Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Рассмотрим частный случай, когда парус плоский и ориентируется в пространстве так, чтобы он был все время перпендикулярен к лучам, идущим от Солнца (рис. 2.16). Будем полагать, что ракетный двигатель космического корабля выключен. Найдем траекторию, по которой будет в этом случае двигаться корабль *).
') Эту задачу впервые (в 1924 году) решил советский ученый Ф. А. Цавдер, игл. и ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ Введем следующие обозначения: э — площадь паруса, г — расстояние паруса от (центра) Солнца, г, — среднее расстояние от Земли до Солнца. Сила, с которой солнечные лучи отталкивают парус, может быть вычислена по формуле гэ Р,=а — э, О К'г г' Мт г, '1 г т — = ~ — г' — +аэ — '~— ~г ( Э .А! (2) (здесь г — радиус-вектор корабля БР). Последнее уравнение можно переписать так: с!2Г г дР г' ' — = — К вЂ”. где К = ~М вЂ” агэ— 3 От (4) Таким образом, мы пришли к знакомому нам уравнению (8) из ~ 1, только константа К имеет сейчас иной физический где а — коэффициент пропорциональности, который может быть найден экспериментально.
Этот коэффициент называют константой светового давления. Число а показывает, с какой силой давят солнечные лучи на перпендикулярную к ним площадку, имеющую площадь !м' и расположенную вблизи Земли. Можно принять, что для абсолютно черного паруса а = 4,5 10 ' нlм'. Произведение аз — это суммарная сила, с которой солнечный свет давит на парус, когда последний находится вблизи Земли. Обозначим через т массу космического корабля (вместе с парусом), через М вЂ” массу Солнца.
Рассмотрим случай, когда влиянием других небесных тел, кроме Солнца, на корабль можно прейебречь (корабль находится далеко от них). Выберем систему отсчета с началом в центре Солнца и с осями, постоянно ориентированными в пространстве. Дифференциальное уравнение движения корабля относительно Солнца, очевидно, таково: а Ы1 СОЛНЕЧНЫЙ ПАРУС смысл. Все полученные выше следствия из уравнения (2.1.8) остаются в силе и сейчас. В частности, корабль с солнечным парусом, постоянно ориентированным) перпендикулярно к солнечным лучам, будет двигаться поконическачу сечению (по эллипсу, параболе или гиперболе) э). Предположим для простоты, что космический корабль до момента развертывания паруса двигался вокруг Солнца по круговой орбите (например, находился на орбите Земли). Его скорость по определяется по формуле (м "о = ЕО Пусть в какой-то момент те корабль развернул солнечный парус площади в.
Тогда он начал двигаться по коническому сечению, у которого главная полуось а определится из формулы 2 1 то есть 1 2 (5) а го ГМ вЂ” агав/т ' Обозначим через в, то значение величины в, для которого правая часть формулы (5) обращается в нуль. При О ~( в <" з, -- ) О, т. е. а) О, а это значит, что корабль 1 а движется вокруг Солнца по некоторому эллипсу. Этот эллипс будет тем более вытянутым, чем больше площадь паруса.
Но с течением времени этот эллипс не будет деформироваться, не будет растягиваться (несмотря на постоянное, непрерывное давление солнечных лучей на парус!), и корабль через определенные (одинаковые) промежутки врелени будет приходить к той точке своей пеовоначальной круговой орбиты, где был развернут парус. Если в = з, или в ) в„ то корабль будет неограниченно удаляться от Солнца (соответственно по параболе или гиперболе). Пусть в выбрано настолько большим, чтобы К = О, то *) При этом следует считать величину К положительной, то есть площадь паруса а не очень большой.
!гл. и ЗАдАчА дВух тпл есть а = а, = —,. Тогда солнечное давление на парус (А4ш агзз компенсирует силу тяготения корабля к Солнцу, н корабль будет двигаться равномерно н прямолинейно. Если же площадь паруса будет больше, чем ам то сила, с которой солнечное излучение отталкивает парус, будет больше силы, с которой солнечная масса притягивает корабль. Корабль будет неограниченно удаляться от Солнца по некоторой траектории, обращенной своей выпуклостью к Солнцу (можно показать, что это будет гипербола).
Задачи 1. Космолет с массой в 1000 кг движется вокруг Солнца по той же орбите, что и Земля (эту орбиту будем считать окружностью), и притом настолько далеко от Земли, что ее притяжением л1ожно пренебречь. С помощью плоского солнечного паруса он должен совершить перелет к орбите Марса по траектории, касающейся орбит Земли и Марса (орбиту Марса считаем окружностью, притом лежащей в одной плоскости с орбитой Земли). Материал, из которого изготовлен парус, таков, что кусок паруса площадью в ! мз имеет массу 2 г. Во время полета предполагается постоянно ориентировать парус перпендикулярно к солнечным лучам.
Давление солнечного света на такой парус, если бы он находвлся вблизи Земли, составляло бы примерно 4,5 !О ' н?м'. Какую площадь должен иметь парус? Какова его масса? 2. Космический аппарат движется вокруг Солнца под действием светового давлении и силы притяжения Солнца. Его солнечный парус имеет такую большую площадь, что постоянная К в дифференциальном уравнении движения бзг и — = — К— бп гз отрицательна.
Найдите уравнение орбиты аппарата и выясните харак- тер его движения. $12. ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ В ЗАДАЧЕ ДВУХ ТЕЛ Ю 1. Для вывода законов Кеплера, уравнения орбиты спутника н некоторых других формул задачи двух тел можно воспользоваться аппаратом комплексных переменных. Пусть материальная точка (Р, т) (непрнтягнвающнй спутник) движется под влиянием тяготения к притягивающему центру *) Этот параграф можно при первом чтении опустить. 1 121 ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ В1 (А, М).
Выберем в плоскости движения прямоугольную систему координат Аху (рис. 2.17). Дифференциальные уравнения движения спутника имеют вид Введем для спутника Р вместо двух вещественных ко- Рис. 2.17. ординат х, у одну комплексную координату н1 =- х+ 1у. Тогда два уравнения (1) объединяются в одно: Н1 = — К вЂ”, (2) где т = (П1! = Ртх' + у'. 2. Интеграл площадей. Умножая (2) на н1 (П1 = х — 1у), получим — К нхв = — — нхд 2 э или — 7(' Н11В = — —. т ' Прибавим к обеим частям этого равенства ахсл — К 1ЖО + Н Щ = — — + ПХ21, т или Но правая часть — всегда вещественное число. Поэтому мнимая часть !Ш вЂ” (1Ш) = О, о( 92 ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ (ГЛ. !! то есть *) 1ш(ачв) = О, й йг откуда 1ш (а««о) = о, (3) 1ш [(х — Гу) (х + Гу)1 = о.
Отсюда получаем декартову форму интеграла площадей ху — ух =о. (4) Запишем а«в показательной форме а*): Отсюда ГО = ГЕ-«Е «о = (г + згО) е«е. 1гп (йдо) = 1ш [г (г + «ГО)) = гзО, (5) Поэтому и из (3) получаем полярную форму интеграла площадей г'О = а. (6) *) Легко проверить, что операция дифференцирования по вещественному переменному (О перестановочна с операцией взятия мнимой (нли вещественной) части и с операцией перехода к сопряженным переменным. **) Воспользовавшись формулой Эйлера (см. 4 8), любое комплексное число ю, представленное в тригонометрической форме: и« = р (соз «р + ! з! и «р), можно записать в так называемой показательной форме: и« = рета. где а — некоторая вещественная константа. Зависимость (3) между комплексной координатой спутника и и его скоростью а«называют интегралом площадей (в комплексной форме).
Вещественное число о называют константой площадей. Так как ы« = х+ (у, й« = х + зу, а« = х — «у, то (3) можно записать так: В 121 пРИМенеНие КомплеКсныХ ПЕРЕмЕННЫх 93 Движение спутника прямое (по определению), если о ) О, и обратное, если о( О. При о = 0 имеем 0 = О, 0 = сопз1, а это значит, что спутник движется по лучу, исходящему из притягивающего центра. Для определенности всюду в дальнейшем ограничимся случаем о )О. Тогда 0 О, 0 монотонно возрастает, радиус-вектор спутника вращается вокруг притягивающего центра против часовой стрелки.
Формулу (5) запишем так: щ ' в+ 0((влв) (7) Число е" изображает орт радиуса-вектора спутника; вектор (евв = ен""1в> — тоже единичный, он получается из вектора е" поворотом на +90'. В каждый данный момент времени вектор е" определяет некоторую ось, проходящую через спутник, а именно ту ось, на которой лежит этот вектор и которая одинаково направлена с ним.
Мы ее назовем радиальной осью. С течением времени радиальная ось поворачивается вокруг начала координат. Вектор (е'в тоже определяет в каждый момент времени некоторую ось, проходящую через спутник, — ту, на которой лежит этот вектор и которая одинаково направлена с ним. Эту ось назовем трансверсальной осью. Величину и, проекции вектора скорости спутника и на радиальную ось называют в механике радиальной компонентой скорости, а величину о„проекции вектора ю на трансверсальную ось — трансверсальной (или поперечной) компонентой скорости. Из формулы (7) видно, что о, = г, о„= г0.
(8) Поэтому интеграл площадей приобретает вид (9) гол о или г о з!п ~р = о, (10) где у — угол между векторами АР и в. 3. И н т е г р а л э н е р г и и. Из дифференциального уравнения (2) ю в= — К— .в ~гл. н ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ 94 (здесь г = ~и~) следует, что ыто юи = — К— гз Это равенство остается в силе, если в нем все величины нхо заменить им сопряженными, так что нхг = — К вЂ”. Слегз довательно, К щю+ иха = — —, (нхо+ жя), г' или с~ — ' К д — (иха) = — — — (щ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
