Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Обозначим через 1, момент прохождения спутника через перицентр орбиты П, а через ! — момент его прохождения через точку Р. Продолжительность перелета спутника от перицентра П до точки Р обозначим через т: го. (2) Нас будут интересовать две задачи. ПОЛЕТ ОТ ПЕРИЦЕНТРА тоз 3 а д а ч а 1. Сколько времени потребуется спутнику для перелета по известной орбите от перицентра П до заданной точки Р орбитыу Таким образом, даны величины К, е, р, 8 (истинная аномалия точки Р); требуется найти т. 3 а д а ч а 2. В какой точке Р своей орбиты окажется спутник через т единиц времени после прохождения через свой перицентр? Таким образом, даны величины К, е, р, т. Ищется 8.
2. Искомую зависимость между величинами т и 0 (при данных К, е, р) можно найти из уравнения орбиты спутника (1) и из интеграла площадей: , (е г2 = о. »11 Отсюда Интегрируя это равенство по 8 в пределах от Е до 0, получим: о в (о р' де о а (1+ есоз0)'' о 0 (3) е в . 1 (~ »- , В) 1 х ) (' » '» 2 ) 2 Отсюда Гр ( 8 1,0~. ,12з К~ 2 3 2») (4) Зная истинную аномалию 8 какой-либо точки Р параболической орбиты, можно по этой формуле вычислить, сколько времени (т) потребуется спутнику для полета от Интеграл в правой части — некоторая функция от О.
Она может быть выражена через 0 посредством элементарных функций. Однако окончательный вид этого интеграла будет разным в трех случаях: е (1, е = 1 и е ) 1. Рассмотрим сначала случай е =- 1 (полет по параболической орбите): пгодолжительность пеРелетА 104 !ГЛ. !!! г= ,0 1+соз0 2 2 2 1, 21 = — зес' — = — 11 + 1я1 — ~ Отсюда 13 — = ),/ — — 1, 1+ — 13' — = — ~ — + 2 8»'2г 1, 0 1 !'2» 2 )» р ' 3 2 3~1р Поэтому т= — — — +2 — — 1, то есть т = — (» + р) У(2» — р)/К.
1 3 (5) При помощи этой формулы можно определить, сколько времени занимает перелет спутника по параболической орбите от перицентра до точки, отстоящей на расстоянии г от притягивающего центра. 3. В случае эллиптической орбиты малого эксцснтриситета можно из формулы (3) получить достаточно удобну!е для практических целей зависимость между продолжительностью перелета (от перицентра до какой-либо точки Р орбиты) и полярными координатами этой точки. Воспользуемся тождеством 1 1+о = 1 — !) + ~' — Ф +...
(~ И(1) перицентра до этой точки. Заметим, что и, наоборот, для каждого момента» можно с помощью уравнения (4) найти соответствующее значение истинной аномалии 0 точки Р, в которой будет находиться в этот момент спутник, если он находился в перицентре в момент У,. Для этой цели, как видно из формулы (4), следует сначала решить кубическое уравнение относительно 1я — . з 2' Пользуясь уравнением параболической орбиты, можно время перелета по дуге ПР выразить также через расстояния спутника от притягивающего центра в начале и конце перелета.
Действительно, в случае параболы ПОЛЕТ ОТ ПЕРИЦЕНТРА 105 Продифференцировав его почленно, найдем 1 ,)2 = 1 — 2д+ 372 —..., или —, = ! — 2д + 7' О (д), 1 (1 + ))' где О (д) — некоторая функция от д, которая остается ограниченной по абсолютной величине при д — О. Полагая д = в соз О, получим: = 1 — 2е соз О + в'О (в). 1 (1+ всозО)2 Поэтому из (3) следует р2 т = — (Π— 2е з(п О) + в'0(в). о Пренебрегая членами, содержащими в', получим: рв т = — (Π— 2в ып О). (6) о Положим в этом равенстве О = 2П; тогда т =- Т, где Т— период обращения спутника вокруг притягивающего центра.
В этом случае формула (6) дает: Т = — 2л. (7) о Из (6) и (7) следует, что при любом О Т т = — (Π— 2е з!и О). 2П (8) Точным вычислением интеграла (3) при в+ 1 мы займемся в следующем параграфе. Задачи 1. Ракета получила на высоте230кл над поверхностью Земли параболическую скорость в горизонтальном направлении. Через некоторое время она достигла орбиты Луны (оказалась на расстоянии 384 000 км от нентра Земли).
Сколько времени занял зтот перелет? 406 ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ПЕРЕЛЕТА [ГЛ. !!! $ 2. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ КЕПЛЕРА 1. В этом параграфе мы займемся определением промежутка времени, необходимого для перелета спутника по известной эллиптической или гиперболической орбите от перицентра до заданной точки орбиты Р. Мы видели, что это время т выражается определенным интегралом через истинную аномалию 0 точки Р. Ниже мы убедимся, что продолжительность полета т значительно проще выражается через другой параметр, У, характеризующий положение точки Р. Напомним (см. главу 11, 9 8), что уравнения х = а совЕ, у = Ь з)п 2 задают в параметрической форме: а) эллипс (рис. 2.9) „в уа — + — =1 а' Ьа (2) если а ) Ь )0 и е.
пробегает вещественные значения от — оо до оо или от произвольного с( до с(+ 2п; б) левую ветвь гиперболы (рис. 2.10) х' — — — =1, ) а )з ) Ь )з 2, Космическая ракета (Р) двигалась вокруг Солнца (5) по круговой орбите, близкой к орбите Земли (ЗР 150 1О' км). Благодаря непродолжительному включению ракетного двигателя скорость ракеты изменилась и стала параболической, причем вектор этой скорости оказался расположенным в плоскости орбиты Нептуна и направленным перпендикулярно к радиусу-вектору ракеты ЗР. Скольно времени потребуется затем ракете для полета с выключенным двигателем до орбиты Нептуна? Орбиту Нептуна можно считать окружностью, радиус которой равен 30,1 а.
е. 3. Корабль-спутник, выведенный на околоземную орбиту, имеет такие параметры: высота в перигее Н = 180 км, высота в апогее Н„= 340 ям, момент 1, прохождения через перицентр — 9 часов 00 минут по московскому времени. На первом же витке должно быть включено тормозное устройство, которое позволит кораблю приземлиться в заранее указанном районе. Предварительные расчеты показали, что для этой цели следует включить тормозное устройство в тот момент, когда истинная аномалия корабля составит 2?О'.
В какой момент времени й следует включить тормозное устройство? $21 ВЫВОД УРАВНЕНИЯ КЕПЛЕРА 1от если а = — ! а ), Ь = — г'~Ь |, У = 10, где О пробегает вещественные значения от — о до оо.1 Пусть орбита спутника Р задана уравнениями вида (1). В каждый момент времени 1 положение спутника вполне определено, если задано соответствуюшее число Л, называемое эксцентрической аномалией.
Например, если в какой-то момент га эксцентрическая аномалия Л равна О, то спутник имеет координаты (а, 0), то есть находится в перицентре П й своей орбиты. Эксцентрическая аномалия спутника Р допускает в случае эллипса простое геометрическое истолкование как радианная мера некоторого угла (рис. 3.1). Построение этого угла, обозначаемого в случае эллиптического движения через Е, достаточно ясно из рисунка а). Так как притягивающий центр А имеет координаты (с, 0) (см. главу П, й 8), а точка Р имеет координаты (а соз 2, Ь з1п Я), то можно выразить длину г радиуса-вектора АР спутника Р через эксцентрическую аномалию Л: гв = АР' = (а соз Л вЂ” с)' + (Ь з(п 2)а.
Используя равенства с = еа, Ьв = а' (1 — е'), после элементарной выкладки получим г = ~ а (1 — е соз Л) (. *) В случае гиперболической орбитыможно эксцентрическую аномалию Л представить в виде Л = ~Й и числу гт тоже можно дать геометрическое истолкование, а именно рассматривать его как площадь некоторого гиперболического сектора. Но мы на этой интерпретации останавлнватьсн не будем, ибо она мало полезна.
108 ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ПЕРЕЛЕТЛ [гл. ~н (5) В последнюю зависимость входит ненужная для наших целей величина О. Но ордината у точки Р в любой момент времени 1 равна Ь з!п Я; и в то же время она равна г е!п О, так что ге(ПО =Ьз!ПЯ. (6) Исключив из равенств (4) — (6) г и О, мы и найдем интересующую нас зависимость между 2 и т. Для этой цели продифференцируем тождество (4): аг .
Ы вЂ” = ае 81п г".—. Ш тЫ' Из формул (5) — (7) следует, что Ы Ь о Ь а о г — = — — = — о — = —. й а р а Ь' Ь' Так как г = а (1 — е сое е), то получим Ы о (1 — есоз Е) т(т' аЬ ' или т! — (2 — ез!ПЯ) = п, (8) Но выражение под знаком модуля всегда положительно — как в случае эллипса (а ) О, О ( е ( 1, ~ соз 2 ( = = ) соэ Е ! ( 1), так и в случае гиперболы (а ( О, е ) 1, сое У = сое (Н = с!т Н ) 1). Поэтому г= а(1 — есозЯ). (4) 2. Пусть спутник в момент 1, находился в своем пери- центре П, а в момент ! пришел в точку Р, имеющую эксцентрическую аномалию Я. Приступим к выводу формулы, выражающей продолжительность перелета по пути ПР через У. В каждый момент времени 1 величина Я связана с величиной г с помощью формулы (4), а г и ! связаны между собой зависимостью (см.
(2.6.1)) йг о — = — ее(п 9. й р $2! ВЫВОД УРАВНЕНИЯ КЕПЛЕРА где п = оlаЬ. (9) (10) (10') Последнее уравнение называется ураенениезз Кеплера для эллиптического и гиперболического движения. Преобразуем выражение для п. Так как мы условились ограничиться случаем прямого движения спутника (о ) О), то есть ~п~ =)/К!)а~з (11) В случае эллипса а)Ь)0, п = )и(. (12) В случае гиперболы а = — )а(, Ь = — !!Ь|, и = — !)п(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
