Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Период Тз обращения нулевого спутника этого центрального тела равен 2пг„"! 'и'7М. Период обращения всякого другого (ненулевого) спутника определяется по формуле (7) ) ум ТРЕТИИ ЗАКОН КЕПЛЕРА » 1Щ Производя разложение в биномиальный ряд и отбрасывая все члены, кроме первого и второго, получим Т=Т,(1+ — " ") = 96,1 мин. 3 Н„+Н„ г, Более точный подсчет показывает, что погрешность найденного значения Т не превосходит 0,1 мин. Если в какой-то «начальный» момент времени малый (непритягивающий) спутник находится на расстоянии г« от центрального тела и имеет скорость о„то большая полуось орбиты определяется из формулы 2 1 ".=К( — — — ). г» а Поэтому (см. (7)) период обращения спутника Т зависит только от абсолютной величины скорости, но не от ее направления: если в какой-то точке пространства стартует малый спутник с некоторой эллиптической скоростью о„ то при любом направлении вектора скорости спутник вернется в точку старта через одно и то же время (если только он по пути не столкнется с центральным телом).
3. Рассмотрим теперь общий случай задачи двух тел (случай притягивающего спутника). В этом случае К = 7' (М + т), (9) где М вЂ” масса притягивающего центра, т — масса спутника. Из (2) и (9) следует, что а» ~(М+ п1) (10) Т» 4н» Для периода Т, другого спутника того же притягивающего центра, имеющего массу т,, получим уравнение а', 7(М+ т,) Т» 4п' 1 Отсюда Т» ! + туМ а» (11) Т» 1+ т1/М а', ' Зта формула выражает так называемый «уточненный третий злдлчл дзгх твл 1гл, и закон Кеплерак, найденный И.
Ньютоном. Оиа находит, в частности, применение при «взвешивании» (точнее, при вычислении масс) планет и их естественных спутников. Из формулы (!О) следует, между прочим, такой парадоксальный вывод: чем тяжелее спутник, движущийся вокруг центрального тела по данной орбите, тем быстрее обойдет он свою орбиту. 4. Во введении мы привели значение универсальной константы тяготения Г в интернациональной системе единиц (основные единицы длины, массы, времени — так называемые лабораторные единицы: метр, килограмм, секунда). В этом значении г — только четыре верные значащие цифры. При выборе траекторий полета к другим планетам и для решения многих других задач космонавтики такая точность совершенно недостаточна.
Существует другая система основных единиц — так называемая астрономическая система единиц, в которой удается найти константу тяготения со значительно большей точностью — с девятью- десятью верными значащими цифрами. В этой системе за единицу длины принимается среднее расстояние от центра Земли до центра Солнца; за единицу массы — масса Солнца; за единицу времени — средние солнечные сутки. Для вычисления константы тяготения можно воспользоваться третьим законом Кеплера.
Константу тяготения г в астрономической системе единиц обычно обозначают через Р (Й вЂ” константа Гаусса). Для нахождения константы Й Гаусс воспользовался известным ему значением периода обращения Земли вокруг Солнца Тз = 1 год = 365,2563835 средних солнечных суток и известным в его время значением для отношения массы Земли к массе Солнца: тз/тс = 0,000002819. Применяя формулу (10) к системе Солнце — Земля, получим (12) Полагая в этой формуле а = 1, тс = 1, тс + тз = = 1,000002819, Тз = 365,2563835, Гаусс нашел = 0,01720209895.. (здесь 9 верных значащих цифр). При р )О) ТРЕТИЙ ЗАКОН КЕПЛЕРА 85 получении более точных значений для Тз и для отношения тз/тс можно было бы по формуле (! 2) найти более точное значение для л. Для проектирования межпланетных перелетов существенно знать с большой точностью гравитационный параметр Солнца Кс. Обозначим значение Кс в астрономической системе единиц через Ком„), а в лабораторной системе ЕДИНИЦ ЧЕРЕЗ КС)лаа).
ОЧЕВИДНО, ЧтО (а е)а Кс (ааар) — а сутр Если а — число километров, содержащихся в одной астрономической единице, то аа (24.3600)' (13) Следовательно, для нахождения с большой точностью гравитационного параметра Солнца в лабораторных единицах необходимо знать с большой точностью в километрах длину астрономической единицы. Так как при запуске межпланетных кораблей начальные данные задаются в лабораторной системе единиц (например, скорость в момент отсечки двигателя), то исключительно важно знать с большой точностью астрономическую единицу в километрах.
В течение последних лет были предприняты энергичные шаги для точного измерения астрономической единицы (в километрах). В 1961 году в СССР, США и Англии были для этой цели использованы результаты радиолокации Венеры. Наблюдения и расчеты, выполненные группой советских ученых (В. А. Котельников и др.(2.1!), привели к следующему значению астрономической единицы: а = (149 599 300 +- 2000) км. Такое значение а позволяет вычислить в лабораторных единицах гравитационный параметр Солнца с точностью до шести-семи верных значащих цифр.
По данным Калифорнийского технологического института а = (14 959 8500 + 500) км. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ 1гл, юг Задачи 1. Мы видели, что период обращения всякого малого 1«непритягивающего») спутника звезды больше периода обращения ее нулевого спутника. Верно ли это утверждение и для всякого притягивающего спутника звезды? 2. Согласно сообщению ТАСС, опубликованному 16 мая !958 года, период обращения третьего советского ИСЗ 15 мая 1958 года составлял 106 мин, а наибольшая его высота над поверхностью Земли 1880 км. В сводке ТАСС ничего не говорится о наименьшей высоте спутника.
Вычислите эту наименьшую высоту. 3. Орбита корабля-спутника «Восток-П», на котором советский космонавт Г. С. Титов 6 — 7 августа 196! года совершил многократный облет вокруг Земли, имел на первых витках такие параметры: наибольшая высота О„ = 244 км, наименьшая высота Н„ = 183 км. Найдите период обращения спутника. 4. Космический корабль совершает полет к перигею Луны. Перигей орбиты касмолета находится на высоте 230 «м. Известно, что перигейная скорость космолета о является минимальной для совершения этого полета.
Сколько времени займет полет до перигея Луны? Решите аналогичную задачу для перелета к апогею Луны. Расстояния от центра Земли до перигея и апогея Луны равны соответственно 363300 и 404 000 «м. 5. Советский спутник «Электрон-2», запущенный в январе 1964 года для исследования радиационных поясов Земли, имел в день запуска перигейную высоту 7» = 460 нм. Период обращения спутника составлял 22 члс 40 мин.
Найдите апогейную высоту спутника Н„и его апогейную скорость о«г 6. Будем для простоты считать, что Луна движется вокруг Земли по круговой орбите, причем расстояние между центрами Земли и Луны равно 384 400 нм. В момент, когда Луна находится в точке 1.« своей орбиты, в диаметрально противоположной точке 3« этой орбиты космическая ракета получает 1в плоскости лунной орбиты)местную круговую скорость относительно Земли и начинает обращаться вокруг Земли в том же направлении, что и Луна. Упадет ли эта ракета когда-либо на Луну? Притяжением Луны и Солнца при решении этой задачи пренебречь.
7. Первая советская космическая ракета, запущенная в сторону Луны 2 января 1959 года, через несколько дней после запуска стала спутником Солнца (искусствеиаой планетой). Перигелий ее орбиты отстоит от Солнца на расстоянии 146,4 10«нм, афелий — на расстоянии 197,2 !О« нм. Найдите период обращения этой искусственной планеты вокруг Солнца. 8. Американская космическая ракета «Пионер-Н», запущенная в сторону Луны 11 марта 1960 года и ставшая спутником Солнца, имеет период обращения вокруг Солнца 312 суток. Расстояние перигелия ракеты от Солнца равно 120 млн. км. Вычислите расстояние афелия ракеты от Солнца. 9. Минимальное удаление советского спутника «Космос-П», запущенного 6 апреля !962 года, от поверхности Земли составляло в этот 1 111 сОлнечный пАРус день 213 км, а максимальное — 1560 км.
Подсчитайте, каким был 6 апреля период обращения спутника вокруг Земли. 1О. Космолет движется вокруг Солнца по той же орбите, что н Земля, и притом настолько далеко от Земли, что ее влиянием можно пренебречь. Космолет получил в направлении своего движения дополнительный импульс скорости, достаточный для достижения орбиты Марса по траектории, касающейся орбиты Марса.
Сколько суток займет этот перелет? Какую скорость относительно Солнца должен был иметь корабль в момент старта с орбиты Земли? Орбиты Земли и Марса относительно Солнца считать окружностями с радиусами )?з = = 160 10в км и )?,„ = 228 10в км. 11. Решите аналогичную задачу, если перелет должен совершаться с орбиты Земли к орбите Венеры (расстояние Венеры от Солнца )?в = = 108.10в км). 6 11. СОЛНЕЧНЫЙ ПАРУС Полученные в этой главе результаты можно иногда применять при решении задач, в которых участвуют не только гравитационные силы. В ка- У честве примера рассмотрим задачу о солнечном парусе.
В некоторых работах по космонавтике предлагается использовать открытый П. Н. Лебедевым эффект светового давления для приведения в движение космического корабля. Для этой цели можно снабдить корабль парусом достаточно большой площади и использовать для дви- Рис. 2.16. жения спутника давление солнечных лучей иа парус.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
