Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Таким образом, две материальные точки (А„т,) н (А„т,) описывают вокруг их барииентра С конические сечения той же формы, что и орбита точки А, относительно точки А,, Отношение же размеров этих орбит вполне характеризуется соотношением (28). 3. Лагранжевы движения. Мы видели выше, что благодаря взаимодействию двух материальных точек каждая из них движется относительно их барицентра так, как если бы она притягивалась некоторой массой, помещенной в барицентре. Аналогично обстоит дело в некоторых случаях при наличии трех и более гравитирующих материальных точек. Еще в мемуаре, опубликованном в 1772 году, известный французский математик Ж.
Л. Лагранж интересовался таким вопросом: какими особенностями должно обладать движение трех взаимно тяготеющих материальных точек (А„т,), (А,„те), (А,, тч) для того, чтобы расстояния между ними в течение всего движения оставались равными, ЗО дяиЖессие 11 тОчек ОзнОсителысО ВАРиценнсА 185 то есть чтобы В любой момент времени )~ 12 )2 23 )~ 31 (29) Оказывается, что в этом случае точка А, будет двигаться относительно барисСентра С точек (А „т,), (А „тз), (А,, т,) в точности так же, как она двигалась бы, если бы была неприилгивающим спутником воображаемой звезоьс, помещенной в бпршСентре С и ссмеюиСей массу (и, '+ из+ спет,)с' (т,+ т,+ т)' (30) Докажем это.
Будем придерживаться обозначений, принятых в начале этого параграфа. В нашем случае (см. (4)) Рис. 5.4. тз т, ® 'е 21 2112 Так как 22 13 = )212 и т,221 + тЯ2 + тззтз = О, то т, + т, + т, = — т, 12 Но так как С вЂ” барицентр точек (Ан тс), (А„т,), (А„т,) (рис. 5.4), то (т, + и, + т,)А,С = т,А,А, + т,А,А, + т,А,А,. Возведем обе части последнего равенства скалярно в квадрат и учтем, что А1А1 = О. А1А2 = А1Аз = 012 А1С =- — Ю1.
Тогда получим: (т, + и, + тз)зй, = (т, '+ тз + тзтз))~ы 186 ~гл, » злдлчл л тел Следовательно, ял = (гл~ 1 л«» у и«») )~й'(гп» + ш» + ш»л«»)'' так что (гп» вЂ”,- т» г т,т»)" Я, 2 ~ » (и, + т, + и,)' )э', Так как по второму закону Ньютона Г, = т, «Р)с,ЯР, то уравнение движения точки А, имеет вид г(»~~, — — Ь1 1 , и» ~~з где М, определяется формулой (30). Но это и есть уравнение движения непритягивающего спутника относительно точки С, в которой помещена масса Ми Справедливость высказанного выше предположения доказана.
Аналогично обстоит дело и с точками А, и А,. При т» =- 0 формула (32) переходит в формулу (20). Уже в ХХ столетии французский астроном Андуайе и немецкий математик Каратеодори показали, что движение трех материальных точек, при котором все время соблюдается условие (29), обязательно должно происходить в одной и той же неизменяемой плоскости.
Для того чтобы условие (29) выполнялось в течение всего времени движения, необходим специальный выбор «начальных» значений скоростей материальных точек А„ А«А,. Мы опустим здесь доказательство того, что такой выбор «начальных» скоростей возможен. При соблюдении в течение всего времени движения условия (29) расстояния между материальными точками могут меняться, но они остаются попарно равными между собой.
Можно показать, что в этом случае три точки описывают подобные конические сечения относительно барицентра. Возможно ли такое движение трех материальных точек, при котором сохраняются неизменными отношения расстояний между этими точкамир Можно показать, что в этом случае необходимо, чтобы три точки либо все время были на равных расстояниях друг от друга, либо лежали на одной прямой (в последнем случае положение трех точек не может быть произвольным). 5 М движение и точек относительно одноп из них 187 а 5. ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ и МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК ОТНОСИТЕЛЬНО ОДНОЙ ИЗ НИХ 1.
Рассмотрим систему и взаимно гравитирующих материальных точек (А,, гп„), (А,, т,),..., (А„н тп„,), Начало координат выберем в точке А,, оси координат выберем так, чтобы онп сохраняли постоянное направление в пространстве. Рис. 5.5. В этом параграфе мы выведем дифференциальные уравнения, определяющие движение материальных точек относительно указанной здесь системы отсчета. Для простоты ограничимся сначала случаем трех точек (Аа тпс) (Ат, пт,), (А„т.,). Наряду с системои отсчетаА„хуг (рис. 5.5) с осями, постоянно ориентированными в пространстве, рассмотрим ещесистему отсчета СХ)'Л, имеющую своим началом бари- центр С трех данных точек и оси, одинаково направленные 188 1ГЛ. О ЗЛДЛЧЛ П Тел с осями системы Аюхуг.
Пусть САО = Яю СА1= Я1 СА1= Я А1А2= 012= Гиь (1) — > ЛО1 = АОА1 =- Г1, Люю = АОА1 = Гю, АОС = Гс, (2) л1 = п23 + л11+ л22. (3) Таким образом, Гс = — Рю Г1 = %1 — Юю Гю =- Юю — Рю (4) 1 Гс — — (Л21Г1 + Л?2Г2), 32 (5) Г2 322 223 Из формул (5.4.6) и (5.4.4) ясно, что в данном случае (6) 22 = Г ~, Я,— 2с,) + —,- ()с, — Ю,) ~ л23, т1 РЮО 12 Используя равенства (!), (2), (4), получим: тю 2н1 2 1 3 2 3 ( 1 2) Г2 12 Аналогично легко показать, что ~ Л21 тю .2сю = 7 — Г1 + — Г, 13 1.2 1 2 (8) Из (6) — (8) выводим дифференциальное уравнение движения точки А, относительно А,: ИГОО+2+~(Г1 — Г2Г1 ДР Г' 2 1( Гю гю) 2 12 1 дюГ1 тю + л21 Г,— Г1 Г, Д12 1'3 Г, + ~тю~,-- — — — -~ .
((0) ") 1 12 2 2. Выясним физический смысл отдельных членов уравнения (9). Условимся здесь называть материальную точку Совершенно такие же рассуждения позволяют получить дифференциальное уравнение движения точки А, 2 3] дви]кение п тОчек ОтнОсительнО ОднОЙ из них ]99 (А „т„) центральным телом, материальную точку (А„т,)— спутником центрального тела (А„, т,), а материальную точку (А,, гп,) — возмуща]ощим телом. Если бы возмущщощсго тела вовсе не было, то спутник под влиянием центрального тела получнл бы ускорение П]о а=- — ~ ', '- с.
г,з (11) Из-за вмешательства возмущающего тела спутник получает дополнительное ускорение У С1 — Сз С1 'Т Ф=гт ~ — ' ,3 ,3 12 1 (12) Это дополнительное ускорение Ф представляет собой некоторую разность: Ф=И вЂ” с. (! 2') Уменьшаемое б =— )т1(с1 — сз)]г12 можно записать так: ]) = — ]т1— гз 12 (13) Вектор 12 — это ускорение, которое получил бы спутник, если бы на него воздействовало только возмущающее тело, а сам он и центральное тело потеряли бы способность притягивать. Вычитаемое в выражении (12) с = ~т1— 1 з (13') — это ускорение, которое сообщает возмущающее тело центральному телу. Таким образом, дополнительное ускорение Ф, которое получает спутник из-за вмешательства возмущающего тела, равно избытку ускорения, сообщаемого возмущающим телом спутнику, над ускорением, сообщаемььи возмущающим телол1 1!ентральнолзу телу.,При этом имеется в виду, что!) каждое из этих ускорений рассматривается при движении относительно возмущаю]цего тела, 2) при вычислении этих [гл.
т ЗАдАчА л тел г1 = х,з + у,~ —,- г1(г, гз =- хз+ уз+ г)2, г, — )' х,'+ у', Е г,', г. = ~/хз — у' -~ гз (х х) + (у у)2 ь (г г)2 (14) то Уравнения (9) и (10) можно заменить шестью скалярными уравнениями: 2 1110 ~ 1Н2 1 х гз 1 то+ тз г", то+ тз — ~ —,,— ' г + ~т, 2( У .(1 2 У1 У У1 (15) 22 г 2(12 Л21 1'Х вЂ” Х, Х '2 'х +~т гз /' 12 2 У1 г '- з з 1 Лзз + (16) 1 тз + з 1 В тех случаях, которые интересны для космонавтики, одно из трех тел (космический аппарат) имеет ничтожно малую массу по сравнению с двумя другими телами (например, лзз пренебрежимо мало по сравнению с лзз и тз). поэтомУ допУстимо полагать ) (тз+ из) =)тз = К„ где КА — гравитационный параметр центрального тела (А„, лзз).
Кроме того, движение возмущающего тела А, относительно центрального тела можно считать известным— ускорений центральное тело и спутник рассматриваются как непритягивающие (а лишь притягиваемые) точки. 3. Система двух векторных дифференциальных уравнений (9) и (10) равносильна системе из шести скалярных дифференциальных уравнений второго порядка. Если в системе отсчета А зхуг точ ки А 1 и А, имеют соответственно координаты х,, у,, г,.и х, у, г, то есть Е1 движение а тОчек ОтнОсительнО ОднОИ из них рц Пуна 5м Тогда движение рассматриваемых п — 1 ма- териальных точек описывается следующей системой дифференциальных уравнений: ЕРг„, гна -1- тп„ с(12 гз т =- 1, 2,..., п — 1.
А, 'э аеннн (18) Рис. 5.6. 5. П р и м е р. Пусть в какой-то момент времени круговой искусственный спутник Луны находится на продолжении отрезка, соединяющего центр Земли с центром Луны (рис. 5.6). Каким образом повлияет притяжение Земли на движение спутника относительно Луны? В качестве центрального тела в данном случае выбираем Луну; Земля будет возмущающим телом. Благодаря наличию Земли спутник получает дополнительное ускорение Ф. Подсчитаем его. Обозначим через А, и А„центры Земли и Луны, через А, спутник, через й орт вектора А|А„через та, то т, массы Луны, Земли н спутника.
космический аппарат (Аа, те) практически не влияет на движение возмущающего тела (А,, т,). Поэтому задача определения движения космического аппарата сводится к решению системы трех уравнений второго порядка (15). 4. Формулы (9) и (!О) нетрудно обобщить на случай системы из любого числа материальных точек. Пусть рассматривается движение п взаимно гравитирующих материальных точек (А„, та), (Аи тп,),..., (А„ь тн.,) в системе отсчета с началом А, и с осями, сохраняющими неизменную ориентацию в "г у и' аа танан пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
