Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 14
Текст из файла (страница 14)
у), г' й Но о' = — + й, 2К (1 1) где л — вещественная константа (константа энергии). 4. Интеграл Лапласа. Из полученных ранее формул ы = — Квlг' и о = гзй следует, что — 1оы = 1 —, (г'0) = Ке" О, ,Кв Г' или д . д — — ( — 10в) = — (Кем), Ш Ш откуда 1оц~ Кем Л (12) где Л вЂ” некоторая комплексная константа (константа Лапласа); соответствующий ей вектор называют вектором Поэтому — (о ) Й й Отсюда ихв =- (ю (з = га, нхо = ~в (з = оз. К й, 2КЙ й 1'2К1 'л ' ' ж ж( ) » 12» ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 95 Лапласа. Формула (12) называется «интегралом Лапласа в комплексной форме». б. Уравнение орбиты спутника. Вектор Лапласа можно записать в показательной форме: Л = Ае««ч ', «ге«е — )„ (13) Из (6) и (6) следует, что ю = г + 1 — е".
Подставив это значение для в в (131, найдем: . о», — (о г+ ю' — ~е" — Ке" = Л, г ) или б — (ог+ — — К = ле-««. г (14) Приравнивая вещественные части обеих частей равенства (14), получим: о' — — К = й соз О, г откуда при о + О о /)'» г= (16) 1+ — соз О Л Используя обозначения р = о»/К, е = )/К, (17) где Л = (Л)) О, а О, — угол наклона вектора Л к вещественной оси. Интеграл Лапласа остается справедливым при любам выборе направления вещественной оси.
Выберем это направление таким образом, чтобы оно совпало с направлением вектора Лапласа Л. Тогда О,=-О, и интеграл Лапласа принимает вид ~гл. и ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ приведем уравнение (16) к виду Р 1+ есоз 6 ' (18) = а'о'+ К'+ 2Ке ~1оК (г+ 1 — )) = о'К = К' + ово' — 2 — . г Но ов — 2К/г = й. Поэтому У = Кв + авй.
Из (17) и (19) следует, что о' е=)/ 1+и†. К' ' (21) 7. Скорость спутника 'и ее компон е н т ы. Из интеграла Лапласа (! 3) получаем (при а+ О) формулу для вектора скорости уг = — ()в + Кевв) (22) Так как ) = Ке, то в = 1 — (е+ е'), — вв о (23) /К хв ов ~~~в ~е 1 есв~в о А это и есть уравнение эллипса, гиперболы или параболы (в полярных координатах). 6. Связь между константами К, )., о, й. Докажем формулу Х = т'Кв + Йов. (19) Обозначим через Кеи действительную часть комплексного числа и. Воспользуемся таким легко проверяемым тождеством, справедливым для любых комплексных чисел: / г, + гв ( ' = ! г, !в + ) г, ! ' + 2 Ке (г,г,).
(20) Из (13) следует, что )„в = ! 1вяа + Кевв /в = ивов + К' + 2Яе (1вяоКе-вв) == В НО пРнменение комплексных пеРеменных 97 Используя тождество (20), получим о' = — (1+ е'+ 2е сов О). (24) Так как о' = Кр, то (К/о)В = К/р. При о) О К/о = = + )/К/Р. Из (23) и (24) следует, что ы = 1~ — (е+ еа), .. /"к о = 1// — ) '1 + е' + 2Б соз О. (26) 1' Р (25) Из (7) и (8) видно, что скорость спутника Ве может быть выражена через ее радиальную и трансверсальную ком- поненты о, и о„по формуле ц~ = ос!и+ оа(е'В (27) Сравнивая две формулы для скорости спутника (25) и (27), получим: (~, + и ) е" = 1$/ — ( + е"), Р Р о, + Ь„= / ~а' — (ее-' + 1) = . /К Р = /) ~ — !! + Б соз Π— (е з!и О). ук Р Отсюда о, = $/' — ез!ПО, о = 1/ — (1+ есозО). (28) 8.
Годограф скорости. Формулу (25) можно переписать так: (29) Отсюда видно, что точка Ве всегда лежит на окружности 7 (рис.2.18) с центром /е)/К/Р и радиусом )а К/Р. М Б. Бала 1гл. ц ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ 98 Действительно, (8О) Найдем скорость и) спутника в тот момент, когда его истинная аномалия равна О.
Формула (29) показывает, каким образом получить вектор скорости в. Для этого следует (рис. 2.18) провести через центр (ер'К/р окружности у Рис. 2Л9. Рис. 2Л8. радиус, образующий угол О + и/2 с вещественной осью Ох. Вектор, идущий из начала координат О в конец этого радиуса, и есть искомый вектор скорости. На рис. 2.18— 2.21 изображены годографы скорости и для тех случаев, когда орбита — эллипс (рис.
2.18), окружность (рис. 2.19), парабола (рис. 2,20), гипербола (рис. 2.2!). 9. С о л н е ч н ы й п а р у с. Пусть космический корабль Р массы т движется под действием двух сил: притягивающей силы массы М Солнца и отталкивающей силы солнечных лучей, давящих на парус корабля. Будем полагать, что парус плоский, его плошадь равна з и нормаль к плоскости паруса в течение всего движения лежит в одной и той же плоскости, проходящей через векторы АР (Л вЂ” Солнце, Р— корабль) и вектор скорости корабля п. В 121 ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 99 Выберем на плоскости прямоугольную систему координат (рис. 2А7) и составим дифференциальное уравнение движения космолета.
Сила притяжения космолета к Солнцу равна Р— у — е1В Мт Г' где 0 — угол между вещественной осью Ох и радиусом- вектором космолета АР, Через у обозначим угол между / / / Рис. 2.21. Рис. 2.20. радиусом-вектором космолета АР и нормалью к плоскости паруса, а через сс — постоянную солнечного давления (силу, с которой солнечные лучи давят на площадку в ! м', когда последняя находится вблизи Земли). Тогда сила, с которой солнечные лучи давят на космолет, равна по величине ССГВ 3  — С05 ф гВ и направлена под углом у к радиусу-вектору А Р, то е под углом 0 + ~р к вещественной оси, так что сила, сгл.
и зхдхчх двэх тял соо с которой солнечные лучи отталкивают космолет, равна й Рз = — соз феи ~~'~. с~~аз е (32) По второму закону Ньютона яссе = Р, + Р, = — ~ —,е" + —, еа"') соз ф, ~~~о~ еэ э откуда со = — /М вЂ” — "соз2фе'~ ~— (33) Введем обозначение К = гМ вЂ” — соз фе'м. ого э т (34) Так как в = ге", то уравнение (ЗЗ) принимает вид щ ш= — К вЂ”. з г (35) Это и есть дифференциальное уравнение плоского движения космолета с солнечным парусом. Здесь К вЂ” комплексная функция от времени. Внешне это уравнение не отличается от уравнения движения спутника в задаче двух тел. При ф = О и ф = Ы2 К в вещественная константа, и уравнение (35) интегрируется так же, как уравнение задачи двух тел (2). Если ф = сопз( +и/2 и ф + О (парус сохраняет ориентацию относительно радиуса-вектора космолета), то К вЂ” константа, и притом мнимая.
К сожалению, при интегрировании дифференциального уравнения задачи двух тел мы существенно опираемся на то, что параметр К вЂ” вещественное число. Поэтому ни интеграл площадей, ни интеграл энергии, ни интеграл Лапласа не остаются в силе для уравнения (35) при мнимом К. Однако и при мнимом К можно с помощью уравнений (34), (35) найти частные классы возможных траекторий космического аппарата с солнечным парусом.
1 га1 пнимннннин комплнксных пнннмннных 101 Задачи 1. Логарифмическая спираль характеризуется в полярных координатах уравнением вида г агэ а Здесь 0 — полярный угол, г — длина радиуса-вектора, с — тангенс угла между радиусом-вектором точки спирали и касательной к спирали. Покажите, что корабль с солнечным парусом, сохраняющим ориентапию относительно радиуса-вектора корабля, может двигаться по логарифмической спирали. 2.
Космолет с массой 1000 кг прикреплен к плоскому солнечному парусу с массой 300 кг. Константа сг солнечного давления для этого паруса составляет 9.10 эи/мэ, плотность парусного материала — 2 г/эгэ. Парус постоянно ориентирован в пространстве так, что его нормаль образует угол~у =- 1О" с радиусом-вектором «Солнце — космолет». Космолет должен совершить перелет с орбиты Земли к орбите Марса.
В начестве траектории полета выбрана логарифмическая спираль. Определите величину и направление начальной скорости космолета при отлете с орбиты Земли? Сколько времени займет перелет? Тяготением к Земле и Марсу пренебречь. 3. Каким образом можно было бы выбрать угол ф ориентации паруса, о котором говорится в предыдущей задаче, для того чтобы перелет был совершен по логарифмической спирали за кратчайшее время? 4.
Решите задачу 2 в предположении, что перелет должен быть совершен к орбите Венеры. ГЛАВА !11 ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ПЕРЕЛЕТА СПУТНИКА МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ ОРБИТЫ й 1. ПОЛЕТ ОТ ПЕРИЦЕИТРА 1. В предыдущей главе было показано, что движение спутника вокруг своего притягивающего центра А происходит все время в некоторой плоскости, проходящей через точку А.
В этой плоскости мы выбрали полярную систему координат с началом в притягивающем центре А и с полярной осью АП, направленной в перицентр орбиты П (рис. 2.8). В каждый момент времени положение спутника характеризуется двумя его полярными координатами: истинной аномалией О и длиной г радиуса-вектора АР. Мы уже видели, что уравнение орбиты спутника имеет вид г= Р (1) 1+ асов Е где р — фокальный параметр орбиты, а в — ее эксцентриси-. тет. Будем в дальнейшем считать известными параметры р, е орбиты спутника и гравитационный параметр К притягивающего центра. Таким образом, мы можем считать известной орбиту спутника. Чтобы определить положение Р спутника на орбите, достаточно найти истинную аномалию О этой точки; расстояние АР = г уже легко вычислить по формуле (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
