Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Проекцию спутника на земную сферу обозначим через В. Введем обозначения для градусных мер дуг (рис. 4.10): 4 В1 ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ТРАССЫ СПУТНИКА ЗЕМЛИ ТЕ3 Может случиться, что условию (11) вовсе не удовлетворяет ни одна дуга. Это значит, что в своем движении спутник / / / / / В Рис. 4ЛО. не доходит до параллели с широтой ~р. В случае 0'( т ( (00' это будет, очевидно, иметь место, если ~р ) т или ч' ( — т.
В остальных случаях условию (1!) удовлетворяет бесконечное множество дуг. Если у = т (или Гр = — т), то Ч' = 90'+ 360' и или ~р = 270'+ 360' п (и — целое). МА 4Е4 тРАектОРия в тРехмеРБОм пРОстРАнстве !Гл. !у Пусть »р, <р т. Обозначим через»р! наименьшую положительную дугу, определяемую условием (11).
В пределах от 0' до 360' существуют две дуги ф! И»р, (»Р,)»Р!), удовлетворяющие условию (11). Аналогично существуют две дуги а, и а, (а, )а,), заключенные между 0 и 360 и удовлетворяющие условию (12). Перемещаясь по своей орбите от перигея П, спутник в какой-то момент г! пройдет (впервые после г,) над параллелью с широтой !р.
Пусть Я вЂ” положение спутника в этот момент, а  — его подспутниковая точка. При дальнейшем движении спутника его трасса поднимается севернее данной параллели. Но затем через некоторое время она начнет спускаться к югу и в какой-то момент », снова пересечет эту параллель в какой-то точке В'. Такая картина будет повторяться в течение каждого оборота спутника. Нетрудно найти момент »!. Истинная аномалия О, точки 9 равна »(! — »а. По истинной аномалии можно вычислить эксцентрическую аномалию Е, точки Я. Затем, пользуясь уравнением Кеплера, найдем !»: !! — у, = — (Е, — ее!и Е,).
Т (13) Если эксцентриситет е мал (мы именно этот случай имеем в виду), то можно вычислить ~! — 1, с помощью более простой приближенной формулы (см. (3.1,8)) Т . ЕО, з!НО, ! — ! = — ( — 0 — 2ез!НО,~ = Т( — — е — ') . (14) о 2п !,180 ! '! (360 и ) В момент !! спутник пройдет над данной параллелью с юга на север. То же повторится в любой момент !» —— - »! + АТ, Й = 1, 2, 3,...
(! 5) Рассуждая так же, как при решении задачи 1, найдем долготу Л точки В: А=) +а,— 4 а) пРОГнОзиРОВАние тРАссы спУтникА земли 165 Если же учесть прецессию орбиты спутника, то получим, что спутник должен оказаться над пунктом А(А с долготой )о + а~ — ссэ + 1) (? Переходя от системы отсчета Охуг к вращающейся системе отсчета Ойт)ь, получим, что в момент га под спутником окажется пункт МА с широтой»р и долготой ?.„= ?., + се» вЂ” сеэ + (11 — б) (1» — 1,), (16) Аналогично можно показать, что спутник пройдет над данной параллелью в момент у„определяемый формулой Т 1'г — 1, = — (Е', — в з(п Е'т), э 2П где Е, — эксцентрическая аномалия точки орбиты спутника О', лежащей над пунктом В', Спутник пройдет над данной параллелью также в каждый момент 1», определяемый формулой Ул = 1, + (й — 1)Т.
(17) В каждый из этих моментов прохождение будет с севера на юг. При этом спутник будет проходить над пунктами МА с долготами = ).е+ сс — осе+ (й — б) (1„— (о) (18) Задачи 1. Орбита советского ИСЗ «Космос-1Ч» (апрель 1962 года) была близка к окружности (Н„= 330 кл, Н =- 298 кл). Примем ради простоты, что эта орбита была окружностью и что «Космос-11?» двигался вокруг Земли на высоте 314 км.
По сообщению ТАСС плоскость орбиты была наклонена к плоскости экватора под углом т =- 65'00'. Под каким углом пересекала трасса спутника земной экватор? 2. Спутник вращается вокруг Земли по окружности на высоте 230 км над Землей. Орбита проходит над обоими полюсами Земли (спутник полярный). Под каким углом пересекает трасса спутника экватор? 3. Орбита первого советского спутника была наклонена к плоскости экватора под углом 65'. Спутник прошел над головой наблюдателя, находящегося на эиваторе, с юго-запада на северо-восток.
В этот момент наблюдатель замерил видимый угол между трассой спутника и направлением на восток. Чему должен был оказаться равным этот угол? решите аналогичную задачу, когда трасса спутника пересекает экватор с северо-запада на юго-восток. данные о спутнике: Н„= 950 ки, Н„= 230 ки, ы = 58'. ГЛАВА Ч ЗАДАЧА гт ТЕЛ й !. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ В ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА 1.
В предшествующих главах мы изучали движение космического аппарата под действием тяготения лишь одного небесного тела. Между тем правильнее было бы учитывать притяжение космического 'аппарата и к другим небесным телам, хотя бы к тем, которые оказывают на него наиболее сильное воздействие. Так, например, при анализе движения межпланетной станции, посылаемой к Марсу, целесообразно принимать во внимание тяготение Земли, Солнца Марса. При изучении движения ракет, посылаемых к Луне, необходимо учитывать не только влияние Земли, но и Луны, а также Солнца. Все эти примеры вполне укладываются в рамки знаменитой проблемы п тел.
В настоящей главе мы намерены вкратце рассмотреть некоторые основные результаты, относящиеся к этой проблеме. Мы выясним, в чем заключаются математические затруднения, возникающие при ее решении. Результаты этой главы будут использованы в дальнейшем при изложении приближенной методики расчета траекторий межпланетных аппаратов. Задачу о п телах рассмотрим сначала в инерциальной системе отсчета. 2. Пусть в пространстве выбрана некоторая инерциальная система отсчета 0$П~. Предположим, что имеются п материальных точек Ао А,,..., А„с массами т„т„...
..., и„, причем в начальный момент времени 1„известны их положения н скорости. Из всех сил, действующих на материальные точки (Ап и,),..., (А„, т„), будем учитывать только силы их взаимного тяготения. Нас интересует злдзчл тнех тал в иннгцилльнои системе 15т вопрос; где окажется каждая пз этих точек в любой наперед заданный момент т? Ограничимся пока случаем только трех тел. Эти тела могут, например, представлять собой Солнце, Землю и Луну, или Солнце, Юпитер и Нептун, или космический корабль, Луну и Землю. Поскольку расстояния С между телами обычно велики по сравнению с их размерами, можно счи- з тать массу каждого из этих тел сосредоточенной в его центре тяже- А зз сти. Таким образом, три /л тела мы примем за три Аз материальные точки А, 1 з А„А, с массами т„т„ т, соответственно (рис. 5.1).
Обозначим их кооРдннаты чеРез До Чь с ьз) (ьз Чм ьз) (ьз Чз Рис. 5л. ьз), радиусы-векторы ОАь ОАз и ОА, — соответственно через р„р„р орты осей 05, ОЧ, ОЬ вЂ” через 1, у, й. Очевидно, р, = $„з + Ч„,/ + ь.Ф, ч =- 1, 2, 3. (1) На точку (А „т,) действуют две силы: 1) сила Рзп с которой ее притягивает точка (А„т,); 2) сила Рзи с которой ее притягивает точка (А,, т,). Суммарная сила, действующая на точку (А„т,), Рз = Рм+ Рзь Величину проекции вектора Р, на ось 0$ обозначим через Ра', аналогичный смысл имеют величины Р,„, Рцб таким образом Р, =- Р,-„$ + Р,,/ + Р,сй.
(2) Дифференциальное уравнение движения точки (А„т,) записывается на основании второго закона Ньютона в виде 4'Ж т,— = Р,. сиз >гл, т зздлчл а тел 168 В силу закона всемирного тяготения т,т, пз,т, т>21= 7 з (Рз — Р1) т>21= 7 —, (Рз — Р1) Р12 Р1з где р;; = А А; =- ) р> — р Поэтому уравнение (3) можно записать так: т,— „—, = 7 [, (р,— р,)+, (р,— р,)~ 2~ р> Г п>1>н2 >п1тз Р>2 1« (4) т>тз з Р„ т,— = г1 Рч 2(1'2 тР12 з Р12 д2~ т,— „,' = Рзс т,т, з Р!2 Чтобы переписать эти уравнения в более компактной форме, введем в рассмотрение вспомогательную скалярную функцию, так называемую силовую функцию данной задачи: (7 з ~т>тз + "1>тз ) тзтз 1 Рм Р>з Рзз (6) или, короче, (7 Х (7) ч«з Силовую функцию У можно наглядно истолковать как некоторую работу.
Представим себе, что все три материальные точки (А„т,), (А„т,), (А,. т,) <эакрепленыз в пространстве. «Открепим» точку (А„т,) и будем уносить ее в бесконечность. При этом придется преодолеть притя- Векторное уравнениям: ЯРК, т,—,= 712 уравнение (4) равносильно трем скалярным (ьз ь>) + з (ьз ь>) Р>з >З (~2 — ~1)+ ',' (~З вЂ” ~1) Р'„ 3 11 ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ В ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ 159 жение материальных точек (А,, л)1) и (А„т2). Для преодоления притяжения точки (Аи т)) придется совершить работу /л21т3/р13; для преодоления притяжения точки (А„ т2) понадобится совершить работу /т2т3/р23.
Всего потребуется работа 3 Л21П23 + / П22Л23 Р13 Р23 / ТЛТЛ22 + / )П1)П3 + / 1П21113 Рм Р13 Р23 Итак, физический смысл силовой функции (/ — это работа, которую следует совершить, чтобы удалить три материальные точки на бесконечно большие расстояния друг от друга. Вычислим д(/ / д$1. Используя равенства Р12 ) (32 $1) + (Ч2 Ч1) + (22 21) 3„= 1Т1 — 1)'~) )3 — ъ)') )1 — 1»', найдем: или дУ 1191 (8) Совершенно аналогично можно показать, что д(//дЧ1 = г"1„; дУ/дЬ1 = Р1с. Поэтому формулу (2) для силы Г, можно записать в виде л(/ дУ .
д(/ р, +;+ — й. дЧ1 дь1 (9) После выведения точки А, в бесконечность «открепим» точку (А„т2) и будем ее удалять в бесконечность. Для этого потребуется затратить работу /т)т2/Р12. Значит, для того чтобы все три массы т1, т„ т3 раздвинуть на бесконечно большие взаимные расстояния, потребуется совершить работу, равную !гл. ч ао ЗАДАЧА Л ТЕЛ йе (1О) где Р, = 1+ —,у+ — й, дУ дУ . дУ д$„дт), д~„ (1 1) а функция У определяется формулой (6). Каждое из векторных уравнений (10) можно заменить тремя скалярными уравнениями. Приравнивая коэффициенты при 8, й' и й в левой и правой частях уравнений (10), получим следующую систему девяти обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка: йети„ дУ йь11„ дУ сРь„ дУ т„— — "= —, т„" = —, т„— "= —, (12) " йР д5, ' " йР дт1„' " йть д~„ т = 1, 2, 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
