точки на земной поверхности вполне характеризуется двумя географическими координатами: широтой у ( — 90' ~( ~р ~( 90') и долготой Х ( — 180' ( Л ~( 180'). В системе отсчета Охуг в любой момент времени 1 положение каждого пункта на поверхности Земли тоже можно охарактеризовать двумя сферическими координатами: широтой Ф и долготой Л. Ясно, что Ф = ~р и Л = А + ь (1 — еР).
(2) 2. Мы будем рассматривать далее лишь спутники с малым эксцентриситетом (В ( 0,2), движущиеся на небольших расстояниях от Земли (Н, ( 2000 км). Небольшая сплюснутость реальной Земли, наличие атмосферы, притяжение Солнца и Луны и другие факторы приводят к непрерывному изменению элементов орбиты такого спутника.
Можно показать (см. главу ЧШ, 8 2), что сплюснутость Земли приводит к равномерному изменению долготы восходящего узла орбиты й. В системе отсчета Охуг плоскость орбиты вращается вокруг оси Ох со скоростью д, 4 приблизительно равной — — (Я/а)'' соз т градусов в миг 40 нуту.
Здесь )т — радиус Земли, а — большая полуось орбиты спутника, знак минус указывает на то, что при 0 ( т ( 90' вращение плоскости орбиты (движение восходящего узла Й) происходит в направлении, противоположном направлению вращения Земли вокруг ее оси, а при 4 а! ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ТРАССЫ СПУТНИКА ЗЕМЛИ 159 90' ( т ( 180' орбита вращается в том же направлении, в котором вращается Земля вокруг своей оси; в том и другом случае орбита вращается в направлении, противоположном направлению движения проекции самого спутника на плоскость экватора.
Такого рода равномерное вращение плоскости орбиты называют прецессией. Для большинства советских спутников Земли 1957— 1962 годов (т = 65') прецессия сказывалась в том, что плоскость орбиты поворачивалась примерно на 15' за каждый оборот спутника (то есть на 3 — 4' в сутки) в направлении, противоположном направлению вращения Земли вокруг ее оси. При решении задач о прогнозировании трассы спутника Земли мы учтем прецессию орбиты.
Изменение же других элементов орбиты учитывать не будем. Это не приведет к чувствительным погрешностям, если мы будем интересоваться прогнозом на небольшие промежутки времени (порядка одних-двух суток) *), Учитывая механический эффект от сжатия Земли, а именно, вращение плоскости орбиты спутника, мы тем не менее в наших геомегпрических рассуждениях разрешим себе принимать поверхность Земли за сферу. Это допустимо ввиду малости сжатия Земли '*). 3.
В некоторых случаях орбита спутника Земли имеет настолько малый эксцентриситет, что ее без значительной погрешности можно считать окружностью. В случае круговой орбиты прогнозирование трассы спутника упрощается. *) Сплюснутость Земли может привести к значительным изменениям еще одного параметра орбиты — аргумента перигея ьп вследствие сплюснутости происходит вращение перигея. Однако, если наклонение орбиты близко к «критическому» значению 63,4, то это вращение перигея мало, и им можно пренебречь при прогнозах трассы иа короткие сроки.
Именно такое положение имело место для большинства советских спутников !957 — )962 годов (т — 65'). Например, для каждого из первых трех советских спутников скорость вращения перигея орбиты составляла примерно 0,03' за один оборот. В дальнейших рассуждениях мы ради простоты ограничимся случаем, когда допустимо пренебречь вращением перигея орбиты. *') Сжатие Земли характеризуют числом и ==(й» вЂ” )1п)Я», где )т» и )«и — соответственно экваториальный и полярный радиусы Земли; согласно измерениям а !/298,3. [ЕО ТРАЕКТОРИЯ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ.
!Ч З1П [РО З[П [Р» з1п т (3) В!пае = — . [к [ра [к ! (4) По этим формулам можно найти дуги тра и аа. Выбор нужного значения»ра среди различных дуг, удовлетворяющих условию (3), можно произвести па основании дополнительных сведений о движении спутника, например по тому, каков был период обращения спутника Т, проходил ли спутник над пунктом А с юга на север или наоборот, и т.
п. Аналогично обстоит дело с выбором дуги аа. Так как спутник движется по круговой орбите равномерно, то за ! — !а минут его проекция па Землю проходит ") См. «Справочник любителя астрономии» П. Г. Куликовского. Решим следующую задачу. Задача [. В момент !а «круговой» спутник находился над пунктом А земной поверхности с географическими коорДинатами !Р„ло. Известны наклонение т плоскости оРбиты к плоскости экватора (для определенности полагаем, что 0 ( т ( 90') и период Т обращения спутника вокруг Земли. Требуется предсказать, над каким пунктом земной поверхности будет находиться спутник в заданный момент времени !.
Рассмотрим сначала движение относительно невращающейся системы отсчета Охи и не будем пока учитывать прецессию орбиты. Если бы после момента !а Земля не вращалась и если бы не вращалась плоскость орбиты спутника, то спутник в момент г находился бы над некоторой точкой В земной поверхности со сферическими координатами (Ф, Л) (в системе отсчета Охуг). На рис. 4.9 СА — трасса спутника, АР и ВР— дуги меридианов больших окружностей, перпендикулярных к экватору. Пусть градусные меры дуг СА, СР, СВ, СР, РА, ВВ равны соответственно [р„о[„»р, сс, [р„!р.
По известным формулам для прямоугольных сферических треугольников*) 63 пРОГнОзиРОВАние тРАссы спУтникА земли 161 дугу АВ, содержащую — (1 — 1л) градусов. Поэтому 360 ' т лР = 'Ра + — (1 — 1о). ЗЮ' Т (б) Для прямоугольного сферического треугольника ВСЕ": япф = япфяп т, (6) (ЯЯ = (ЯаР С05 Т. (7) Отсюда найдем ф и а. Дуга 0г' равна, таким образом, а — аа (градусам). Значит, для точки В Л = )аа+ я — а,. Учтем Рис. 4.9. теперь прецессию орбиты спутника.
Так как плоскостьорбиты спутника вращается со скоростью () градусов за одну минуту, то за (à — 1а) минут орбита успела повернуться (относительно системы отсчета Охуг) на угол Й (~ — аа), так что спутник будет находиться в момент Г' над пунктом Л) с той же широтой Ф, но с долготой Л = Ха + и — аа + Й (à — 1и). (о) м в. еалк ТЕ2 тРАектОРИЯ в тРехмеРнОм пРОстРАнстее и л. 1у Переходя теперь от системы отсчета Охуг к системе отсчета 0$ЧЬ, определим географические координаты (1р, ?,) той точки Л4 врищшощейся Земли, которая окажется в момент 1 под спутником.
Из формул (8), (2) получим 1Р = Ф, ? = ?о + (а — ао) + (Й вЂ” 6) (1 — 1о). (9) СА =оо,СО.=- а„СВ =1р, Сг =а. Как и при решении задачи 1, мы можем найти в и а, по формулам 5! и 1о = ' ., яп а, = — . 5'и Ч'о . (И 1ооо (10; пт 1дт Дуги 1р и а найдем из соотношений ЯП 1Р 51П 111 =- —. 51П т (1 1) ..(йр яп =--— а1е (12) 4. Приступая теперь к рассмотрению некруговых орбит, решим следующую задачу. 3 а д а ч а 2. Искусственный спутник Земли в момент времени то находился в своем перигее П, который (в этот момент) оказался над пунктом А земной поверхности, имеющим географические координаты (ор„?о) (рис.
4.10). Известны следующие элементы орбиты спутника: угол т наклона плоскости орбиты к плоскости экватора; период обращения спутника Т,эксцентриситет орбиты е. Требуется указать те моменты 1, когда спутник будет находиться над пунктами с широтой 1р. Какова будет в каждый такой момент времени долгота ? подспутниковой точки? Для простоты ограничимся случаем 1р ) 1ро ) О. Рассмотрим сначала трассу в невращатощейея системе отсчета Охуг, причем не будем учитывать прецессию орбиты спутника. Пусть в момент 1 спутник оказался в точке Я, лежащей над 1р-й параллелью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
