Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 9
Текст из файла (страница 9)
р Какую скорость будет иметь Р ракета в апагееу и» 3. Космический корабль совершает перелет с выклю- л ченным двигателем в межпланетном пространстве па а П таких больших расстояниях от планет, что можно пренебречь их притяжением и учитывать только притяжение корабля к Солнцу. В некоторый («начальный») момент времени 1„ когда ко- Рис. 2.13. рабль находился в точке Ра на расстоянии г«от Солнца, он имел скорость об, причем угол между вектором скорости корабля и его поперечной компонентой о„ был в этот момент равен и (рис. 2.13). Найдите истинную аномалию О, корабля в рассматриваемый момент времени 1«, его Р, расстояние от Солнца в момент прохождения через перигелий га, эксцентриситет Юа з и фокальный параметр р орбиты корабля.
4. Космический корабль, (ра о катаром говорится в условии предыдущей задачи, через некоторое время пришел в точку Р на расстоянии г от Солнца (рис. 2.13). За нремя перелета от Ра доР радиус-вектор спутника описал угол Т. Для определен- Рис. 2.14. ности будем полагать, что 0 ь, Т «.. и. Получите формулы для вычисления угла Т. б. Космический корабль находится в точке Р, на орбите Земли. Он должен совершить перелет к орбите Венеры и пройти через заданную точкУ Р, на этой орбите. Задана величина угла Р«БР» (Т).
Примерный шгд орбиты и направление полета корабля указаны на рис. 2.14. Каким должен быть угол р между радиусом-вектором корабля и вектором 1тл. г! зАдАчА двух тнл его скорости о, в точке Ра, если перелет должен быть совершен при минимальном значении скоРости оау Вышслите этУ минимальнУю скорость. Тяготением к Земле и Венере можно пренебречь.
Расстояния ЗРа и ЗРг равны соответственно Яз и Яв. 6. Решите предыдущую задачу в предположении, что т !20 !аз 148 !О' км, 11в = 108.10в клг. $ 7. ЗАВИСИМОСТЬ ХАРАКТЕРА ОРБИТЫ СПУТНИКА ОТ ВЕЛИЧИНЫ НАЧАЛЬНОЙ СКОРОСТИ 1. Пусть в какой-то момент времени скорость спутника не коллинеарна его радиусу-вектору. В таком случае спутник будет двигаться по эллипсу, параболе или гиперболе.
Покажем, что если известны лишь в один момент времени расстояние гв спутника от притягивающего центра и абсолютная величина скорости о„то уже можно сказать, каков будет характер орбиты 1то есть будет ли она эллипсом, гиперболой или параболой). Воспользуемся ранее полученной формулой о е = ~,/ 1+ л —,. Здесь 2Кг го. Как известно из аналитической геометрии, орбита будет эллипсом, когда е (!. Но е ( 1 тогда и только тогда, когда Л ( О, то есть при условии 2К о'( †. 12) Аналогично можно показать, что орбита спутника будет параболой в том и только том случае, когда 1т = О, то есть если о 2К 1З) го 5 а1 зависимость огвиты от цлчлльнон скогости и гиперболой, если Ь ) О, то есть при условии оа ) 2К га (4) 2.
Мы до сия пор предполагали, что скорость спутника не направлена по прямой, соединяющей притягивающий центр со спутником. Случай прямолинейного движен я спутника можно рассматривать как предельный л для эллиптического, параболического или гипер- болического движения. Пусть в какой-то мо- мент ~а спутник занимает положение Р, (рис. 2.15) и вектор скорости спутника имеет в этот мо- мент такое же направление, как вектор АР,. Если па ( Рл2КУг„то спутник, достигнув наибольшего удаления от притягивающего цент- ра г„= АА', начнет падать по прямой на при- тягиваюц ий центр.
Траектория спутника — сло- женные вместе два отрезка Р,А' и А'А одной и той же прямой. Отрезок АА' можно рассмат- ривать как предельное положение дуги эллипса Рис 2Л5. с фокусами А и А '. Такое положение получим при условии, что р — О. Если о„ =- 1' 2К!г„ то спутник Р будет описывать луч, неограниченно удаляясь вдоль прямой АР,. Эту линию можно рассматривать как предельное положение дуги параболы. При неограниченном удалении от точки А ско- рость спутника будет иметь своим пределом нуль.
Аналогично, если о, ) Рл2К/г„ то спутник также будет описывать луч, неограниченно удаляясь от точки А. При этом скорость будет приближаться к некоторому пределу ц,+О, Говорят, что спутник имеет в данный момент времени эллиптическую, параболическую или гиперболическую ско- Рость в зависимости оттого, будет ли его скорость удовлетво- Рять условию (2), (3) или (4). 3 Параболическую скорость можно определить как ми- нимальную скорость, которую следует сообщить матери- альной точке для того, чтобы она могла удалиться на любое сколь угодно большое расстояние от притягивающего 5 м. Б. Бала ~гл. и ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ вя центра.
На расстоянии г от притягивающего центра параболическая скорость равна ,,Г 2К Опар = ~/ г (б) Независимо от того, в каком направлении материальная точка получит такую скорость, она будет удаляться неограниченно от притягивающего центра (если только не столкнется с ним). При решении задачи о двух телах мы делали упрощающее допущение, что тяготением спутника ко всем телам, кроме одного (центрального тела), возможно пренебречь. Зто на практике допустимо лишь в некоторой ограниченной области О пространства. Поэтому практически «удаление на сколь угодно большое расстояние от центрального тела» следует понимать как достижение границы этой области.
Получив параболическую или гиперболическую скорость относительно притягивающего центра А, спутник через некоторое время должен подойти к границе той области А», внутри которой еще допустимо пренебречь влиянием на него других тел, кроме тела А. Так, например, обстояло дело с первой советской космической ракетой, запущенной 2 января 1959 года в сторону Луны. Получив у поверхности Земли гиперболическую скорость, ракета через некоторое время вышла из той области пространства, где допустимо было пренебречь влиянием всех других тел, кроме Земли. Уже через несколько дней своего движения она вошла в область, где решающее влияние на движение ракеты оказывает воздействие Солнца и где тяготение к Земле ничтожно. В новом положении ее движение определяется с достаточной точностью притяжением опять-таки только одного, но уже другого тела — Солнца.
Ракета движется вокруг Солнца по орбите, которую без ощутимой ошибки можно считать эллипсом. 4. Рассмотрим теперь частный случай эллиптического движения: когда орбита спутника является окружностью. Скорость, которую должен иметь спутник для того, чтобы его орбита была окружностью, называется круговой скоростью. Найдем ее величину и направление. Пусть спутник находится на расстоянии га от притягивающего центра. В данном случае е — -- О и в любой момент о 11 ЗАВИСИМОСТЬ ОРбИТЫ ОТ НАЧАЛЬНОЙ СКОРОСТИ ят времени г =- р = го. При помощи формул (2.6.1) н (2.6.2) получим, что о, = О, оп =- ) 'К/р =- ) К!го. Поэтому круговая скорость спутника имеет величину /к (6) Так как о, = О, то круговая скорость направлена перпендикулярно к радиусу-вектору спутника.
Если же спутник имеет скорость, равную по величине ) К1г„но она не перпендикулярна к его радиусу-вектору, то спутник будет описывать эллипс вокруг притягивающего центра (или будет двигаться по отрезку прямой). Эксцентриситет этого эллипса определяется иэ формул к о = гооо б!п ф = — Го З1п ф, о о ' 1~ + 1о 1о ~к~ где ф — угол между радиусом-вектором спутника и вектором его скорости.
Поэтому К К го 1 — — ' = ~собф!. 1о аТ Из формул (5) и (6) следует: опар = опр та' 2 1,4 оар. (8) Можно теперь переписать интеграл энергии (2.3.2) в следующем виде: (9) или (10) Опар + Оаа. 2 При рассмотрении спутников реального небесного тела (Земли или другой планеты; Луны или другого естественного массивного спутника какой-либо планеты; Солнца !гл, и 3АдАчА дВух тел гв или какой-либо другой звезды) следует иметь в виду, что это тело не точка, что оно имеет определенные размеры. В простейших расчетах вместо реального космического тела Т рассматривается его модель в виде шара (со сферическим распределением плотности), имеющего такую же массу и такой же объем, как тело Т; радиус такого шара называется средним радиусаи тела Т.
Так, например, вместо реальной Земли с ее сложной геометрической и механической структурой рассматривается шар того же объема («земной шар»); радиус этого шара— средний радиус Земли — составляет 6371,0 км. Пусть центральное тело Т вЂ” идеальный шар (со сферическим распределением плотности) радиуса Под первой космической скоростью относительно данного космического тела (планеты, звезды и т.
п.) понимают круговую скорость о~ у поверхности этого тела. Зная первую космическую скорость, легко подсчитать период Т, обращения так называемого нулевого спутника звезды (или планеты), то есть гипотетического спутника, который двигался бы по окружности в непосредственной близости от поверхности небесного гела при допущении, что это тело— идеальный шар. Под второй космической скоростью относительно данного космического тела (звезды, планеты и т. п.) понимают параболическую скорость оп у поверхности космического тела.
П р и м е р !. Вычислить 1 и П космические скорости относительно Земли и период Т, обращения ее нулевого спутника. Пусть тз — масса Земли. Средний радиус Земли г, = 6371 км, К ==- /тз. Сила, с которой Земля притягивает массу т, равна /тзт/г»ь и в то же время равна тк„, где кь — ускорение свободного падения на поверхности Земли. Отсюда /тзт/гь» = тй«, К = /тз = Иьин о1 = УК/г» = Укьгь = 'г 9,820 6371 10» =. = 79!0 м/сек = 7,9 км/сек: оп = о~)/2 = 7910 1,414 = ! 1,2 км/сек. Так как длину большой окружности на поверхности Земли можно принять равной (в среднем) 40 030 км, то Т, = 40 030/?,910 = 5060 сек = 84«/» мин. 1 т1 злвисимосгь опвиты от нлчлльнои скорости 69 Разумеется, на практике невозможно запустить нулевой спутник.
Однако данные о таком воображаемом спутнике (его период обращения Т„радиус его орбиты г„первая космическая скорость о,) могут быть использованы в качестве эталона при вычислении данных о других, реальных спутниках *). Проиллюстрируем это на примере. П р и м е р 2. Какова круговая скорость о„„ и период обращения Т спутника, вращающегося на расстоянии г от центра. Земли р — — зн — — — на Отсюда, между прочим, видно, что с удалением от центра Земли круговая скорость спутника убывает (а значит, убывает и пропорциональная ей параболическая скорость), а его период обращения возрастает. Более полезным, чем нулевой спутник, в роли эталона оказался бы круговой спутник Земли, вращающийся на высоте около )70 — 300 км (например, на высоте 230 км, то есть на расстоянии 6600 км от центра Земли).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
