Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 16
Текст из файла (страница 16)
(13) Сравнивая формулы (11) и (12) с (2.10.4) и (2.10.3), убеждаемся в том, что в случае эллиптического движения и есть средняя угловая скорость движения спутника по орбите, то есть его среднее движение. Запишем основные из полученных сейчас формул в таком виде, в котором они обычно встречаются в литературе.
Полагая Л = Е в случае эллипса и 2 = !Н в случае гиперболы, из (4) и (10) — (13) получим: для эллиптического движения Из (8), очевидно, следует, что Л вЂ” е з!и Л = п (! — 1,), или 2 — е е!и Л = пт. топ=~'Кр и )п)= б 1 — $'К /Ь! )а! )Ь| ~аЙЬ! )а! /Ь! 1 )а( ' 1'Кр = ~/ —, г = а (1 — е сое Е), и = )/К!аз Š— ее!ПЕ = п(! — !з); (14) (15) (16) 440 ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ПЕРЕЛЕТА (ГЛ, П! для гиперболического движения г = ) а ) (в с)г Н вЂ” 1), (17) / и ! )/7(7 ) аз ( (18) е з)г Н вЂ” Н =- ) и !'(г — г ).
(19) Величину М = и (! — Тэ) в случае эллипгпичесного движения обычно называют средней аномалией спутника. Она имеет простой механический смысл: это радианная мера дуги, которую описал бы между моментами !э и г фиктивный, воображаемый спутник Ф, если бы он двигался равномерно с угловой скоростью и. 3. Связь между эксцентрической аномалией 2 и истинной аномалией О следует из формул Р (1+ всозО) ' , г = а (1 — и соз Я) и р = а (1 — в'). Отсюда получим: ] еэ 1 — в сох Я = —— =1+ ° О (20) Пользуясь формулой (20), легко вычислить последовательно значения для соз О, 1 — соз О, 1 + соз О, 1я О!2: ,О 1+ °,г (21) Задачи !. Космолет при выходе на эллиптическую орбиту относительно Земли на высоте 230 «м имеет начальную скорость ); = !0,95 «мггек.
Вектор скорости в этот момент иапранлен параллельно поверхности Земли и лежит в плоскости лунной орбиты. Найдите время полета космолета до орбиты Луны, считая, что Луна движется вокруг Земли по окружности радиуса г = 384 400 км. 2. Решите предыдущую задачу в предположении, что !' = = )2,0 кмгсек. 3. В начале рассматриваемого участка перелета спутник Солнца находился в своем перигелии, в конце участка — на расстоянии г от центра Солнца.
При этом радиус-вектор спутника повернулся меньше чем на пол-оборота вокруг Солнца. Сколько времени,'(т) занял перелет? Дайте явное выражение т через 2, а, К, г (движение происходит на эллипсу). РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КЕПЛЕРА 4. Выразите скорость о спутника, движущегося по эллиптической или гиперболической орбите, и ее радиальную и поперечную составляющие о и о„через К, а, з, Е (или соответственно й). 5.
Орбита спутника — эллипс нли гипербола. Известны параметры з, и, К. Сколько времени (т) займет перелет спутника от перицентра до точки с истинной аномалией О? 4 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КЕПЛЕРА Š— ез)ПЕ = М, (1) где М = пт = и (1 — 1,). Сначала предположим, что число М не делится нацело на и (то есть при любом целом й М+йп). Тогда можно подобрать такое целое число /г, что Йп ( М ( (й'+ 1) и, Рассмотрим функцию Ф (Е) = Š— в з)п Е. (2) Эта непрерывная функция монотонно возрастает на интер- вале ( — оо, оо), ибо г(Ф т' — = 1 — есозЕ= — )О. с(Е Поэтому Ф (Е) принимает значение М не более чем при 1.
Уравнением Кеплера (3.2.10) (в виде (3.2.16) или (3.2.19)) приходится пользоваться также в тех случаях, когда необходимо предсказать, где, в какой точке своей орбиты, будет находиться спутник в заранее указанный момент времени. В этом случае дано т, искомыми же величинами являются эксцентрическая аномалия л, а также две функции от эксцентрической аномалии: г и О. Уравнение (3.2.10) является трансцендентным относительно Л.
Покажем сначала, что уравнение Кеплера — и в случае эллиптического движения (О ( е ( 1), и в случае гиперболического движения (е ) 1) — для каждого заданного т имеет решение, и притом единственное. а) Эллиптическое двиокение. Уравнение Кеплера может быть записано в виде пРодолжительность пеРелетА [ГЛ. (!! 112 одном значении Е.
Но Ф (йп) = йп ( М, Ф [(й + 1) и! = = (й+ 1) и) М. Поэтому функция Ф (Е) не менее чем при одном значении Е из сегмента [йп, (й+ 1) и! принимает значение М. Следовательно, при данном М [йп (' ( М ((й+ 1) и! существует в точности одно число Е, для которого Ф (Е) = М, причем йп ( Е ((й —,' 1) и. Если М = Йп (опущенный ранее случай), то единственным корнем уравнения Кеплера (1) будет число Е == М. Итак, уравнение (1) определяет для каждой пары чисел е и М (О ( е ( 1, — о( М ( со) единственное число Е, то есть неявно задает некоторую однозначную функцию Е =- Е (е, М).
б) Гиперболическое движение (е ) 1). В этом случае уравнение Кеплера приводимо к виду (3.2,19): ейН вЂ” Н=М, (3) где М =- [и [(! — 1,). Функция Ч" (Н) = ейН вЂ” Н (4) монотонно возрастает на интервале ( — со, со), ибо Ч"' (Н) = = е с[т Н вЂ” 1 ) О (е ) 1 и, кроме того, при любом Н с[т Н > 1).
Поэтому уравнение (3) имеет (при данном М) не более одного корня Н. Кроме того, при Н вЂ” + оо Не Не Ч" (Н) ж (е — 1) Н+ —, + —, +... ) (е — 1) Н вЂ” со. Поэтому найдется такое число Н„что Ч' (Н,) ) М. А при Н вЂ” — о Ч' (Н) — со, т. е. найдется такое значение Н„ что Ч' (Н,) ( М. В силу непрерывности функция Ч"(Н) по крайней мере при одном значении Н из сегмента [Н„ Н,! принимает значение М. Следовательно, уравнение (3) имеет в точности один корень Н.
Лля решения уравнения Кеплера применяют приближенные методы. Если требуется найти корень уравнения Кеплера с небольшой точностью, то можно воспользоваться графическим способом. Корень Е уравнения (1) можно, очевидно, найти как абсциссу точки пересечения двух линий: синусоиды у = е[п Е и прямой у = (Š— М)й. Аналогично корень уравнения (3) можно получить как абсциссу точки встречи кривой у = й Н и прямой у = (М + НУЕ.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КЕПЛЕРА ыз 2. В современной математике разработаны эффективные методы нахождения корней трансцендентных уравнений с любой наперед заданной точностью. Эти методы дают возможность быстро решить (с любой требуемой точностью) такое сравнительно простое уравнение, каким является уравнение Кеплера. В частности, для решения уравнения Кеплера часто пользуются так называемыми итерационными методами. В простейшем случае, который только и будет нас здесь интересовать, сущность итерационного метода заключается в следующем.
Пусть уравнение м (х) = О имеет на каком-то интервале корень, и притом единственный; обозначим его через х. Строим по определенному рецепту (каждый итерационный метод характеризуется своим рецептом) для данной функции ~р (х) вспомогательную функцию ) (х) и с ее помощью — последовательность чисел х„х,,..., х„,... по формуле х„„=- ~ (х„), п = О, 1, 2,... Например, для итерационного метода Ньютона функция 1' (х) выбирается по формуле г(х) =х— <р' (х) ' (6) Что касается «нулевого приближения» х,, то оно выбирается на основании прикидки (быть может, даже весьма грубой) или из каких-либо других соображений.
Затем показывается, что последовательность (х„) сходится к искомому корню х. Понятно, что функция 1' (х) не может быть взята произвольно, а должна быть выбрана настолько удачно, чтобы на практике — при весьма общих предположениях — последовательность чисел (х„), порождаемая функцией 1' (х), действительно сходилась к интересующему нас корню х уравнения <р (х) = О.
Особенно важно получить оценку для погрешности п-го приближения х„, то есть для величины ~ х — х„~. Мы здесь рассмотрим применительно к уравнению Кеплера лишь один итерационный метод — метод неподвижной точки. в в. вала 114 ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ПЕРЕЛЕТА (ГЛ. 11! 3. Метод неподвижной точки. Для решения по этому методу уравнение «р(х) = О (7) заменяется равносильнь1м ему уравнением вида *) х = г (х).
(8) После выбсра нулевого приближения х, строится последовательность приближений х„х„..., х„,... по формулам х, =- 7 (хо), хо = (' (х,),..., х„,, = 7' (х„),... (9) Если окажется, что последовательность (х„) сходится к некоторому пределу х, а (' (х) — непрерывная функция в точке х, то из (9) видно, что х = )' (х). А это значит, что х как раз и будет корнем уравнения (7).
Применим метод неподвижной точки для решения уравнения Кеплера в случае эллиптического движения: (10) Е =- е яп Е лс М. За нулевое приближение Е, искомого корня Е можно, например, принять число О или М, или какое-либо другое число. Последовательные приближения Е„ к корню Е будем вычислять по формуле Е„.,=-еяпЕ„+М. (! 1) Например, при Е, = О Е, = М, Ез = е яп М + М, Е, = е яп Е, 4- М, Докажем, что последовательность (Е„) сходится при любом выборе начального приближения Е,.
Чтобы в этом убедиться, достаточно доказать сходимость ряда Ео + (Е1 — Ео) + (Ез — Е1) + (Ез — Ез) + ... +(Е„„— Е„) +..., (12) *) С записью (8) связано название метода: с помощью преобразования у = Г (х) «точка» х переходит в другую «точну» / (х), и нас интересует такая «точка» х, для которой 1 (х) = — х, то есть такая «точка» х, которая преобразуется фуннцией у = 1' (х) сама в себя, или, как говорят, «остается неподвижной» при преобразовании у = 1(х). РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КЕПЛЕРА 6 31 частные суммы которого совпадают с членами последовательности (Ел). При помощи (11) находим: ! Ел„— Е„! = !Вз|ПЕл — ез!ПЕР,! = = 2В!Е|п " " ' сов " ' !(е!Ел — Ел,! (13) (ибо при любом вещественном а имеем !соз а ! ( 1, !а|па|(!а!).
По формуле (13) !Е,— Е,|(е!Е,— Е,!, |Е,— Е,|(е!Е, — Е,|( ( ел|Ео — Е,!, то есть ел ! Š— Ел ! ( — ! Еъ — Ео ! ! — е (14) И вообще, при любом и !Е~~, Е |(ел|Ео — Ео!. Итак, члены ряда (12), начиная со второго, не превосходят по абсолютной величине соответствующих членов знакопо- ложительной геометрической прогрессии !Е1 — Ео!+ В|Ео — Ео!+ е'|Š— Ео! -|-... ...
+ Вл!Е,— Е,!+..., которая сходится, ибо 0 ( е (1. Следовательно, и ряд (12) сходится, а вместе с ним — последовательность (Ел). Пусть Š— предел этой последовательности: !Пп Ел = Е. л со Переходя в (11) к пределу при и оо, убедимся, что Е=еыпЕ+М, то есть Š— корень уравнения Кеплера (10). Оценим погрешность л-го приближения Е„: |Š— Ел ! =- ! (Елпо — Еп) + (Еп,о — Епн|+(Еп,о — Ел~о) + (|Ел~о — Ел !+ !Еп,о — Ел 1|+ !Ел~о — Епоо|+ ( ( ел )Еъ Ео)+ ел 1)Ео — Ео!+ ел'о!Ео — Ео!+ ол = — !Е,— Ео!, 1гл. 1п 116 ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ПЕРЕЛЕТА Аналогично можно показать, что )Š— Еп)(1 (Еп — Е«,!.
(15) 4. Метод неподвижной точки не может быть применен к уравнению Кеплера для гиперболического движения (3), записанному в виде Н=айН вЂ” М. Действительно, в этом случае при любом Н 1' (Н) = (е й Н вЂ” М)' = а сп Н ) 1. Однако этот метод может быть использован для решения уравнения (3), если воспользоваться функцией у = Аг й х, обратной по отношению к функции х=йу. Перепишем уравнение (3) следующим образом: Н=Агй (17) Таким образом, при любом выборе нулевого приближения Е„ даже очень грубом, мы после конечного числа шагов получим число Е„, которое будет — в пределах допустимой погрешности — равно корню уравнения Кеплера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
