Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Аналогичные рассуждения могут быть применены и для широкого класса уравнений вида (8), а именно: если в некоторой окрестности корня уравнения (8) ~ 7'(х) ~ ( У ( 1, а нулевое приближение х, выбрано из втой окрестности, то последовательные приближения, построенные по формуле (5), сходятся к решеншо уравнения (8), причем погрешность и-го приближения можно оценить с помои(ью любой из двух формул: А1« — М (х — х~ ( (х,— хь1, (х — х ( ( (х — х„,~. 1 — Ф 1 — л1 (16) РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КЕПЛЕРА Полагая ~ (Н) = Аг ей х, где х = (Н+ М)й, и пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найдем: д дх пу 1 1 1 1 1 1 ~' (Н) = — (Аг еп х) =- — — = — — = — — — ( —, дх ЙН йх е Йх е сну е е' йу ибо сй у Р 1 при любом у. Таким образом, условие сходимости итерационного процесса выполняется.
После выбора нулевого приближения Н, можно находить последовательные приближения по формуле Н Р, = Агеп ", и = О, 1, 2, 3... (18) Н„+ М е Вычисления можно выполнить с помощью таблиц гиперболического синуса (см. 10.19]). А(ля оценки погрешности п-го приближения получим из (16) при Ж = 1/е (19) Заметим, что при эксцентриситете е, близком к 1, метод неподвижной точки как для эллиптического, так и для гиперболического движений сходится медленно.
В таких случаях применяют другие, более тонкие методы. В настоящее время известны различные итерационные методы, с помощью которых можно успешно решать трансцендентные уравнения, в том числе и уравнение Кеплера. Итерационные методы особенно удобны для решения уравнений на быстродействующих вычислительных машинах. В самом деле, при решении задачи таким методом для нахождения каждого следующего приближения необходимо повторить один и тот же цикл вычислений (но с различными числами).
Оказывается, легко составить такую программу для математической машины, при которой машина сама выберет необходимое число циклов и прекратит вычисле- ниЕ тогда, когда получится такое приближение, которое отличается от точного значения корня на величину, меньшую заданной допустимой погрешности. 118 ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ПЕРЕЛЕТА (ГЛ.
1Н Имеются разнообразные таблицы, дающие значение эксцентрической аномалии в зависимости от эксцентриситета е и средней аномалии М. Таковы, например, таблицы Астранда, Баушиигера, Виртца, М. Ф. Субботина, С. П. Глазенапа и др. Задачи 1. Искусственный спутник Земли, запущенный в качестве зонда для исследования свойств космического пространства на расстоянии нескольких десятков тысяч километров от Земли, имел такие параметры: а = 1(Р км, з = 0,5. Требуется предсказать значения эксцентрической аномалии Е, истинной аномалии О и расстояния г спутника от центра Земли через тмин после прохождения спутника через перигей.
Е следует вычислить с точностью до 0,0! Рад. Рассмотрите случаи т = 50 мин, т = 300 мин. 2. Искусственный спутник Зеыли имел перигей на расстоянии ббОО км от центра Земли (то есть примерно на высоте 230 км над поверхностью Земли), а апогей — на расстоянии 7400 км от центра Земли (то есть на высоте 1030 км). Спутник прошел через свой перигей в 4 часа по московскому времени.
В 5 часов 20 минут было включено тормозное устройство спутника. Найдите для этого момента эксцентрическую аномалию Е спутника, его истинную аномалию б и высоту Н над поверхностью Земли. 3. Советская автоматическая станция «Луна-4>, запущенная в сторону Луны в 19бз году, после прохождения над Луной стала обращаться вокруг Земли по траектории, которая сначала была весьма близка к эллипсу. На первом витке максимальное удаление станции от центра Земли составляло 700 000 км, минимальное — 90 000 «м. На каком расстоянии от центра Земли оказалась станция через двое суток после прохождения через перигей? 4. Межпланетный зонд (то есть автоматическая станция для исследования межпланетного пространства) стартует с искусственного спутника Земли.
Ровно в 12 часов по московскому времени зонд оказался на высоте б30 км над поверхностью Земли, причем его скорость составляла 14,0 кмгсек и была направлена параллельно поверхности Земли. Требуется дать прогноз: на каком расстоянии от центра Земли будет нзходиться зонд в 10 часов вечера того же дня? 9 4. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОРБИТ, БЛИЗКИХ К КРУГОВЫМ 1.
Уравнение Кеплера Š— ез!ПЕ=М (1) определяет Е как неявную функцию от двух переменных Мне: Е = Е (е, М). $4! ОРБИТЫ, БЛИЗКИЕ К КРУГОВЫМ 119 При фиксированном М величина Е будет функцией только от е. В этом параграфе мы ограничимся рассмотрением орбит, близких к круговым. Для таких орбит эксцентриситет е близок к нулю и поэтому можно получить простые приближенные формулы для расчета эксцентрической аномалии Е и других параметров орбиты. Для любой дифференцируемой функции 1 (е) при малых е, как известно из математического анализа, справедлива приближенная формула г' (е) = г (0) + ег' (0). Положим в этой формуле г" (е) = Е (е, М). (2) Из (1) следует, что при е = 0 имеем Е = М. Дифференцируя соотношение (1) по е (считая Е функцией е), получим 41Е 4(Š— — е соз Š— з(п Е = О. Йе 4(Е Полагая здесь е = О, найдем: 4(Е «, — = ($!П Е), о — — 51 П М.
41е ) «=-о 2. Найдем теперь приближенную формулу для радиуса- вектора г. Как мы знаем, г = а (1 — есозЕ). (5) Из этой формулы видно, что для того, чтобы подсчитать г с точностью до первой степени е, следует в (5) заменить соз Е приближенным значением, верным с точностью до нулевой степени е, то есть тем его значением, которое получается при е = 0: (соз Е),, — соз М. (6) Таким образом, применение формулы (2) в данном случае приводит к приближенной формуле Е=М+ еяпМ. (4) !гл. 1н ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ПЕРЕЛЕТА 120 Поэтому г = а (1 — е соз М).
(7) 3. Выведем приближенную формулу для истинной аномалии О. Согласно интегралу площадей , г(8 г' — =- О. Й При помощи соотношения М = л (1 — 10) (9) Из уравнения Кеплера (1) имеем т(Е 1 т(М 1 — есоз Е ' (11) Используя (5), получаем: 1 1 ОЕ г аКМ (12) Поэтому формулу (10) можно записать в виде т(М па' т(М (13) или, так как (14) (15) Из (4) находим приближенную формулу г(Е „— — = 1+ есоз М. перейдем от дифференцирования по 1 к дифференцированию по М: (10) 121 ОРБИТЫ, БЛИЗКИЕ К КРУГОВЫМ С точностью до первой степени е справедливы формулы — ) =1+ 2есозМ, г'! — е'=1. йЕ 1' дМ) Поэтому из (15) имеем: !9 дМ вЂ” =! + 2е соз М.
Интегрируя, получаем окончательно: 9= М+ 2ее!пМ. (16) Приведем еще формулы для компонент вектора скорости: дг ог с!9 с!9 о, = — = п —, о„= г — = га —. с(г с(М' " Ж с(М' (18) Пользуясь этими формулами, можно найти приближен- ные формулы для функций $, 1), о„о„при малых е: $ = а !соз М вЂ” — е (3 — соз 2М)1, 1 (19) т! о [з1ПМ+ 2ез1П2М), 1 (20) 4. Выберем в плоскости орбиты прямоугольную систему координат следующим образом: за начало возьмем притягивающий центр А, за ось абсцисс — линию У' апсид (рис.
3.2). Ось с Р 7 ординат получается из линии апсид поворотом на и/2радиан в направлении движения спутника. Такую систему координат называют орбитальной. Пусть в ней эллиптический спутник Р Рис. 3.2. имеет координаты (в, Ч). Тогда 5=а(соБŠ— е),т)=ояпЕ=а1г! — е'Б(ИЕ. (17) (22 ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ПЕРЕЛЕТА [гл. ~н о,= лава!ПЯ, (21) 0 Лп (1 + в С05 А'1).
(22) Полученные формулы позволяют легко сравнить некоторые характеристики движения спутника Р по орбите малого эксцентриситета с характеристиками некоторого фиктивного спутника, который двигался бы по окружности радиуса а вокруг центра 0 орбиты спутника Р и притом имел бы такой же период обращения, как спутник Р. Задачи 1. Планета сферической структуры имеет радиус Н и гравитационный параметр К, Известны высота искусственного спутника этой планеты при его прохождении через перицентр (Н„) и через апоцентр (Н„) и момент его прохождения через перицентр (1„). Отношение (̈́— Нч)/Н ч 0,1.
Получите приближенную формулу для вычисления высоты спутника в любой заданный момент времени Е 2. Относительно спутника той же планеты известны Н„, Н и высота Н в один момент времени 1. В предположении, что отношение (Н вЂ” Н„)И мало, укажите способ для нахождения момента та прохождения спутника через его перицентр. 3. Известны период Т обращения искусственного спутника Земли, момент (а его прохождения через свой перигей и высота Н в один момент времени Ь Орбита мало отличается от окружности. Вычислитеэксцентриситет орбиты. 4. Космический корабль «Восток», на котором Ю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
