Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Имеем т= гт — «о 505 000 = ! 26 200 сек = 35 час. о 4,0 Границей относительной погрешности будет служить число Лт/т, то есть число )гл. и 78 ВАдАчА дВух тел Следонательно, на расстоянии в 1 млн. км от центра Земли АМС была 14 февраля около 23 часов (по московскому времени). Зта дата и приведена в том же сообщении ТАСС.
Оценим абсолютную погрешность по формуле (16): 4 ' 25 000 км, †, 6250, А' 398 600 К ОЗ С. !ба Ат ( 6250 !п (6250 !и 2,1( ( 6250 — ( 4800 сек = 1,5 час. 3 4 Таким обРазом, величина гт — Гэ вычислена с погРешностью, не превосходящей полутора часов: АМС оказалась на расстоянии 1Оа ли от Земли 14 февраля между 21 час. 30 мин. и 23 часами по московскому времени.
Задачи 1. Зная скорость оа спутника Земли в перигее и перигейное расстояние спутника г, вычислите его апогейное расстояние г„и апогейную скорость о . 2. Найдите наибольшую и наименьшую скорость, с которой движется Земля вокруг Солнца. Сравните эти скорости со средней скоростью движения Земли вокруг Солнца (то есть с той скоростью, которую имела бы Земля, если бы она двигалась вокруг Солнца по окружности с радиусом, равным среднему расстоянию от Земли до Солнца).
Эксцентриситет з орбиты Земли равен гУаа, а среднее расстояние Земли до Солнца — )49,6 )О' ки. 3. Какую минимальную начальную скорость необходимо сообнгить космолету параллельно поверхности Земли на высоте 230 кл для того, чтобы он мог попасть в Луну в ее апогее? Притяжением Луны пренебречь. Решите ту же задачу для случая попадания в Луну в ее перигее. Среднее расстояние Луны от Земли ал =. 384 400 км, эксцентрнситет лунной орбиты е == 0,055 = чйз. 4. Докажите, что при прохождении спутника, движущегося по эллиптической орбите, через конец ее малой оси скорость спутника равна по абсолютной величиве местной круговой скорости.
5. Для того чтобы спутник мог длительное время обращаться вокруг планеты, он не должен приближаться к ее поверхности ближе, чем на расстояние А (в противном случае он быстро сгорит в ее атмосфере). Спутник выходит на эллиптическую орбиту в точке В на высоте и ) А над поверхностью планеты со скоростью, направленной параллелыю КОНСТАНТА ВВЕРГНИ СПУТНИКА 79 этой поверхности. В каких пределах должна находиться величина начальной скорости для того, чтобы спутник мог длительное время обращаться вокруг планеты (то есть, чтобы г„) Л)? Планета сферической структуры.
6. Спутник, движущийся по гиперболической орбите (рис. 2.10), приближается к звезде с весьма большого расстояния (из «бесконечности»). На больших расстояниях от звезды(«на бесконечности») он движется практически прямолинейно — по асимптоте к своей орбите, отстоящей от звезды на известном расстоянии Ы, и имеет скорость пь причем )и» ! = о . После прохождения через периастр П спутник будет неограниченно удаляться от звезды и на достаточно больших расстояниях от нее («на бесконечности») он опять будет двигаться практически по прямой со скоростью в» (!в«! = о ). Вычислите угол А между векторами в» и в, (то есть угол, на который повертывается вектор скорости спутника в результате воздействия звюды).
Гравитационный параметр К звезды известен. 7. Ракета запускается под углом ф к вертикали на расстоянии )? от центра Земли. Найдите минимальную начальную скорость о, котоую следует сообщить ракете для того, чтобы она удалилась от центра емли на данное расстояние»(. Выведите формулы для большой полуоси и эксцентриситета орбиты ракеты. 8. Ракета получила на высоте Н над поверхностью Земли некоторую начальную скорость и«, направленную под углом ф к горизонту. Какова должна быть величина этой начальной скорости для того, чтобы перигейное расстояние ракеты было равно заданной величине А (Ь ( Н)? 9. Советская автоматическая межпланетная станция (АМС), посланная к Венере 12 февраля 1961 года, стартовала с борта космическсй ракеты. В момент отделения от ракеты скорость АМС превышала местную параболическую скорость на б = 661 м(сгк. Кроме того, известно, что АМС на расстоянии г« =- 488 900 хм от поверхности Земли имела скорость о« =- 4,050 хи?сек.
На какой высоте Н над поверхностью Земли отделилась АМС от несшей ее космической ракеты? Какую скорость имела АМС в этот момент? Вычислите длину главной полуоси орбиты АМС, Была ли орбита АМС вблизи Земли эллиптической, гиперболической или параболической? 10. При прохождении через некоторую точку Р, отстоящую от звезды А на расстоянии г«, спутник звезды имел скорость о«. Местная параболическая скорость в точке Р равна оп, . Вычислите главную полуось а орбиты спутника.
11. При прохождении через периастр спутник Р звезды А имел скорость о . Местная круговая скорость о р в периастре известна. Вычислите эксцентриситет орбиты спутника. 12. Спутник Р звезды А при прохождении через точку Р« своей эллиптической орбиты отстоял от центра звезды на расстоянии г« и имел скорость о«. Известно, что если бы в этот момент скорость спутника и о была перпендикулярна к его радиусу-вектору «4Р«, то орбита спутника имела бы эксцентриситет е,. В действительности же вектор скорости спутника о« образует с радиусом-вектором спутника угол а.
Местная "Руговая скорость о„ в точке Р, известна. Найдите эксцентриситет а )гл. и 80 ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ орбиты спутника и его периастральное расстояние г„(расстояние ст периастра до центра звезды). 13. Космолет движется (с выключенным двигателем) в поле тяготения звезды А, имеющей гравитационный параметр К. В момент прохождения космолета через некоторую точку С его скорость была равна о и направлена под углом ~р к радиусу-вектору космолета АС. Местная круговая скорость в точке С равна о„ .
Какова истинная аномалия 0 космолета в момент прохождения через точку С, если известно, что 0<0<ну 14. Космолет Р, совершающий перелет с орбиты Земли к орбите Марса, находится на расстоннии !50 !О' км от Солнца (А) и притом настолько далеко от Землгч что ее влиянием можно пренебречь. Скорость космолета относительно Солнца в этот момент равна 35,0 км!сек и направлена под углом 60' к радиусу-вектору АР. Вычислите истинную аномалию космолета при прохождении через точку Р. $10. ТРЕТИЙ ЗАКОН КЕПЛЕРА 1. В этом параграфе будет идти речь только об эллипти- ческом движении.
Периодом обраи!ения спутника вокруг притягивающего центра называют время Т между двумя последовательными моментами прохождения спутника че- рез его перицентр. Пусть т — время, прошедшее с момен- та ге прохождения спутника через перицентр П, з — пло- щадь, заметенная радиусом. вектором спутника в течение ! этого времени. По второму закону Кеплера з =- — от. 2 Когда спутник совершит один полный оборот вокруг при- тягивающего центра, то от момента 1, его прохождения через перицентр пройдет время Т (где Т вЂ” период обра- щения спутника), а радиус-вектор спутника успеет замести весь эллипс и притом один раз.
Площадь этого эллипса, как известно, равна лаЬ, следовательно, лаЬ = — оТ, ! 2 2лаЬ 2лаЬ 2лаЬ 'р'К) р )г тх 1' Ьз)а то есть Т = ачь 2л )у'~ ТРЕТИЙ ЗАКОН КЕПЛЕРА З 101 Эта формула позволяет найти период обращения спутника, если известна большая полуось его орбиты и гравитационный параметр К. Из формулы (1) видно, что при изменении эксцентриситета орбиты или ее малой полуоси Ь или фокального параметра р период спутника не изменится; только изменение большой полуоси влияет на период обращения спутника (при данном К). Формулу (1) можно переписать и так: а» К Т' 4ПЗ (2) 2и и=— Т называется средней угловой скоростью движения эллиптического спутника, или его средним движением. Из (1) видно, что и= —. )'к а»л (4) Мы здесь пока не делали никаких предположений относительно параметра К.
Допустим теперь, что речь идет об «ограниченной» задаче двух тел, то есть о движении малого (непритягивающего) спутника. В таком случае К = 1М, где М вЂ” масса притягивающего центра, и аз 7М Тз = 4из ' (5) Если другой малый спутник обращается вокруг того же притягивающего центра и если а, и Т, — соответственно большая полуось его орбиты и период его обращения, то и для него а', ЕМ у' 4и' ' 1 М. Е.
ВЗЗ« Так как за Т единиц времени радиус-вектор спутника заметает угол в 2и радиан, то в среднем в течение одной единицы времени этот радиус-вектор заметет угол в 2и(Т радиан. Число ~гл, и ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ так что 7з 7з (6) аз аз ' ! где а — большая полуось орбиты этого спутника.
Поэтому т = т,( — ') '. (8) Так как а ) г„ то Т ) Тз. Таким образом, период обращения любого спутника центрального тела больше периода обращения нулевого спутника. Например, период обращения нулевого спутника Земли равен 84,3 мин; следовательно, период обращения всякого другого спутника Земли заведомо больше чем 84,3 мин. Заметим попутно, что период обращения реального спутника Земли не может быть меньше 87,7 мин — при меньшем периоде спутник прекращает свое существование уже на первых витках. П р и м е р. Для первого советского ИСЗ высота перигея была равна Н, = 230 км, высота апогея Н„= 950 км. Каков был его период обрашения7 Р еще н и е. Если г,— радиус Земли, то большая полуось а его орбиты равна а == — (2г, + Н„+ Н„).
1 2 По формуле (8) т т(ъ+ ) . Таким образом, мы вывели третий закон Кеплера: Квадраты периодов обращения двух непритягивающих спутников одного и того же притягивающего центра пропорциональны кубам их средних расстояний от притягиваюи(его центра. 2. Допустим, что центральное тело можно рассматривать как шар радиуса г, со сферическим распределением плотности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
