Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 7
Текст из файла (страница 7)
(6) Но а (7) Дифференцируя это тождество, получим р р=о. (8) Умножая почленно (векторно) равенства (5) и (6) и учитывая (4), найдем г' (р х р) = О, Если в течение некоторого промежутка времени не было столкновения спутника с центральным телом, то Г+ О и поэтому рхр=О. (9) Используя векторное тождество (а х Ь)' = а' Ь'— — (а Ь)', получим (р х р)' = р' р' — (р р)'. Учитывая (7), (8) и (9), найдем, что р е— в О, то есть р = с, где с — постоянный вектор. Итак, г =- гс, а это и означает, что движение спутника прямолинейное. 2. Формула (1) выражает некоторую зависимость между радиусом-вектором и скоростью спутника.
Эту зависимость называют векторным интегралом площадей*). Вектор о называется векторной константой площадей. Пусть (х, у, г) — координаты точки Р в некоторой прямоугольной системе координат (с началом в точке А и с осями, постоянно ориентированными в пространстве), г',,/, Ь вЂ” орты (единичные векторы) осей координат Ах, Ау, Аг, а о„ о„ о, — проекции вектора о на эти оси. Тогда с = х1 + у г' + гй, о = ха+ у,/+ гй, о = о,1 + а,/ + о,й. *> Ниже зто название будет оправдано. ЗАДЛЧЛ ДВУХ ТЕЛ [гл, и 1 ('й Так как г х о = ху г =-о,1+ о,~+о,й, то векторный Хр 2 интеграл площадей (!) переписывается в координатах следующим образом: уг — гу = о„гх — хг = о„ху — ух = о,, (10) Уравнение плоскости движения спутника (3) можно записать теперь в более привычной для нас координатной форме: о,х + о,у + о,г = О.
(11) Введем специальную прямоугольную систему координат, совмещая плоскость Аху с плоскостью орбиты и располагая тройку осей Ах, Ау, Аг таким образом, чтобы она образовала п равоориентированную Рис. 2.4. систему (рис. 2.4). Тогда о, = о, = 0; обозначим в этом случае о, через о. Число о называют скаляРной кон- станпюй плогчадей (или, У короче, константой площадей), Ясно, что а =- ок, о = -+ ~ о 1 (12) Так как в этом случае Р прн любом положении спутника г = О, гав О, то система (10) сводится и" х к равенству ху — рх =- о. (13) Рис. 2.5.
Переходя к полярным координатам (рис. 2.5) по формулам х= г соз О, у =- г з!и О, получим г'О =- о. (14) 2) ИНТЕГРАЛ ПЛОЩАДЕЙ ВТОРОЙ ЗАКОН КЕПЛЕРА 49 Это — полярная Грор»2а интеграла площадей. Из формулы (14) вытекает несколько важных выводов. 1. Если о ) О, то 0 ) О (в любой момент времени 1). А это значит, что угол 0 наклона радиуса-вектора спутника и оси Ах постоянно растет; движение спутника все время происходит в положительном направлении, «против часовой стрелки» (с точки зрения наблюдателя, помещенного на положительном луче оси Аг).
Аналогично, если о ( О, то 0 ( О, то есть спутник все время движется в отрицательном направлении, «по часовой стрелке». При о" О движение спутника называется прямым, при о ( Π— обратным. Примем в дальнейшем, что при о + О направление осей выбрано таким образом, чтобы движение было прямым; иначе говоря, ось Аг выбрана так, что она одинаково направлена с вектором о. При этом условии скалярная константа площадей о выражается через компоненты вектора о (в любой прямоугольной системе координат) по формуле о = ! о ! = — ) о', + о', + о',. 2. Интеграл площадей (14) запишем так: 0 = о/Г». Отсюда видно, что чем дальше спутник от притягивающего центра, тем меньше угловая скорость спутника У (то есть тем медленнее вращается его радиус- вектор вокруг притягивающего центра). аа Р ,'Проиллюстрируем это такимпримером.
Вянваре Земля ближе к Солнцу, чем в июле. Поэто- Рис. 2.6. му в январе Земля движется вокруг Солнца с большей угловой скоростью, чем в июле (около 61'10" в сутки ! января, около 57'11" в сутки 1 июля). 3. Интеграл плогцадей (14) имеет простой физический смысл. Пусть спутник в моменты 1 и 1+ Ы занимал положения Р и Р' (рис. 2.6).
Между моментами Г и Г -! Аг Радиус-вектор спутника успел описать некоторый Угол а)0 и «замести» некоторую площадьй8. С точностью до 4 в. Вала зхдхчл дВух тел !Г.~ и Л5 Л1 При Л1 —. О найдем ~Ю йс 1 ЛО 2 Л1 1, с18 (16) Величину Ю,'Ж называют в механике сскториальной скоростью точки Р относительно точки А. Из формулы (14) следует, что -„=- —,,— а =- сопз1. (17) Таким образом, интеграл площадей означает, что сектори льная скорость спутника относительно притягивающего центра постоянна.
Пусть за промежуток времени от момента 1, до момента 1, спутник описал дугу Р,Р, (рис. 2.6), а радиус-вектор спутника успел замести криволинейный сектор Р„АР„плошадь которого обозначим через 5. Интегрируя уравнение (17) в пределах от 1„ до 1,, получим 2 (1 0)' 1 (18) Эта формула выражает второй закон Кеплера: Площадь, заметенная радиусом-вектором спутника, пропорциональна времени, в течение которого она заметена. Иногда этот закон формулируют несколько иначе: за равные промежутки времени радиус-вектор спутника заметиет равные площади. Вектор скорости о точки Р можно разложить на две составляющие: на радиальную составляющую о„направленную по прямой АР, и поперечную (трансверсальную) составляющую о„, направленную по прямой Рс7, нормальной к радиусу-вектору АР (рис. 2.7).
В курсах механики устанавливается, что величины этих скоростей определяются по формулам о, = — г, о„= гО. (19) бесконечно малых величин порядка выше первого относительно ЛО площадь заметенного сектора ЛЯ равна —, г ЛО, 1 2 откуда з з! интвгглл плошлдсн. втогоп злкон кеплегл В! Поэтому формулу (14) можно переписать и так: го„ = о, (20) Пусть ~р — угол между радиусом-вектором спутника и вектором его скорости. Тогда о„== о з!п<р, где о — абсолютная величина скорости спутника.
Формула (14) принимает вид (2!) го з!и ~р = о = сопз1. Таким образом, интеграл площадей может быть представлен в нескольких эквивалентных формах. Каждая из этих форм представляет собой аналитическое вы- У ражение второго закона Кеплера. 3. В наших рассуж- 4~п дениях мы исходили из того, что сила притяже- Чг ния спутника к притяги- Ф' Р вающему центру определяется по формуле вида Р г' = ~Мп77г~. В истории л х механики высказ ывалось мнение, что эта форму- Рис.
2.7. ла может быть уточнена. Однако каким бы ни был закон непрерывного изменения силы, действующей на спутник и проходящей в каждый момент времени через притягивающий центр, все равно движение спутника будет плоским и будет верен интеграл площадей. Это становится ясным, если заметить, что после замены в формуле (2.! .9) выражения —, г любой К функцией вида К (х, у, г) г из (2.!.9) по-прежнему будет вытекать интеграл площадей (1). В будущем, при определенных режимах работы двигателя космического корабля в окрестности какой-либо звезды (или планеты, или крупного спутника планеты) его тяга может оказаться в течение некоторого времени направленной по прямой, соединяющей корабль с притягивающим центром.
В течение этого промежутка времени— как бы ни менялась тяга двигателя по величине — движение спутника будет подчиняться второму закону Кеплера. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ 52 1гл ы й 3. ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ Умножая уравнение К Г = — — Г гЗ скалярно на 2Г, получим: 2К 2г Г= — — ГГ, .2 или 2 К 2 — (Г) = — — — (Г). сЫ Г' й1 Но Г=О,Г»=О»=о« Г'=г' Поэтому 2 — К й 2 — (о') = — — — (г») = — —. 2г — = 2К - — ( — ), йТ г' йТ г' йе йТ или откуда 2К 2 г (2) то' ( тК тй 2 Слагаемое то»/2 — это кинетическая энергия («живая сила») спутника,— туг — его потенциальная энергия (см.
главу 1, Э 1). Формула показывает, что полная энергия спутника (то есть сумма его кинетической и потенциальной энергии) в течение всего времени его движения остается постоянной. где и — некоторая константа (ее называют константой энергии). Формула (2) носит название интеграла энергии (или интеграла живых сил). Для объяснения этого на- звания перепишем ее так: ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ 53 % 3] Константу Ь можно найти из начальных условий: если в какой-то момент га расстояние спутника от притягивающего центра равно г, и абсолютная величина скорости равна о„то й=о' —— 2)х г, Выведем из интеграла энергии простейшие следствия. ]) При удалении спутника от притягивающего центра скорость спутника уменьшается (притягивающий центр тормозит спутник); при приближении спутника к притягивающему центру скорость спутника возрастает (притягивающий центр разгоняет спутник).
Действительно, из (2) видно, что при возрастании г скорость о убывает и, наоборот, при убывании г о возрастает. 2) Пусть спутник в своем движении может удаляться от притягивающего центра неограниченно далеко. Из формулы (2) видно, что при г оо величина скорости будет приближаться к некоторому пределу (о ), причем о' = ]1, (Заметим, что этот предельный переход возможен лишь при Ь '=а 0.) Число о назовем величиной скорости на бесконечности.
Итак, в случае Й ) 0 константа Ь равна квадрату скорости спутника на бесконечности. Задачи 1. С поверхности планеты вертикально вверх должна быть запущена высотная ракета-зонд. Планету допустимо рассматривать как шар радиуса Н со сферическим распределением плотности. Сопротивлением атмосферы можно пренебречь. Ускорение силы тяжести на поверхности планеты равно д. Какую начальную скорость оа у поверхности планеты необходимо сообщить ракете, чтобы она поднялась на высоту Н над поверхностью планеты] Получить приближенные формулы для па: ]Н а) когда Н мало ( — - О); (г ]Н б) когда Н велико ( — -+ оз) .
(г 2. Вторая сонетская космическая ракета, попавшая иа Луну 4 сентябРя 1959 года, имела на расстоянии 320 000 км от центра Земли скоРость 2,31 км!сек. Какую скорость имела она на расстоянии 230 «м рт поверхности Земли? [гл. ц звдлчк двух тел 54 4 4. ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА Будем исходить из полученных ранее соотношений Г = — — г К .в (1) (дифференциальное уравнение движения спутника) и в=г х г (2) (интеграл площадей). Перемножим равенства (1) и (2): К . - К а х г = — —, (г х г') х г, или а х г = —,г х (г х г). Преобразуя правую часть при помощи известного векторного тождества а х (Ь х с) = Ь (а с) — с.
(а Ь), получим: о х,'г = — „, (г (г г) — г' (г г)). К Но г г = г', откуда г г = г'. Поэтому о х г =- — — (г' г — г г. г) = К или — „(а х г) + К вЂ” „( — ~ = О. с( й /г~ Интегрируя, найдем г ахо+К вЂ” = — 1, г (3) где Х вЂ” некоторый постоянный вектор. Равенство (3) носит название векторного интеграла Лапласа. Вектор к называют векторач Лапласа. Покажем, что вектор Лапласа ортогонален векторной константе площадей, то есть что а 1 Х или, иначе говоря, о 1=О.
(4) уРАВнвния ОРБиты спутника 65 е з) Действительно, так как вектор ах г ортогоиален вектору а, то из интеграла Лапласа (3) получим — а. Л =- а. (а х г) + — (а г) = — (а и). К К г г Отсюда, на основании (2.2.3), а Л = О. Последнее равенство, очевидно, означает, что при любом выборе прямоугольной системы координат между тремя компонентами вектора Лапласа (Лы Л,, Л,) и тремя компонентами векторной константы площадей (о„, оа, а,) существует такая зависимостьс атЛт + озЛз + озйз — О. (5) Так как вектор а ортогоналеи плоскости орбиты спутника, то перпендикулярный к нему вектор Лапласа всегда лежит в плоскости этой орбиты. Задачи К Запишите векторный интеграл Лапласа в координатной форме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
