Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Задачи 1. Спутник Солнца находится на расстоянии ! 496 1Оахм от центра Солнца. Найдите круговую и параболическую скорости относительно Солнца на этом расстоянии. 2. Какую скорость должен получить круговой спутник Земли, обращающийся в плоскости экватора, для того чтобы ои все время находился нзд одним и тем же пунктом экватора? На какой высоте должен быть запущен такой «суточный» спутнику .3. Советская космическая ракета, запущенная 12 сентября 1960 года и попавшая в Луну, имела на расстоянии 320 000км от центра Земли скорость около 2,31 хмусек относительно Земли. Считая, что движение ракеты происходило (от конца пассивного участна до момента удаления *) Заметим, что во многих популярных книгах по космонавтике качестве радиуса орбиты нулевого спутника Земли принимают экваториальный радиус Земли.
Разумеется, от этого нулевой спутник не становится более реальным, более осуществимым. ргл. !! 20 зздд'!А дВух тьл на расстояние в 320000км) по коническому сечению, определите, была траектория ракеты эллиптической, гиперболической или параболической. 4. Орбиту Луны можно в первом приближении считать окружностью радиуса гг = 384 400 км — 60г, (гр — радиус Земли). Найдите круговую скорость о„„и параболическую скорость он, (относительно Земли) в точках этой орбиты.
6. Вычислите ! и Н космические скорости относительно Луны. 6. Вычислите линейную скорость и период обращения кругового спутника, двигающегося на расстоянии 6600 км от центра Земли. 5 8. ЭЛЛИПС И ГИПЕРБОЛА С ЕДИНОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ 1. Некоторые важные свойства движения спутника формулируются и доказываются по-разному в зависимости от того, будет ли движение эллиптическим или гиперболическим.
Однако можно дать такой аналитический подход к этим кривым, который позволит получить единый вывод свойств обоих видов движения. Для этого воспользуемся некоторыми элементарными сведениями из теории функций комплексного переменного. Тригонометрические функции соз Я и яп 2 и показатель« ную функцию ех рассматривают в математике не только при вещественных, но и при произвольных комплексных значениях 2 *), определяя их как суммы бесконечных степенных рядов: Я~ Я~ тз соз л = 1 — — + — —... + ( — 1) + 2! 4! ' ' ' (2л)! яз 7з 2загг япЯ=Я вЂ” — + — —...+( — 1)" — + 3! 5! ' (2л + 1)! Лз Лн ел= 1+я + — +. + — + 2! ''' п) отсюда легко получить известные формулы Эйлера ем= созл+ гз)пУ, соз л = — (егх+ е га), яп 2 = —.
(игл — е-гх). 2 24 ') См., например, Л. Ф. Б е р м а н т, Краткий курс математического анализа, Физматгиз, !963, или 10.201. З Я ЭЛЛИПС И ГИПЕРБОЛА С ЕДИНОЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ 7$ Нз этих формул вытекает, например, что при любом комплексном 2 созэ 2 + япе 2 = 1. По аналогии с тригонометрическими функциями определяются и так называемые гиперболические функции с)72 и зйг.: с)т х = — (ег + е-г), з)т х = — (ег — е-г). — -г 1 г -г 2 ' 2 Легко проверить, что при любом Г' соз 17 = СЫ, яп Н = 1 з)7 |. Прн ИЗМЕНЕНИИ ВсщсетВЕННОГО 1 От О дО Оо И От О дΠ— оо СЫ монотонно возрастает от 1 до ОО, при изменении 1 от — СО да Ос З)Т | раетЕт От — Оо дО оо. 2.
Пусть а и Ь вЂ” два каких-либо постоянных числа. Рассмотрим два уравнения х = а СОЗЕ,( (1) у = Ь яп Я1 при двух различных предположениях относительно а, Ь, Я. С л у ч а й 1. а ) Ь ) О, 2 пробегает вещественные значения от — оо до Оо. Случай 2. а ( О,Ь = — 1 1Ь|,л =- 1Н, Н пробегает вещественные значения от — ОО до со. Нетрудно проверить, что не только в случае 1, но и в случае 2 х и у — вещественные числа. Ясно также, что точка Р, координаты которой определяются формулами (1), удовлетворяет уравнению х' у' (2) Но (2) — это уравнение эллипса в случае 1, а в случае 2 (когда Ь = — 1~Ь!) — это уравнение гипербола: е г 1 а ~З ~ Ь !' (з) 1гл. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ 72 В случае 1, когда 2 пробегает вещественные значения от 0 до 2п, точка Р (а соз 2, Ь з(п Л) описывает эллипс (рис.
2.9), перемещаясь по нему против часовой стрелки. При изменении 2 от — о до + с точка Р многократно описывает этот эллипс. В случае 2 при изменении Н от — со до + со точка Р (1 а ~ с)т Н, Ь В)ч Н) опишет левую ветвь гиперболы в направлении, указанном стрелкой на рис. 2.10. Введем еще число с по формуле с = ) а' — Ь'. (4) Как в случае 1, так и в случае 2 подкоренное выражение— вещественное неотрицательное число.
Условимся в качестве значения корня брать его неотрицательное значение, если Ь вЂ” вещественное число (случай 1), и отрицательное значение корня, если Ь вЂ” мнимое число (случай 2) *). При таком выборе знаков мы получим, что в случае 1 геометрическим местом точек плоскости, сумма расстояний которых от точки А (с, О) и Р ( — е, О) равна 2а, является эллипс (рис.
2.9), заданный формулой (2). В случае 2 геометрическим местом точек Р, для которых разность расстояний от точек А (е, О) и Р ( — с, О) равна 2а (то есть для которых АР— РР = 2а), есть левая ветвь гиперболы (рис. 2.10). Нетрудно проверить, что в принятых нами обозначениях многие формулы для эллипса и гиперболы оказываются едиными, например: Ь' с р = —, В = —, г = а — с = а (1 — е). а' а' В дальнейшем мы воспользуемся тем, что все формулы, логически вытекающие из единых формул для эллипса н гиперболы, также будут иметь один и тот же вид для кривых обоих типов.
Число а, входящее в единые уравнения эллипса и гиперболы (1), назовем главной полуосыа соответствующей кривой. Как видно из предыдущего, главная полуось эллипса положительна (она равна длине его большой полуоси), а главная полуось гиперболы отрицательна (она равна *) Число с имеет простой геометрический смысл: это абсцисса фокуса А эллипса или гиперболы. КОНСТАНТА ЭНЕРГИИ СПУТНИКА 73 4 э.
СВЯЗЬ КОНСТАНТЫ ЭНЕРГИИ СПУТНИКА С ВЕЛИЧИНОЙ ГЛАВНОЙ ПОЛУОСИ ЕГО ОРБИТЫ 1. В $3 мы получили интеграл энергии о2 ! й 2К Г Если спутник находится в перипентре, то г =- Г„, о = о, и поэтому А = оп— 2К Гп Воспользуемся следующими формулами (см. АЭ г„= = а (1 — е), о„=- — (1 Р 1+а ' р Тогда из (2) следует, что К . , 2К К 2К А = — (1+ е)' — — = — (1 + е) — — =— Р г„ то есть (2) 5 — 6): + е). К вЂ” (1 — е), гл А= —— К а (3) Теперь интеграл энергии можно записать в ином виде: 2 1 о2 К( ) (4) или "=К( — „—, ) ° 2 1 — е (5) Последние формулы в.рны как для эллипса (а ) 0), так и для гиперболы (а ( 0); они верны и для параболы (а == о; е = 1).
В случае гиперболической орбиты а = — ~ а !, длине вещественной полуоси гиперболы, взятой со знаком минус). Примем, что при е) 1 )г 1 — е = Дг е — 1, причем Уе — 1 ) О !' е+ 1) 0 (берутся положительные значения корней). Прн таких условиях и для гиперболы остается справедливой формула Ь = а~ 1 — е'. [гл. и ЗАДАЧА ДВУХ ТВЛ й = по; поэтому и' К (6) В случае эллипса 2а — г = г„где г, — расстояние спутника до «пустого» фокуса Г", в котором не находится притягивающий центр (этот фокус иногда называют «анти- фокусом»).
Известно, что Куг=-и„'р, где в«р — местная круговая скорость в той точке, где находится спутник. Поэтому К(2а — г) К 1;, г, га г а "р а ' » 1 О = пар а ' (7) Эту формулу можно записать так: и =- в«р1 Гг,! ( а !. (8) 2дго Го+ Ни 2га4 Н +Н 1«+Н п„найдем по правилу рычага: В„г„=- п„г„. В нашем случае г, = 6371 км, Н„= 1880 км, Но =- 226 км. После вычислений получим о, = 8,2 кмlсек, о„= 6,6 км!сек.
2. Пользуясь интегралом энергии в форме (4), можно сделать некоторые*любопытные выводы о движении спутника по гиперболической орбите на больших расстояниях от притягивающего центра (то есть при больших г). Заметим сначала, что если г великб (по сравнению с ~ а ~), то точки гиперболической орбиты, через которые проходит В таком виде она верна и для гиперболы. П р и м е р. Высота перигея третьего советского ИСЗ в первые дни после запуска (май 1958 года) была равна Н„ = 226 км, высота апогея спутника Н, =- 1880 км. Какова была скорость этого спутника при прохождении через его перигей и апогей? 1'2 11 2а — г., К г, Решение. п»„=К( — — — )=К ~г„а) аг„а г,,' Но К = арго, где г, — радиус Земли.
Поэтому кот!стлнтА эпепгии спутникА ам 75 Поэтому (о 1+2 —,+ —, = о 1-1- —,— Итак, о (о(о +--— К 1 Оаа (1 1) или 0(о — о ( —, К го (12) Пусть при движении вдоль какого-либо участка его орби- ты все время выполняется неравенство г ) 1;. Тогда 0(о — о ( —. К (13) Гао, Если спутник движется далеко от притягивающего центра, то К/(г,о ) мало. А это значит, что на больших расстояниях от притягивающего центра спутник движется практически Равномерно со скоростью о .
Эти соображения можно ис- пользовать для примерной оценки времени движения спут- ника на участках гиперболической орбиты, далеких от центрального тела. спутник, близки к асимптоте этой гиперболы. А это значит, что при больших г спутник практически движется прямолинейно. Покажем теперь, что при больших г по гиперболической орбите спутник движется практически равномерно со скоростью о Формулу (4) можно в случае гиперболического движения переписать таким образом: о =)/К вЂ” + —.
2 1 г ~а)' (9) Отсюда при г — со найдем о == )~ГК'~а(, то есть ~а( = К/о' . (1О) [гл. и ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ 76 Действительно, пусть спутник движется по дуге Р,Р, гиперболической орбиты, причем эта дуга расположена настолько далеко от притягивающего центра, что практически допустимо считать движение спутника по этой дуге прямо; линейным. Пусть АР, = г,, АР, = г,.
Длину дуги РОР~, можно приближенно считать равной г, — г,. Скорость о спутника в любой момент времени будет заключена между о и о + К!(гОо ). Поэтому время для перелета вдоль дуги Р,Р, будет практически заключено г1 — гО!( К 1 между числом (г, — гО)lо и числом ~ ~1+ —,1, ( ГО'1 г1 гОу К которое близко к числу ~1 — —,— .
СледовательГОО' / но, если примем, что спутник потратил на перелет по дуге Р,Р, время Г1 10 т= ООО (14) то за предел относительной погрешности можно принять число б= (15) ОО = ) — ° О о В силу неравенства (11) имеем О о к о оса 1+ )о Такая оценка является завышенной. В действительности от- носительная погрешность будет меньше, как это видно из следующих соображений. Время 11 — 1, перелета вдоль дуги Р,Р, можно считать равным О о! 77 КОНСТАНТА ЭНЕРГИИ СПУТНИКА Интегрируя, получим: гоо / Но, ( —, если «,) г,. Поэтому за границу г, + К/о~ г, + К/о' 'о абсолютной погрешности приближения /, — / = т можно принять число Лт = — 1п — '. о,„, о о (16) Иначе говоря, К г, т — —,! п — ( /о — /, ( т. о' го (17) К !и (г,/г,) г,— г, (! 8) А это число меньше, чем К/(о' г,) (в силу известного неравенства !п (! + а) (а при а ) 0).
П р и м е р. Каксообщило ТАСС(см. «Правду»за26февраля 1961 года), советская автоматическая межпланетная станция (АМС), посланная в сторону Венеры 12 февраля 1961 года, находилась 13 февраля в 12 часов дня (по московскому времени) на расстоянии 488 900 км от Земли (будем считать, что от поверхности Земли). Согласно данным из сообщения ТАСС, скорость в . можно считать равной 4,0 км/сек. Через сколько времени АМС удалилась от центра Земли на расстояние, равное 1 000000 км? (Предполагается, что влиянием Солнца на движение АМС можно в этих расчетах пренебречь.) Р е ш е н и е. Так как радиус Земли равен 6370 км, то можно считать го = 495 ООО км, г, = ! 000 000 км.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
