Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 22
Текст из файла (страница 22)
При помощи урав- нения Кеплера Е, — и з!п Ез = и (гз — Гз) (13) легко теперь вычислить момент ге. Задачи !. Космическая ракета наблюдалась над пунктом Р, с географическими координатами фг = 30', )'г =- 90'. А через 6 часов она оказалась над пунктом Р, с географическими координатами фа= 60', Хз = 180'.
Полет совершается в таких условиях, что можно учитывать только тяготение ракеты к Земле и считать, что Земля имеет сферическую структуру. Вычислите наклонение орбиты к плоскости экватора. 2. В 12 часов дня по московскому времени 1 апреля 1960 года на одной из станций наблюдался спутник Земли. Были измерены его горизонтальныесферические координаты р, Ь, А и по этим данным затем вычислены его экваториальные декартовы координаты. Они оказались равными (о, г(, о), где о' =- 20 000 км.
Аналогичные наблюдения были выполнены над тем же спутником на двух других станциях: на одной— утром того же дня, на другой — вечером. Экваториальные геоцентрические координаты спутника оказались такими: Р, (28, г(, О) (результаты утренних наблюдений) и Р, ( — г(, О, и) (вечернне наблюдения). Звездное время в Гринвиче в полночь на 1 апреля было!88,37'. Требуется по этим данным вычислить элементы орбиты спутника. э 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТЫ СПУТНИКА ПО ЕГО ПОЛО)КЕНИЮ И СКОРОСТИ В ОДИН МОМЕНТ ВРЕМЕНИ Пусть в момент г, известны радиус-вектор Гх и вектор скорости е, спутника относительно притягивающего центРа А с гравитационным параметром Д'. Требуется найти элементы орбиты спутника.
1. Положение плоскости орбиты определяется ортом нормали к этой плоскости Ф: т, х е, (Р,Х Е,( 150 тРАектОРия В тРехмеРнОм пРОстРАнстВе [Гл !у Зная вектор й, легко найти й и 7 (см. предыдущий параграф). 2. Будем теперь рассматривать движение в орбитальной системе отсчета А~т)~. В силу второго закона Кеплера г,хо,=е,~г,х о„'=о. (2) Зная константу площадей о, можем найти параметр орбиты /и р = о'/К. (3 3. Константа энергии л вычисляется по формуле Й = О, '— 2К/г,.
Теперь можно вычислить эксцентриситет орбиты: е= 1+Ь вЂ”,. (4) 4. Вектор о,можно однозначно разложить на радиальную и поперечную составляющие о„и о,„. Действительно, если А — орт вектора г,, то о„=- ет 7, (5) ФТА = ЮТ вЂ” ЕТЫХ. (6) Из уравнения орбиты следует, что г, = р/(1 + е соз 9,), откуда можно найти соз 99 знак же з(п О, найдем из уравнения для радиальной составляющей скорости: О,„= — е гйп О,.
Поэтому мы сумеем найти и угол 9 (в пре- Р 1 делах между 0 и 2п). Орт р линии узлов можно считать известным: он может быть найден с помощью вектора Ф так же, как это было сделано в 5 3. Чтобы найти угол в (угловое расстояние перицентра от узла), получим сначала угол ы + ОР Но это есть угол между двумя известными единичными векторами р и А, и поэтому 9.), = (ы + 9,), О х Л = з)п «ы + 9,) й, (7) где Ф определяется по формуле (!). Из формул (7) однозначно определяется угол в + 9, так, чтобы имели место неравенства 9,~(а+ 9,(9,+ 2п Зная ы + О, и О,, найдем и в.
й в3 Уточнение элементов по многим ндвлюдвниям НН 5. Остается еще вычислить момент Та прохождения спутника через перицентр 1т. Ограничимся случаем эллиптического движения. Нам известна истинная аномалия О, спутника в момент гг. Поэтому эксцентрическую аномалию Е, в этот момент можно определить по формуле Е, г'1 — В, 2 1у 1+в 2 А зная Е„вычислим Ге из уравнения Кеплера: Е, — е в|п Е, = и (У, — 1э). Момент га в случае гиперболической орбиты может быть получен аналогично. Задачи Н Известны гравитационный параметр притягивающего центра К, векторная константа площздей о, вектор Лапласа а.
Вычислите по этим данным е, а, Д, т, ю. 2. Пользуясь решением предыдущей задачи, укажите способ вычисления элементов орбиты спутника, если известны его радиус-вектор г и вектор скорости о в какой-то один момент времени Гд. й 5. УТОЧНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТЫ СПУТНИКА ПО МНОГИМ НАБЛЮДЕНИЯМ 1. В ЭЭ 3 и 4 настоящей главы были изложены способы нахождения элементов орбиты спутника по трем известным положениям спутника в три момента времени илн его положению и скорости в один момент. Однако получаемые таким образом элементы часто оказываются недостаточно точными из-за погрешностей в наблюдениях.
Можно получить более точные значения элементов, если использовать результаты многих наблюдений. 2 В э'3 мы рассмотрели способ определения элементов орбиты по нескольким положениям спутника в системе координат Ахуг с началом в центре Земли. Введем для элементов оРбиты а, е, Д, Т, ш, га обозначениЯ а„ а„ па ась аз, а, соответственно.
Тогда для каждого момента 152 ТРАЕКТОРИЯ В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ИГЛ. 1Ч наблюдения г' спутника мы будем иметь соотношения х == х (аи ав,..., а„(), у = у (пи пв, ав, Г), г = г (ан а„..., а„1). Таким образом, мы знаем зависимость р,~р, ) от элементов орбиты аь ..., ав и времени в: р = р (аи..., а„г), р = р (аи..., ав, ~), )в (ов пв в) (3) Здесь в правой части написаны известные (может быть, громоздкие, но известные) функции. Допустим теперь, что в какой-то момент времени Г, мы путем непосредственных наблюдений нашли одну из координат р, ~р, в„например ~р: ~Р=вв, пРи Г=ГР Если использовать эти соотношения для нескольких наблюдений (практически достаточно двух, но в 5 3 мы для простоты использовали три), то из (1) мы получим достаточное число уравнений для определений шести неизвестных ам а„ ав, ав, а„ав. Фактически из каждого наблюдения мы получали три координаты спутника в декартовой системе координат Ввв)ь с началом не в точке А, а в месте наблюдений В на поверхности Земли.
Это могут быть и не прямоугольные координаты е,в), ь, а какие-либо криволинейные (например, сферические) координаты р,вр, ).. Будем считать, что нам известны формулы перехода от системы отсчета Ахуг к системе отсчета Ввв)ь. Иными словами, мы знаем формулы, которые в каждый момент времени г каждой тройке координат (х, у, г) сопоставляют однозначно тройку координат р, у, ), и наоборот, р = р (», у, г), вр = ф (х, у, г), ) = )в (х, у, г);) (2) Х = Х (Р, ~Р, А), У = У (Р, ВР, )в), г = г (Р, ВР, Х), ~ в В1 УТОЧНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ПО МНОГИМ НАБЛЮДЕНИЯМ ВЯ Тем самым мы получаем уравнение, которому должны удовлетворять шесть параметров орбиты: ф (ан ам..., ав, Гл) = вРО Если мы в момент 1, сумеем из измерений найти еще Хи то получим еще одно уравнение для тех же шести элементов: А(а„...,ав Гл) =)л (4) Из нескольких наблюдений мы таким образом можем найти систему нескольких (и) уравнений относительно элементов а„ ..., а,.
Эти уравнения имеют вид Ф, (а„..., а,) = Ь„ Ф, (ан..., ав) = Ьв (5) Ф„(а,,..., а,) = — Ь . Здесь Ф„..., Ф вЂ” известные функции; Ь„..., Ь известные константы, полученные из наблюдений. Если нам все элементы а„..., а, (или некоторые из них) не известны, то их часто все же можно найти из системы уравнений (5), даже если Ф„..., Ф имеют очень громоздкий вид. Если и = 6, то из системы шести уравнений (5) можно, вообще говоря, найти шесть неизвестных элементов а„а,, ... ..., а, (что мы фактически и делали в предыдущих параграфах). Однако эти значения элементов будут неточными из-за погрешностей наблюдений. Если использовать большое число наблюдений, то т будет больше шести и из (5) для определения шести неизвестных мы получим переопределенную (несовлвестную) систему уравнений (5).
В общем случае мы имеем дело со следующей задачей. Имеется система т уравнений Фв (а„..., а„1в) = Ьм й = 1, 2,..., т, (6) с шестью неизвестными а„..., а,. Нам известны весьма грубые приближенные значения искомых величин вов <о> вм ал ал,ав ав,...,ав ав (7) 454 тРАектОРия В тРехмеРнОм ИРОстРАнстве (Гл, >у Требуется указать способ получения более точных значений неизвестных. Вычислим значения функций Фо при а, = а,',..., (о) а,=а,.
Пусть (о> Фо (а(о), а(о> („) — ро й — 1 2 т (8) Введем обозначения: Л( = а, — а(о) Лв — ао — а(о) Ьв = ав а(о) (9) Считая функции Фо непрерывно дифференцируемыми и пренебрегая членами порядка выше первого относительно шах ~ Л„~, мы можем написать приближенные равенства Ф, (а ав г,) Ф, (а(м а(о) Го) 'Л)+ Ло+...
+ 'Л„ (та> ' ' ()ав ' ' ' ' ()ав а=1,2,...,т. Здесь частные производные вычисляются в точке (а(о), в ..., а(о)). Введем обозначение (1О) = Аы. (о) а,=ао Если под (а„,..., а,) понимать именно ту группу шести чисел, которая является решением системы (6), то мы получим систему т линейных уравнений с шестью неизвестными Л>, Ло,..., ()>в.' Ат>Л> + А>вЛв +...
+ А)ваяв = В„ Ав)(1>) + АвоЛв +... + Аваев — — Вм (1 1) А,„)Л(+ Ао„Ло +... + А,авив = В„„ где В, = ()) — 1)„Во = (>в — Рв,..., В„, = (>,а — Р„„ПРИ- чемт Рб. 6 2! Уточнение элементов по многим нхвлюдвниям !аз Несовместную систему уравнений (11) нельзя решить «точно». Поэтому естественно найти приближенные значения поправок элементов Л„ Л„ ..., Л„ чтобы уравнения (!1) удовлетворялись, в известном смысле, как можно точнее. Это и делаегся способом наименьших «вадратов, суть которого состоит в следующем. Подбираем числа Л,,..., Л, так, чтобы оказалось минимальным следующее выражение: Т = (А11Л1 + А12Л2 +... + А1«Ле В1) + + (Ат»Л1+ Ат«Л»+ + Ар«Л« — В )' (!2) Для минимальности Т необходимо, чтобы выполнялись равенства дТ дТ дТ дЛ, 'дЛ, ' ' 'дЛ, — = О, — = О,..., — = О.
(!3) Мы получаем таким образом, для шести неизвестных Л„... ..., Л, шесть уравнений. Проводя выкладки, легко убедиться, что соотношения (13) приводят к системе шести линейных уравнений: а„Л, + а„Л, +... + агеЛ6 — — со ) а»1Л1+ ае»Л2 + + а2«Л6 = 12 (14) ае»Л1 + а«2Л2 + ' + аее 6 6 где коэффициенты а и (с, р, 6) = 1,..., 6) определяются по формулам ар — А1 ~А 16 + А»рА26 +... + Атр А»66 1; = А„В, + Ае«В, +... + Апе В,.
Решая систему (!4), найдем Л1, . Ле. После этого получаем новое — «первое» вЂ” приближение для элементов орбиты: аш — а~о) -!- Л асо = аев + Л,..., аш = акв + Ле. 1 1 2 2 2' ' ' '' Е Е 155 тРАектОРия В тРехмеРном ПРостРАнстВе >гл >у Отправляясь от этих приближенных значений неизвестных а,, а, и проводя дословно такие же рассуждения, как для «нулевого» приближения, мы сумеем вычислить «второе» приближение этих неизвестных ан>,..., аа>. Ана- 1'''' « логично можно построить третье, четвертое приближения искомого решения (а„,..., а,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
