Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 21
Текст из файла (страница 21)
1Н плоскость к поверхности Земли в точке В (плоскость горизонта); ось ВТ1 направлена по меридиану к Северному полюсу Земли, ось Вь имеет направление внешней нормали к поверхности Земли (направлена в зенит), ось Ве направлена по параллели, проходящей через В, и притом так, что система Вет)ь правоориентированная. Такую систему отсчета называют горизонтальной. Положение спутника в горизонтальной системе координат можно задать не только тремя его декартовыми коорди- натами (х„, у„, г„), но и тренг мя сферическими координатами (рис.
4.6): дальностью р, угловой высотой спутника над горизонтом (угол Й) и азимутом (угол А). Координаты р, гг и А можно найти, например, ао из радиотехнических наблюгт дений за спутником Р, а Ь и у А — также из оптических на- блюдений *). А В общем случае точка В не обязательно лежит на поверх~г ности Земли. Можно, напри- мер, выбрать систему отсчета Рис.
4.6. Вез) и так, чтобы точка В сов- пала с А, ось В ь была направлена к Северному полюсу Земли, ось 3$ была направлена в точку встречи нулевого меридиана с экватором Земли, а ось ВЧ вЂ” так, чтобы система отсчета была правоориентироваиной (ясно, что основная плоскость Вез) будет в этом случае совпадать с плоскостью экватора Земли).
Такую систему отсчета можно назвать географической: географические координаты точек (широта, долгота) на поверхности Земли в этой системе отсчета с течением времени не будут меняться. Аналогичную систему отсчета можно определить для Луны, для любой планеты или звезды.
*) Заметим, что в астрономии понимают обычно под азимутом угол А, = 360' — А. 4 з1 опппдвлвнив положвния по элвмннтлм опвиты 145 Задачи 1, Звездным временем в данной точке В на земной поверхности в данный момент называется двуграниый угол между полуплоскостью, проходящей через полярную ось Земли и точку осеннего равноденствия, и полуплоскостью, проходящей в данный момент через ось Земли и точку В. За единицу измерения этого угла принимают часто не градус, а «угловой час» (или просто «час»), причем 360' = 24 угловым часам, 1 час =- 15'.
В астрономических календарях обычно приводится звездное время в Гринвиче в полночь каждых суток или в полночь, с которой начинается месяц. Спутник был замечен на станции наблюдения В в 1 часов по московскому времени. Звездное время а Гринвиче в полночь, предшествующую этому моменту наблюдения, составляло 5«градусов. Пункт наблюдения В имеет долготу Л.
Каково было звездное время на станции в момент наблюдения спутника? 2, Долгота Смоленска Л = 32', спутник наблюдался в 20 часов 7 мая 1960 года. Звездное время в Гринвиче в полночь с 30 апреля на 1 мая составляло 217,94'. Найдите звездное время в Смоленске в момент наблюдения спутника. 3. На станции наблюдения В в момент 1 по московскому времени был замечен искусственный спутник Земли. Пусть известны прямоугольные горизонтальные координаты спутника в этот момент (х„, у„, г„), дата наблюдения и географические координаты станции наблюдения («ра, Л«).
Выведите формулы для вычисления экваториальных геоцентрических координат спутника (х„у„х,). 4. На станции В с географическими координатами (ф, Л) в 1 часов по московскому времени наблюдали прохождение спутника. Были найдены его горизонтальные сферические координаты р, Д, А. Известна дата наблюдения. Выведите формулы, определяющие экваториальные сферические координаты спутника г, 6, а. 5. Пусть известно, что в 1 часов по московскому времени спутник должен быть виден на станции визуальных наблюдений В и будет иметь геоцентрические экваториальные координаты г, 6, а.
Известна также дата прохождения спутника над станцией В. Наблюдателям этой станции необходимо сообщить горизонтальные координаты (Д, А) спутника в момент й Каким образом можно вычислить эти координаты? 6. Известны элементы орбиты искусственного спутника Земли относительно геоцентрической экваториальной системы координат: и = 7000 км; а — — 0,2; Т = 60'1 аа = 90'1 ы = 45'. По этим данным вычислите деиартовы экваториальные координаты перигея орбиты.
Найдите затем экваториальные сферические координаты перигея г, б,а, 7. Известны элементы орбиты спутника За, 7, ю относительно некоторой системы отсчета Ахуг. Точка Р имеет относительно орбитальной системы отсчета АВ»)9 декартовы координаты (О, О, 1). Каковы ее координаты относительно системы отсчета Ахух? !0 М. Б. Б«лк 146 траектория в трехмерном пространстве [гл, я 5 3.
НАХОЖДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТЫ ПО НЕСКОЛЬКИМ ПОЛОЖЕНИЯМ СПУТНИКА Мы научились по известным элементам орбиты спутника находить его положение в заданные моменты времени. В этом параграфе мы займемся обратной задачей: каким образом можно определить орбиту (то есть вычислить ее элементы) на основании нескольких наблюдений спутникаР Для нахождения шести элементов орбиты спутника достаточно, вообще говоря, знать два его положения Р, и Р, (относительно принятой системы отсчета) и моменты прохождения через этн точки.
Выкладки упрощаются, если изс вестны три положения спутника и момент его прохождения через одну из этих точек "Е Д т У Итак, пусть в некоторой системе отсчета Ахуг (с нача- .О Р ломвпритягивающем I центре) известны координаты трех точек ЄЄЄчерез которые проходиторбита спутника (рис. 4.7). Обозначим через сы г„ гз моменты прохождения спутника через эти точки. Пусть АР, = т'„ АРв = г„ АР, = га; с, < Уа ч, гз.
По Условию вектоРы г„г„пз из вести ы. Мы будем полагать, что притягиваюшнй центр А не- лежит ни на одной из прямых Р,Р„Р,Р„Р,Р,. 1. Положение плоскости орбиты в пространстве определяется ортом нормали к этой плоскости. Этот орт можно *) Полное решение задачи определения элементов орбиты спутника по известным двум его положениям может быть получено с помощьш формулы Ламберта (ср.
14.7!). 1 з1 НАХОЖДЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТЫ найти по формуле (1) ',г, Х г,(' С другой стороны, точка )т' с орбитальными координатами й = О, т1 = О, ь = 1 (конец орта Ф внешней нормали к плоскости орбиты) имеет в системе Ахуг координаты, определяемые матрицей з)п Й Б!п т — соз Й з(п7 (2) соз Т (см. 3 2, задачу 7). Элементы этой матрицы являются одно временно координатами вектора Ал', то есть вектора й. Сравнивая значения для одноименных компонент вектора Ф из выражений (1) и (2), мы сумеем найти й и 7 (если Б)п т+ О)., 2. Так как векторы г„г, и г, компланарны (то есть лежат в одной и той же плоскости, а именно в плоскости орбиты), причем векторы г, и г, не лежат (по допущению) на одной и той же прямой, то должны существовать такие вещественные константы с, и с„что Г, = СТГ, + С,ГВ.
(3) Чтобы найти с, и с„умножим (3) справа векторно один раз на г„а второй раз — на г;. г, х г, =- с, (г, х т з)~ ге х гт — сз (гз х г1). Отсюда можно получить величины с, и с,. 3. Уравнение орбиты имеет вид г = р!(1 + е соз О). Отсюда р г=е4, (5) где Б — проекция вектора г на ось апсид. Обозначим через $Н $„ $, проекции векторов г„ г„ г, на ось апсид, Из (3) следует, что $, = сД, + сав .
Умножая это Равенство на е и учитывая (5), найдем г. — р = с (г — р)+ с.(г. — р) (5а) Из этого уравнения можно найти р. 10~ !43 тРАектОРия В тРехмеРнОм пРОстРАнстВе (Гл. 1ч 4. Вычислим эксцентриситет е. Обозначим орты осей орбитальной системы координат через 1, 7', й (вектор 1 направлен по линии апсид, вектор 7' лежит в плоскости орбиты и перпендикулярен к линии апсид, вектор й перпендикулярен к плоскости орбиты). Мы имеем 1 г=йхг= (г1 х г,) х ю = 1гзх гз! 1 (гз(з'г1) г1 (з'гз)) !г1 х гз/ то есть 1 ,/ = )г1 х гз! (ьзгз Вз~ 1).
(6) Умножая обе части равенства (6) на е! г, х гз! и учитывая (5), найдем е/г Х гз!,Р = (р — г1) гз — (Р— гз) г1 (7) Приравнивая модули обеих частей последнего равенства, получим уравнение для определения эксцентриситета е е~г1 х гз'! =1(р — г,) гз — (р — гз) г1!.
(8) 5. Орты Ф и 7' вычисляются при помощи уравнений (1) и (7). После этого можно вычислить орт ! оси апсид по формуле Х Й. (9) Орт р линии узлов Азз определяется формулой !)=Соей I+з!Пз) .l, (10) где 7 и / — орты осей Ах и Ау (см. рис. 4.7). Зная орт линии узлов р и орт линии апсид 1, легко найти и угол зз между ними. 6. Найдем момент !з прохождения спутника через пери- центр. Ограничимся случаем эллиптического движения. Пусть известен момент ~з прохождения спутника через точку Р,. Обозначим эксцентрическую аномалию спутника в этот момент через Е,. Тогда гз = а (соз Е, — е) ! + Ь з)п Ез,7' (! 1) (см. формулу (3.4.17)). 41 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПО ПОЛОЖЕНИЮ И СКОРОСТИ 449 Так как р и е известны, то легко вычислить а и Ь: а = р (1 — е"), Ьз =- аз (1 — ез), Из (11) следует, что а (соз Е, — е) =- Р,1, Ь з!п Е, = Г,~. (12) Из системы (12) можно найти угол Е,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
