Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 6
Текст из файла (страница 6)
2л. наиболее сильно притягивающего его тела и пренебречь влиянием всех других небесных тел. Так, например, обстоит дело при изучении движения Земли вокруг Солнца или близкого искусственного спутника вокруг Земли. Пусть нас интересует движение тела Я в гравитационном поле, созданном другим телом Т (рис.
2.!). Это движение будем рассматривать в системе отсчета с началом в барицентре (центре тяжести, центре масс) А тела Т и с осями, «Л постАновкА зАдАчи постоянно ориентированными в пространстве. Если размеры тела 5 малы по сравнению с расстояниями его точек до точек тела Т, то мы получим достаточно хорошее представление о движении любой его точки, если изучим движение той материальной точки (Р, т), которая образуется, если всю массу тела Я сосредоточить в его барицентре Р. В результате такого сосредоточения массы траектория барицентра Р тела Я практически не изменится.
Когда говорят о траектории некоторого тела 5 и о его скорости, имеют в виду траекторию и скорость материальной точки (Р, т). Что касается тела Т, то будем в этой главе считать, что оно является шаром со сферическим распределением плотности. Поэтому сила, действующая на материальную точку (Р, т), не изменится, если мы будем считать всю массу М тела Т сосредоточенной в его барицентре А. Таким образом, мы приходим к следующей задаче: изучить движение точечной массы т, происходящее в гравитационном поле, созданном некоторым телом Т, если это тело является шаром со сферическим распределением плотности.
При сделанном выше предположении о теле Т эта задача равносильна, очевидно, такой задаче: изучить движение материальной пючки (Р, т) в гравитационном поле, созданном другой материальной точкой (А, М). При этом движение будем рассматривать относительно точки А, то есть в системе отсчета с началом в точке А и с осями, сохраняющими ориентацию в пространстве.
Эту задачу обычно называют задачей двух тел (точнее было бы назвать ее «задачей двух материальных точек») . Тело Т, в поле тяготения которого рассматривается движение материальной точки (Р, т), будем называть в дальнейшем центральным телом. В вопросах космонавтики центральным телом может оказаться Земля, Луна, Солнце, какая-либо планета, звезда и т.
п. Если в каких-либо рассуждениях вся масса М центрального тела считается сосредоточенной в одной точке А, то материальную точку (А, М) будем еще называть притягивающим центром. Материальную точку (Р, т), чье движение относительно центрального тела Т изучается, назовем условно, для краткости, его спутником. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ [гл. и Например, при изучении движения Земли вокруг Солнца роль центрального тела будет выполнять. Солнце, роль спутника — Земля. При изучении движения искусственного спутника вокруг Земли роль центрального тела играет Земля. ВекторАР, у которого начало — притягивающий центрА, а конец — спутник Р, будем называть радиусам-векторам спутника.
2. Для космонавтики особенно интересен тот случай, когда масса спутника ничтожна по сравнению с массой центрального тела. В таком случае притяжение спутника практически не сказывается на движении центрального тела, не сообщает ему ощутимого ускорения. Зтой физической картине соответствует следующая математическая моделк спутник рассматривается как материальная точка, притягиваемая к центральному телу, но не притягивающая это тело. Мы, таким образом, имеем дело со следующей задачей, которую можно назвать ограниченной задачей двух тел или задачей о непритягивающем (пассивно гравитирующем) спутнике: изучить движение материальной точки (Р, т) (спутника) в ньютоновском поле тяготения другой материа ьной точки (А„М) (притягившсщего центра) при допущении, что спутник вовсе не притягивает к себе притягивающий центр.
Наглядно картину можно представить себе как движение спутника вокруг «закрепленного в пространстве» центрального тела (звезды, планеты), точнее — вокруг тела, неподвижного относительно некоторой инерциальной системы отсчета. Спутник, не влияющий на движение центрального тела, мы условимся еще называть «малым спутником»»). Запишем теперь дифференциальные уравнения движения непритягивающего спутника (Р,т) относительно притягивающего центра (А, М).
Пусть 0$П~ — инерциальная система отсчета, в которой притягивающий центр (А, М) остается неподвижным (рис. 2.2). Пусть ОА = а, ОР = р, АР = е, М вЂ” масса *1 Иногда его называют — не совсем удачно — «бесконечно малым телом» нлн «телом бесконечно малой массы». » 1! ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ притягивающего центра, т — масса спутника. По второму закону Ньютона й»г Мт т = — !' — г. й!» г» (1) Число (2) будем называть гравитауионн»си параметрам притягивающего центра. Для Солнца Кс = ! 325 10' км»/сек», для Луны Кл = 4900 кмЧсек», для Земли Кз =- 398 600 км»!сек»*), Уравнение (1) перепишем в виде Р "„;,+К вЂ” ', =0 (3) или Р К Р «т 0 еу» ( р — а!» (4) 3. Рассмотрим теперь общий случай задачи двух материальных точек (случай притлгиеоюшего спутника). Пусть притягивающий центр А имеет массу М, а спутник Р— массу т.
Выберем в пространстве «неподвижную» (точнее говоря, инерциальную) систему отсчета 0$«1ь" и другую систему отсчета Ахуг с началом в точке А, причем оси Ах, Ау, Аг соответственно параллельны осям 0$, О»), Оь и одинаково направлены с ними (рис. 2.3). На движение спутника в пространстве влияет по-прежнему притяжение центрального тела. Но в свою очередь спутник, притягивая центральное тело, сам «сдвигает» его в «абсолютном», «неподвижном» (инерциальном) пространстве, и этот фактор также сказывается на положении спутника.
г„„„„„,„„, „,,„ сгл. и ВАдАчА дВух тел Поэтому асср Мт т — = — 7 — г, с((2 то есть 3 М вЂ” — (5) Рис. 2.3. Точка, (А,М) сдвигается относительно инерциальной системы отсчета 0$Ч~ благодаря силе Р,= ~ —,, г. Поэтому Мт ь(3а Мт М вЂ” = ~ — г, так что с(Р »3 02а т — = ~ — г.
ф2 3 (6) 2(2»,~2р ь(2а Ног=р — а, — =-- — — — так что (2 "с(Р,У2 с(2» (М + т) ,Н2 = »3 (л Число К =- ~ (М + т) (8) назовем гравитационным параметром пары материальных точен (А, М) и (Р, т). Таким образом, движение спутника относительчо притягивающего центра определяется уравнением ~г + К-»- = О. ,Н2 »3 Бросается в глаза внешнее сходство дифференциальных уравнений общей задачи двух тел и ограниченной задачи Сохраним обозначения, принятые выше в случае непритягивающего спутника.
На тачку (Р, т) теперь действует сила Мт Р= — ~ — г. »9 4 21 ИНТЕГРЛЛ ПЛОШЛДЕЙ. ВТОРОЙ ЗЛКОН КЕПЛЕРЛ 45 двух тел; только К имеет в этих уравнениях различный смысл. Сравнивая формулы (2) и (8) для К, убедимся в том, что притягивающий спутник с массой т движется относительно центрального тела с массой М точно так же, как двигался бы непритягивающий спутник вокруг центрального тела с массой М + т. Заметим, что векторное уравнение(9) равносильно трем скалярным уравнениям для декартовых координат спутника: йвх х йзу у йзг г — + К вЂ” = О, — + К вЂ” = О, — + К вЂ” =О, (10) дуз гз дгз гз — ' йгз гз где г =- )Гхз + у' + г"-.
(1 1) В дальнейшем нам предстоит из формул (8) и (9) вывести важные для практики свойства движения спутника: законы Кеплера, уравнение орбиты спутника, зависимость положения спутника на этой орбите от времени. Задачи !. По данным непосредственных измерений ускорение силы тяжести составляет на экваторе е, =- 9,7805 м!сека (в силу тяжести вклкь чается центробежная сила). Экваториальный радиус Земли = 6378,150 км. По этим данным вычислите гравитационный параметр Земли Кз. 1 2. Масса Юпитера составляет 1047 4 от массы Солнца, масса Зем- 1 ли — 882400 от массы Солнца.
Считая известным гравитационный параметр Земли Кз, подсчитайте гравитационный параметр Юпитера Кит $ 2. ИНТЕГРАЛ ПЛОЩАДЕЙ. ВТОРОЙ ЗАКОН КЕПЛЕРА 1. Покажем, что движение спутника относительно притягивающего центра все время происходит в одной и той же плоскости, проходящей через притягивающий центр. Радиус-вектор спутника г и его скорость О являются фУнкциами вРемени; пУсть в момент уе г =- г, и О = тге. Возможны два случая: 1) векторы г и ег неколлинеарны !Гл. И 49 3АдАчА дВух тел (то есть не лежат на одной и той же прямой нли на параллельных прямых); 2) эти векторы коллинеарны.
Сл у ч а й 1. Умножая равенство (2.1.9) ") векторно ~а г, получим Д2г 1 гх — = — К вЂ” (гх г). ОЫ2 г' Так как с( ( с(Г ! О(Г О(Г г(2Г г х г =- О, — !ьг х — ~ = — Х вЂ” + г х с(т (. О(! .) О(! с(! (12 то с( Г с(гз Й вЂ” ~Г Х вЂ” 1 = О, Или — [Г Х 22! = О, Ж (.
О(! ) ' О(! откуда г х тт = а, где в — постоянный вектор. Полагая г' =- !„найдем, что (2) С=ГО Х 220 Умножая (!) почленно на г скалярно, получим о г=О. Итак, в любой момент вектор г (радиус-вектор спутника) перпендикулярен к вектору а. А это значит, что в любой момент времени вектор г лежит в той плоскости (ОО), которая проходит через притягиваю!ций центр и перпендикулярна к вектору в. С л у ч а й 2. В этом случае также справедливы формулы (1) и (2), но в = О, ибо г, и оа коллинеарны, и не имеет смысла говорить о какой-то определенной плоскости (а), перпендикулярной к вектору и. Интуитивно очевидно, что в данном случае спутник движется прямолинейно.
Докажем это строго. В данном случае гхо=О. (4) Обозначим орт вектора г через )9, его длину через г, так что (5) г = гр. *> Каи мы договорились а предисловии, зто означает: глава !1, 4 ), формула (9). ~ 21 интеГРАл плОщАдей. ВТОРОЙ закон кеплегА 4т Дифференцируя г по г', получим о = Гр+ гр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
