Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Изменится ли эта сила, если всю массу гантели сосредоточить в ее центре тяжести (то есть в середине О отрезка АВ)? Рис. 1.6. 2. Однородный прямолинейный массивный стержень притягивает материальный шарин, причем стержень и шарик расположены на одной прямой (рис. 1.7). Изменится ли сила, с которой стержень притягивает Рис. 1.7. шарик, еслв сосредоточить всю массу стержня в его центре тяжести? В расчетах пренебречь толщиной стержня и размерами шарика, то есть стержень рассматривать как прямолинейный отрезои, а шарик— как материальную точку.
3. Пусть имеется однородная материальная сфера (поверхность шара). Докажите, что сила, с которой эта сфера притягивает материальную точку, лежащую вне сферы, не изменится, если всю массу сфеРы сосредоточить в ее центре. Остается ли это утверждение верным, если точка лежит внутри сферы? Как обстоит дело в этом случае? 4, Некоторые особенности движения спутника Марса Фобоса привели советского астронома И. С. Шкловского к предположению, что Фобос является полым телом (вероятно, искусственного происхождении). ша Будем полагать, что Фобос представляет собой однородный полый Р (то есть тело, ограниченное двумя концентрическими сферами 32 ТЕОРИЯ НЬЮТОНОВСКОГО ПОТЕНЦИАЛА [ГЛ.
1 радиуса Л и Лм Л,(й). Если поместить малое тело («материальную точку>) в центр полого шара, то, очевидно, силы, действующие на это тело, уравновесятся. Найдите результирующую силу, с которой Фобос притягивает материальную точку (единичной А массы), помещенную в произвольной точке Р внутри его полости (то есть внутри сферы радиуса )т',). З. Четыре равных однородных шара, каждый с мас- сой М, имеют своими центрами вершины квадрата АтАзАзАл (рис. 1.8) со стороной а. На прямой ЕР, соединяющей середины двух противоположных сторон квад.
Рис. 1.8 рата, на расстоянии а от его центра расположена материальная точка (Р,т). Изменится ли сила, с которой четверка шаров притягивает точку (Р,ш), если суммарную массу этих шаров сосредоточить в центре симметрии квадрата? й 3. ПОТЕНЦИАЛ ТЕЛА НЕСФЕРИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ 1. Пусть имеется тело, не являющееся шаром со сферическим распределением плотности. Рассмотрим задачу нахождения потенциала такого тела на внешнюю точку Р. Обозначим данное тело через )г, его массу через М, его барицентр (центр тяжести) через О. Пусть 1 — любая прямая, проходящая через О. Моментом инерции тела относительно оси 1 называется в механике следующая величина: где с(М вЂ” элемент массы, а г — его расстояние до оси й Для каждого тела существует тройка взаимно перпендикулярных осей 0$, От), О~, называющихся главными осями инерции (рис.
1.9). Эти оси проходят через центр тяжести тела О и характеризуются тем свойством, что момент а а1 пОтенциАл телА несФеРическОГ1 стРУктУРы 33 инерции тела относительно любой оси 1 выражается через моменты инерции того же тела относительно главных осей А, В, С по формуле а'1 = С = А соз'а + В соз' р + +Ссоза Т, (2) где а, р, т — углы между осью 1 и осями О~, 011, О~. Если бы вся масса М тела а1 была сосредоточена в его барицентре О, то потенциал тела на точку Р был бы равен ) М!г, где г = ОР.
В действительности же, как можно показать, потенциал тела у' на ту же Рис. 1.9. точку Р может быть представлен в виде бесконечного сходящегося ряда, расположенного по возрастающим степеням величины ! Iг. Зтот ряд имеет вид (у ~(М 1+А + В+С вЂ” 3~1+ ~ (3) '1 г г) г' Здесь 1 — ось ОР. Можно показать, что для тела у' со сферическим распределением плотности все слагаемые в скобках, кроме первого, равны нулю (в частности, тогда У1 = А = В = С). Если тело по своей структуре мало отличается от такого шара или если точка Р находится далеко от точки О (г велико), то У будет мало отличаться от первого слагаемого в формуле (3): и =~М-.
Таким образом, в первом приближении можно и в этих случаях считать всю массу тела сосредоточенной в его центре тяжести. Однако для получения более точных результатов необходимо учитывать хотя бы некоторые из отброшенных членов в формуле (3). М. в. Еаак ТЕОРИЯ НЬЮТОНОВСКОГО ПОТЕНЦИАЛА А'ЭК — РРОЛ а= Й9К В (4) где Я,„, — экваториальный радиус планеты, 1㄄— полярный радиус. Например, для Земли а = Ч,®®„для Марса а = '/1н„для Юпитера а Ч„. Принимая, что сила, с которой близкий спутник притягивается к сжатой у~ ' ~~ ' планете, все время направ- У лена к ее центру, мы можем иногда прийти к весьма неточным или даже оши- Х бочным выводам. 2. Рассмотрим нескольРнс. Тло.
ко подробнее вопрос о потенциале сжатого сферонда на расположенную вне его точку Р (рис. 1.10). Обозначим массу сфероида через М, а его экваториальный радиус через Я. Выберем неподвижную (ннерциальную) Рассмотрим пример. Достаточно хорошие прогнозы относительно движения высоколетящих спутников Земли (например, обращающихся на высоте 40 — 50 тыс. км) можно получить, если считать Землю шаром со сферическим распределением плотности.
Такое допущение, как мы уже отметили выше, приведет к полезному первому приближению и в случае низколетящего спутника, если нас интересует его движение лишь в течение небольшого промежутка времени. Если же нас интересует движение низколетящего спутника Земли в течение длительного промежутка времени, то для получения результатов, хорошо согласующихся с практикой, необходимо пользоваться другой, более точной моделью Земли, например рассматривать Землю как сжатый сфероид (эллипсоид вращения). В еще большей мере такой подход полезен при изучении движения искусственных спутников других планет, например Юпитера, Нептуна, Марса, которые значительно более сплюснуты, чем Земля.
В качестве меры сплюснутости (сжатия) планеты принимают отношение ПОТЕНЦИАЛ ТЕЛА НЕСФЕРИЧЕСКОП СТРУКТУРЫ О = — ~ 1 + у, ~ — ) Р, (юп Ф) + (4 ( — ) РА (юп Ф) + + У4( — 1 Р,(з!НФ) +...~. (5) Здесь у„,г„у4,... — некоторые вполне определенные для данного сфероида константы, зависящие от его размеров, формы и распределения масс внутри него, а Р, (д), Р, (д), Р, (д),... — функции от Г, называемые полииомами Лежандра, которые можно определить с помощью формулы 1 4(" Р„(~)) = — „— „(~) — 1)". 2"и! "Ч" (б) Например, Р, (д) = — (5д4 — Зд), . 1 Заметим, что для сжатого сфероида 14 ( О.
для земного сфероида У4 = — (1082,23 + 0,03) .10 ', У'з = (2 3 + 0 2) '10 ' 14 — — (2,12 + 0,05) 10 4. систему отсчета Охуг с началом в центре симметрии сфероида; за плоскость Оху примем его экваториальную плоскость. Положение точки Р можно охарактеризовать либо тремя декартовыми координатами х, у, г, либо тремя сферическими координатами г, Ф, Х, где г = ОР, Ф вЂ” широта точки Р, то есть угол наклона вектора ОР к экваториальной плоскости, Х вЂ” долгота точки Р. Предположим, что во всех точках сфероида, имеющих одни и те же координаты г и Ф, ио разные значения долготы Х, плотность одна и та же (в точках, симметричных относительно плоскости экватора, плотность может, вообще говоря, оказаться различной).
Потенциал сфероида на точку Р можно представить бесконечным рядом зв ТЕОРИЯ НЬЮТОПОВСКОГО ПОТЕНЦИАЛА [ГЛ. ! Так как Р, (з(п Ф) = — (3 з!и'Ф вЂ” 1), то 1 2 1 ~Л4 3 з!п Ф вЂ”вЂ” !Т = — — е г (л где 3 е = — — У,~ЛЯ'. 2 В том случае, когда сфероид обладает механической симметрией относительно экваториальной плоскости (то есть в точках, симметричных относительно этой плоскости, плотность одна и та же), его потенциал на любую внешнюю точку Р может быть вычислен по более простой формуле, чем (5): (I = ~ — 11 + У, ( — ) Р, (з!п Ф) + У~' ( — ) Р (зйп Ф) + + УА ~ — ) Р,'(яп Ф) +...1 . (8) Заметим, что в случае земного сфероида влияние зональных гармоник порядка выше четвертого мало, а коэффициенты УА при й 4 известны весьма грубо.
Поэтому при изучении движения искусственных спутников можно получить хорошее приближение, если в формуле для У пренебречь членами, в которых 11'г входит в степени выше четвертой. Однако такой подход приводит к весьма громоздким выкладкам, а расчеты траектории оказываются очень длительными. Члены ряда (5) являются, очевидно, периодическими функциями от Ф (с периодом 2л). Они называются зональными гармониками соответственно нулевого, второго, третьего н т. д. порядка.
Из (5), ограничиваясь только первыми двумя членами разложения, получим приближенную формулу для потенциала сферонда Г % ° зв ТЕОРИЯ НЬЮТОНОВСКОГО ПОТЕНЦИАЛА 1ГЛ. где Г, =- ) х' + р' + (а + с()', Г, = ) х'-~- р'+ (е — с()'. (12) Для нас сейчас несущественно, при каком именно реальном распределении масс может возникнуть такой потенциал, — важно то, что при таком потенциале можно получить достаточно удобные формулы, описывающие движение материальной точки Р. В теории полиномов Лежандра устанавливается такая формула: , = К'г.(Ч. гггг е=а Пользуясь ею, можно разложить функцию У, в ряд по по- линомам Лежандра. Положим в этой формуле Х = — гlг = = з)п Ф, где г =- 1г' х' + у' + г', и а = ! —.
Тогда найдем, что — Я (! — ) Р„( — ). 1/г Г2 г 1 — 2!в Г Аналогично г г~ ( ~ () 1 1 откуда и,=У ~!+ "( — ) Р, (з1НФ)~ (!4) А=г Сравним формулы (8) и (14). Если положить с =- )г —,l, ( — У,— положительное число), то у рядов (8) и (14) окажутся соответственно равными первые два члена.
Числен- что М,= М, =- —, М, — потенциал У, будет вещественной 1 функцией 1 (! 1) (11) Э А3 ПОТЕНЦИАЛ ТЕЛА НЕСФЕРИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ 39 ный подсчет показывает, что третьи члены у этих рядов обычно тоже достаточно близки (например, если речь идет о земном сфероиде). Полагая Л = У вЂ” У„имеем У= Уо+ Л. Таким образом, потенциал сфероида распадается на два слагаемых, из которых одно (У,) мало отличается от У; второе слагаемое Л не только мало, но еще содержит пара. метры, которые практически определяются весьма неточно.
У, можно назвать нормальной составляющей потенциала арероида, а Л вЂ” его аномальной частью. Гравитационное поле с потенциалом У, можно назвать нормальным граеипшционным полем сфероида. На практике при изучении движения спутника в поле сжатого сфероида мы получим достаточно хороший результат, если вместо поля с потенциалом У будем рассматривать движение спутника в поле с потенциалом У,. Та же идея использования потенциала задачи двух неподвижных центров (9) при мнимых значениях некоторых параметров (расстояний, масс) может быть применена и для того случая, когда сфероид не обладает механической симметрией относительно экваториальной плоскости.
Потенциал сфероида в этом случае имеет вид (5) и заменяется потенциалом вида (9), но с комплексными параметрами. Такая модель сфероида выгодна в тех случаях, когда мы хотим учесть при движении спутника Земли ее грушевидность. ГЛАВА П ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ а к пОстАнОВкА эАдАчи 1. Во многих случаях можно получить достаточно хорошее представление о движении какого-либо небесного тела (по крайней мере в течение небольшого промежутка времени), если учесть воздействие на него лишь одного, Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
