Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Итак, для определения размеров и формы орбиты достаточно задать пару чисел е и р 1или а и ~ а~, если орбита — не парабола) или, наконец, любую пару из чисел а, Ь, с, р, гл, е, /г. Для задания положеьшя орбиты в ее плоскости теперь достаточно указать положение луча АП, направленного к перицентру. Угол от между линией узлов АЯ и линией апсид АП называется аргументом перш1ентра или угловым расстоянием перицентра от узла. Точнее, аргументом перицентра называется угол от, на который следует повернуть против часовой стрелки (с точки зрения наблюдателя, расположенного в конце вектора ч) луч А11 для того, чтобы он совместился с лучом АП.
Если угол оу задан, то однозначно определяется положение луча АП. Угол оу условимся всегда отсчитывать в пределах от О до 2п (О ( от ( 2л). Вудем еще считать известным тот момент времени когда спутник прошел через перицентр П. *) Исключение составляет тот случай, когда Т вЂ” О или Т = тс. В атом случае величина 11 теряет смысл. <за тРАектОРия е тРехмеРнОм пРОстРАнстее [Гл, 1е Набор шести чисел сс, Т, е, р, гс, 1, позволяет, как мы увидим ниже, определить положение спутника в любой момент времени г'.
В астрономии под элементами орбиты спутника обычно понимают именно эту шестерку чисел. Е Е. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОжЕНИП СПУТНИКА ПО ИЗВЕСТНЫМ ЭЛЕМЕНТАМ ЕГО ОРБИТЫ 1. Рассмотрим следующую вспомогательную задачу. Пусть имеются две (правые) системы прямоугольных декартовых координат с общим началом А (рис. 4.3). Одну из этих систем назовем «старои», другую — «новой». Пусть известны координаты (х„у„г,) точки Р (спутника) в «старой» системе отсчета.
Найдем координаты (хн, У„, ен) той же точки в «новои» системе. Обозначим орты (едих ничные векторы) <стас рых» осей координат через Т„у„й„а орты «новых» осей координат — через <„у„, Ф„. Тогда будем иметь для вектора АР: АР = хн<н+ ун,гн+ г„йн = х1 + дс,/с+ еслс (1) Умножив последнее равенство скалярно на Ен, найдем: хн = (Ен <с) х, + (1«,г,) у, + (»„Ф,) г,. (2) АНЕЛОГИЧНЫЕ ФОРМУЛЫ МОЖНО НаПИСатЬ ДЛЯ У. И гн. Будем называть оси Ах„Ау„АЕ« соответственно первой, второй и третьей «старой» осью.
Аналогичные названия используем для <новых» осей. Обозначим через ~р угол, Р< образованный <новой» осью номер р со «старой» осью номер д (р, д = 1, 2, 3), а через с»Р< — косинус этого угла: а = СОЗ ~РР<. (3) Так, например, и»» — это косинус угла, образованного «новой» осью Ау„(«новой» осью номер 2) с осью Аг, («старой» » 21 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПО ЭЛЕМЕНТАМ ОРБИТЫ «вт осью номер 3). Формула (2) переписывается теперь так: хн = а„х, + а„ус + а,зг,. (4) Аналогично Ун а»1хс + а22ус + а2згс, (5) гн = аззхс + аз«ус + аззг,, (6) Формулы (4),(5),(6) можно записать в матричной форме: ««11 а 12 а 13 «'«21 а22 '«23 хс (7) Ун гн Ус «'"31 а32 азз Равенство (7) и дает решение поставленной выше задачи.
Представим себе теперь, что затем совершается переход от «новой» системы координат к «новейшей»; тогда «новейшие» координаты х„, у„, г„точки Р выражаются через ее «новые» координаты х„у„, гн с помощью формулы (8) гн ~ ~ РЗ1 где рс« — косинус угла между «новейшей» осью номер р и «новей» осью номер д (р, д = 1, 2, 3). Вводя следующие обозначения для векторов и матриц: х,, хс , г„ = , у„ у. , Гн = гс Ун , в= Р'31 ««и ам а21 ««22 '«23 аз азз и (8) в виде А г'„г'„= В г„, (9) г„'=В (А г). х„ Ун ~=(~21 запишем формулы (7) Гн= так что х„! рзз рзз ~ Ун 2632 РЗЗ ~ ~ гн »'12 Н13 Н22 Р23 Нзз Нзз 13З ТРАЕКТОРИЯ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ 1Ч Но так как для умножения матриц верен сочетательный закон, то г'„= (В А) г,.
(19) 2. Применим теперь полученные формулы к решению следующей задачи: зная элементы орбиты спутника, найти его положение в момент 1 относительно данной системы декартовых прямоугольных координат Ахуе, имеюи(ей начало отсчета в притягиваки(ем центре А (рис. 4.4). г, с Рассмотрим вспомога- а тельную систему отсчета р А$т1~ с началом в притягивающем центре (мы ее назовем орбитальной систе— — мой отсчета): за ось абсцисс г У А $ примем линию апсид орбиты спутника (положительное направление — от притягивающего центра А к перицентру П); ось ординат Ат! получим поворотом оси А5 в плоскости орбиты на 90* в направлении движения спутника; ось аппликат АЬ выбирается так, чтобы система координат А5т1ь была правоориентированной. Переход от системы отсчета Ахуе к орбитальной системе отсчета АВцЬ можно совершить, если подвергнуть систему отсчета Ахуе последовательно трем следующим преобразованиям: 1) повороту вокруг оси Аг па угол Д (в результате получим новую систему отсчета Ах,у,ео причем Ае, = Ае); 2) повороту вокруг оси Ах, на угол т (получим новую систему отсчета Аху,е„причем Ах, = Ах,); ось Ае, перпендикулярна к плоскости орбиты; 3) повороту вокруг оси Ае, на угол ьь (получим систему А$т)ь; Аь = Аее).
Обозначим матрицы этих трех поворотов соответственно через А„А„А, и положим (1 1) А = А,А,4,. З 21 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПО ЭЛЕМЕНТАМ ОРБИТЫ $39 Тогда х (12) Т1 =- А,А,А, у ==А у е ~ > е =- В,В,В, т( или, короче, Г =- В Т1, (13) ( х у где В = В,В,ВА. (14) Найдем теперь явные выражения для матриц АА и ВА (й=-1, 2, 3). Начнем с матрицы А,. Составим таблицу углов ~р р между осями системы Ах,у,г, и системы Ахун: Ах Ау ~ Аг Ах, я П вЂ” — 11 2 2 Ау, Аг, 2 2 Поэтому созе з(пй О (15) А, =- — з1П й соз 11 О О О 1 Легко понять, каким образом можно осушествить обратный переход от системы отсчета А зт1 9 к системе отсчета А хуг.
Для этой цели достаточно совершить последовательно три поворота (те же, что раньше, но в обратном порядке и в обратном направлении). Обозначая матрицы этих последовательных поворотов соответственно через В,, В,, В„ получим: 14О тРАектОРия В тРехмеРнОм НРОстРАнстВВ 1гл, 1ч Аналогично можно составить таблицы углов между осями и матрицы двух других поворотов: ~ Ах1 ~ Ау1 АЕ1 Ах, 2 2 1 О О Ау, — +Т 2 (16) Ах, Ау, ~ Аг, А5 сок1В к(па О и — — 1 — 1В 2 АТ( (17) Заменяя в матрицах А„А„А, углы Й, Т, 1В на — Й, — Т, — В1, получим матрицы Вы А = 1, 2, 3: О 1 О О О сок Т вЂ” к(п Т О В,= О к'п Т О с05 Т сок В1 — к(и 1В О (18) сок 0) О сок Й В,= к(п Й вЂ” к(п Й сок Й к(п 1В О О сокТ В1пТ О вЂ” к1пТ соку Аз= — к(пы соко О О О 1 5 у! ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПО ЭЛЕМЕНТАМ ОРБИТЫ !4! Матрицу В иногда называют матриией проективных коуф- фи!!иентов и записывают в виде (19) Таким образом !см.
(19) и (14)), Соз !! — 51П Й 0 Р» яп Й созй О~Х 0 1 0 0 соз в — яп в 0 0 созт — япт 0 5!пт созт япв 0 соз в 0 . (20) 0 1 Перемножив эти матрицы, получим: (соз !! соз в — , '( — соз Й яп в — ', ' 5!П !! 5!П Т вЂ” 51п Р 5!пвсозт) , '— 5! и Й созв созу) ! В (5!п!! созв + ,'( — яп 11 я(пв+', ! — соз Йз!Пт +созйз!Пвсозт) ', +созйсозвсозт) ! 5!и т 5!и в !5!и Т с05 в С05 '/ (20') Из (13) и (20) следует, что (21) Вычисляя матрицу А по формулам (11), (15) — (17), не- трудно убедиться в том, что она может быть получена из матрицы В транспонированием: Рх Ру Р» ах ау !',!е В»ау В. (22) Ру. 2 1 !е» В» 1!у пу 1~, 0 Рх (е» Ох Ру Оу !~у Р.
!е'» К Рхрур» 9х Яу !!» В„Ву В, [4Р. тРАектОРия В тРехмеРнОм НРОстРАнстве [гл. !Р Пусть нам известны шесть элементов эллиптической орбиты спутника 11, т, [а, а, е, Г,. Тогда можно предсказать его положение в любой момент времени й Действительно, решая уравнение Кеплера Š— е яп Е = п ([ — [,), и = 1' К~а", мы можем для момента [ найти Е. Кроме того, по а и е просто вычисляется Ь, а именно: Ь = а) 1 — е'. Положение спутника в орбитальной системе отсчета определяется вектором а (соз Š— е) Ьз!пЕ (23) О Чтобы получить тот же вектор в системе отсчета Ахуг, эту матрицу в соответствии с формулой (21) следует умножить слева на матрицу проективных коэффициентов В: а (соз Š— е) ЬяпЕ (24) Иначе эту формулу записывают так: Р ~ а= ~ РР а (созŠ— е) + [г'Р ЬяпЕ.
(25) ~ Р, [) т Совершенно аналогичная формула верна н в случае гиперболического движения. Чтобы ее получить, достаточно в формуле (25) заменить Е на [Н,а — на — [а ~, Ь вЂ” на — ю'[Ь). 3. Положение спутника и элементы орбиты, как мы видели, удобно определять относительно прямоугольной системы координат с началом в притягивающем центре А и с осями Ах, Ау, Аг, постоянно ориентированными в пространстве. В разных задачах основную плоскость Аху этой системы выбирают по-разному. Например, при изучении движения спутников Земли за основную плоскость Ах,у, принимают плоскость экватора, ось Аг, направляют от центра Э 21 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПО ЭЛЕМЕНТАМ ОРБИТЫ 443 Земли к ее Северному полюсу, а ось Ахв — в так называемую точку весеннего равноденствия; ось Ау, выберем так, чтобы система Ахвувгв была правоориентированной.
Такая система Ах,у,г, называется экваториальной геоцентрической системой отсчета. Аналогично можно определить для Луны (для любой планеты нлн для любой звезды) экваториальную селеноцентрическую (соответственно плане- Ев р тоцентрическую или астроцентрическую) систему отсчета. Положение спутника Р в экваториальной геоцентрической системе координат можно задать не только тремя его декартовыми координатами (х„ л у„г,), но и тремя сферичес- пв рг кими координатами: геоцентрическим радиусом-вектором е г, склонением 6 и прямым восхождением а *) (рис.
4.5). Склонение 6 определяется как угол между радиусом-вектором АР и его проекцией АР, на плоскость экватора ( — 90' ( 6 ~( 90'), а прямое восхождение — как угол между осью Ах, и лучом АР, (О' ~( а ( 360'). При решении ряда задач космонавтики удобно определять положение спутника по отношению к системе координат с началом не в центре Земли А, а в точке наблюдения В. Например, это может быть система отсчета с началом в каком либо данном пункте В на поверхности Земли и с осями, параллельными осям системы Ахун. Если А — центр Земли, а оси В$, Вт), ВЬ системы В$0~ имеют такие же направления, как соответствующие оси геоцентрической экватоРиальной системы координат, то систему В$Ч~ можно назвать пюпопентрической экватпориальной системой коорди- Другой пример выбора системы В$0~: точка  — на поверхности Земли; основная плоскость В~0 — касательная 360' — вв '>в „„„„„ю„„„„... $44 ТРАЕКТОРИЯ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ БАГЗ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
