Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 8
Текст из файла (страница 8)
2. Докажите справедливость следующего соотношения: Лз, Кз ) Воз (6) связывающего константы трех интегралов задачи двух тел. й 6. УРАВНЕНИЕ ОРБИТЫ СПУТНИКА При помощи интеграла площадей и интеграла Лапласа можно получить уравнение орбиты спутника. Перепишем зти интегралы: хез=а, (2) ах ез+К вЂ” = — Л. г Рассмотрим сначала случай а = О. Тогда из (2) Л и =- — — г, К а зто и есть уравнение прямолинейной орбиты.
!гл. и 56 ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ Пусть теперь а + О. Умножая обе части интеграла Лапласа (2) скалярно на вектор г, получим г. (о х тт) + — (г т) = — Л г, К или а (т1 х г) + — г = — Лг соз О, К г где 0 — угол между векторами Л и г. Воспользовавшись теперь интегралом площадей (!), найдем г(К+ Лсоз0) = оа.
Отсюда видно, что при о+О К+ Л сон О+ О и поэтому о' г =- К+Лсозй то есть оауК г— 1 + (Л/К) соэ 0 Положим 11' Л р= —, е=-— К' К (4) Тогда уравнение (8) принимает вид Р 1+ е сон 0' *) Для справок относительно терминов и формул иа теории конических сечений можно, например, обратиться к справочникам по высшей математике М, я, Выгодского нли И. Н. Бронштейиа и К. Л. Семендяева, Это н есть уравнение орбитьс спутника (при а + О). В аналитической геометрии *) устанавливается, что (5) есть уравнение конического сечения в полярных координатах с полюсом в фокусе (рис.
2.8). Фокальный параметр этого конического сечения равен р, а эксцентриситет ра- 57 УРАВНЕНИЕ ОРБИТЫ СПУТНИКА вен е. Угол О также имеет простой смысл — это угол между осью симметрии конического сечения и радиусом-вектором спутника. Мы приходим к следующему выводу, выражающему первгяй закон Кеплера: Движение спутника относительно притягивающего центра всегда совершается по коническому сечению (по эллипсу, гиперболе, параболе или прямой), причем в одном из фокусов этого конического сечения находится притягивающий центр (рис. 2.9 — 2.11). Из (2.4.6) и (4) следует, что ои В = 1гг 1+А —,. (6) Таким образом, зная константы К, о, Й(гравитационный параметр при- Рис.
2.8. тягивающего центра, скалярную константу площадей и константу энергии), легко вычислить эксцентриситет В орбиты, а также ее фокальный Рис. 27П параметр р (по первой формуле (4)). А эти два числа полностью определяют форму и размеры орбиты (но, разумеется, не положение ее в пространстве). Из (5) следует, что г принимает наименьшее значение при О = О: р 1+ В' 1гл. и ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ Ближайшая к притягивающему центру точка П орбиты спутника называется перииентром.
Расстояние перицентра от притягивающего центра можно найти по формуле (7). Линией (или оськ>) апсид орбиты спутника называется ось, проходящая через притягивающий центр А и перицентр П в направлении от А к П. Направления оси апсид и вектора Лапласа совпадают. Линия апсид служит, очевидно, осью симметрии орбиты. Рис. 2.10. Рис.
2Д1. В случае, когда 0 ( е ( 1 (орбита является эллипсом), знаменатель в формуле (5) будет при любом 0 неотрицательным числом. Свое наименьшее значение этот знаменатель принимает тогда, когда соз 0 =- — 1, то есть когда 0 = и. В таком случае г принимает свое наиболыиее значение. Это максимальное удаление г„ спутника от притягивающего центра определяется по формуле р г„= ! — е Точка А' эллиптической орбиты, наиболее удаленная от притягивающего центра, называется апоиентром орбиты спутника.
Очевидно, что три точки А', А, П всегда лежат на одной прямой. Перицентр и апоцентр спутника Земли обычно называют перигеем и апогеем, перицентр и апо- УРАВНЕНИЕ ОРБИТЫ СПУТНИКА 5 51 центр спутника Солнца — перигелием и афелием, пери- центр и апоцентр спутника звезды — периастром и апо. астром. Аналогичные названия иногда вводятся и при рассмотрении спутников других небесных тел. Апоцентр и перицентр называют также апсидами орбиты. Среднее арифметическое расстояний от этих двух точек до притягиваю- 1 щего центра, то есть; — (г„+ гз), называется средним расстоянием спутника от притягивающего центра. Оно, очевидно, равно большой полуоси орбиты спутника а): 1 — (г„+ г„,) =- а. Угол О между линией апсид и радиусом-вектором спутника АР называется истинной аномалией спутника в данный момент времени.
Этот угол отсчитывается в положительном направлении от линии апсид (то есть от луча АП). Форма и размеры эллиптической. орбиты вполне определяются любыми двумя из следующих параметров: р, е, а, Ь, с, г„, г„, и т. п. Если известны два из этих параметров, то по формулам аналитической геометрии можно найти все остальные. Чаще всего используются следующие зависимости: Ьз эг сз =- а', Ь =- аз/1 й р == Ьз/а, р == а (1 еа) »1 Большая полуось о является еще в одном смысле средним расстоянием спутника от притягивающего центра: если разделить всю орбиту на т равных дуг, каждую точку деления соединить с притягивающим центром, вычислить среднее арифметичесное этих расстояний р и перейти затем и пределу прн т — » сч, то предел («среднедуговое расстояние спутника от притягивающего центра») ная раз и будет равен о.
Можно себе представить и другие способы образования «средних расстояний спутника Р ог притягивающего центра». Например, можно Разделить полный угол, описываемый радиусом-вектором спутника за один оборот вонруг притягивающего центра А, на т равных углов лучами, исходящими из А, найти среднее арифметическое расстояний спутника от А до точек деления и перейти н пределу при т — » со. Таннм образом, найденное среднеугловое расстояние оназывается равным молой полуоси орбиты Ь.
Аналогичным образом можно определить «средневремсннбе расстоянге спутника от притягивающего центР໠— оно з' з оказывается равным а (1 + ) . 2)' 1гл. »» ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ 60 Аналогично обстоит дело и с гиперболической или параболической орбитой '). П р и м е р. В первые дни после запуска первого советского спутника (4 октября 195? года) наибольшая высота спутника над поверхностью Земли составляла Н, = 948 км, наименьшая — Н., = 228 км. Считая Землю шаром радиуса )с = 6371 км, подсчитайте экспентриснтет орбиты этого спутника. Решение.
г„=)(+Н„, г„=)с+Н,. Но г„= = а + с, г, = а — с. Поэтому 2а = г, + г„, 2с = г, — г„ 2с г, — г„̈́— Н, е= — = ' " = -- +" — -- —. Подставляя числовые данные, найдем е = 0,05. Задачи 1. Среднее расстояние Нептуна от Солнца ан составляет 30,1 астрономических единиц [астрономическая единица (а. е.) — это среднее расстояние Земли от центра Солнца, а. е. 149,6 !О' км]. Среднее расстояние Плутона от Солнца ап почти на 1О а. е. болыпе и составляет 39,8 а. е. Зксцентриситеты орбит Нептуна и Плутона равны соответственно: ан = — 0,009, епл 0,26.
Какая из этих двух планет ближе подходит к Солнцу — Нептун или Плутон? 2. Большая полуось орбиты Земли (при ее движении вокруг Солнца) равна 149,6 1Оа км, эксцентриситет этой орбиты — '/ю (точнее, 0,01678). Вычислите наименьшее и наибольшее расстояния Земли до Солнца. 3.
Над каким полушарием больше времени находился первый искусственный спутник Земли в течение первых его оборотов вокруг Земли — над северным или южным? Воспользуйтесь тем, что перигей спутника находился над какой-то точкой северного полушария. 4. Мы уже видели, что среднее арифметическое наибольшего и наименьшего расстояний спутника от притягивающего центра равно большой полуоси его орбиты. Покажите, что среднее геометрическое этих же расстояний г„и г„равно малой полуоси орбиты (Ь), а их среднее гармоническое — фокальному параметру орбиты (П) [средним гармоническим двух чисел х и у называется такое число г, что *) Заметим, что при выполнении чертежей, необходимых при реше. нии приведенных ниже задач, полезно иметь в виду следующее.
Если орбита уже начерчена и требуется указать ее фокус А, то удобно воспользоваться; а) в случае эллипса (рис. 2.9) — равенством ВА = ОП; б) в случае гиперболы (рис. 2.10) — равенством ЖОАО=-,~тОВП» в) в случае параболы (рис. 2.11) — равенством 1и ~ АПС = 2.
з 6. СКОРОСТЬ СПУТНИКА И ЕЕ КОМПОНЕНТЫ Форма и размеры непрямолинейной орбиты спутника вполне определяются заданием величин р и е. Пусть нам известны эти величины и гравитационный параметр притягивающего центра (К). ~У Если в какой-томомент времени еще известна истинная аномалия спутника, то можно вычислить и вектор скорости п. Как мы уже отмечали, вектор' О можно разложить на две компоненты — радиальную О, И ПОПЕРЕЧНУЮ Ои (РИС. 2.12), причем величины этих компонент определяются по следующим формулам: Рис. 2.12. Ос и Ои г0 Но г ==- РЦ! 4 е соз О), г'0 = а.
Отсюда имеем с!г с(0 раз!и О и о Ос Ои с(0 Й (1+ есозО)' г' ' г Воспользовавшись формулами (2.5.4) и (2.5.5), получим: — и!и О = — зз!ПО, / К . а (1) О„ = 1 à — (! + е соз О) = — (1 + и соз О). (2) Гк о Р Р Абсолютная величина скорости спутника О = )го, '1 то есть о =- 1 ° — (1+ в + 2з сов О).
ГА. (3) Нз формул (!) — (3) вытекает несколько полезных след- ствий. 1 6] СКОРОСТЬ СПУТНИКА И ЕЕ КОМПОНЕНТЫ 61 !гл. н зхдхчл двух тел 1) Из (1) видно, что в перицентре (0=0) скорость спутника направлена перпендикулярно к его радиусу-вектору (ибо с„ =- О) и имеет наибольшее из возможных значений: пч„„= о„= ~,г — (1+ е).
— г у( Р (4) па г Иными словами, скорость спутника в перицентре во столько раз больше скорости спутника в апоцентре, во сколько раз расстояние перицентра от центра притяжения меньше расстояния апоцентра от того же центра притяжения. Действительно, из рис.
2.9 видно, что г„=- а + с =- а (1 —, е), г, =- а — с = а (1 — е). Из этих равенств и из (4) и (5) следует формула (6). Формулу (6) иногда называют правилаи рычага, ибо она допускает такую наглядно механическую иллюстрацию: если представить себе большую ось эллипса в виде рычага с опорой в точке А и к концам этого рычага А ' и П подвесить гири с весами, численно равными соответственно в„и о„,, то весы окажутся в равновесии. 2) В апоцентре (если орбита — эллипс) скорость спутника также направлена перпендикулярно к его радиусу- вектору и имеет наименьшее из возможных значений: вю„= — о„= ~,г — (1 — е). / )~ Р 3) Если известны масса притягивающего центра, положение спутника относительно притягивающего центра и вектор скорости спутника в какой-то один момент времени, то по этим данным можно определить величину и форму орбиты.
Зто следует из того факта, что из трех уравнений (2.5.5), (1) и (2) по трем величинам г, о„в„можно определить е, р. 4) П р а в и л о р ы ч а г а. В случае эллиптической орбиты скорости спутника в перицентре и и апоцентре и„ связаны с расстояниями этих точек от притягивающего центра (г, и г„) следующей простой зависимостью: (6) г б) СКОРОСТЬ СПУТНИКА И ЕН КОМПОГ!ЕГ! ТЫ Задачи 1 Докажите правило рычага при помощи интеграла площадей. 2. Если космическая ракета на высоте 230 км над поверхностью Земли получит параллельно земной поверхности скорость 10 хласек, то апогей ее орбиты окажется примерно на расстоянии 370000 ки от центра Земли.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
