Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 31
Текст из файла (страница 31)
*) См. главу 11, «7, Р14 ПРИМЕНЕНИЕ ПОНЯТИЯ О СФЕ!'Е ДЕЙСТВИЯ 1Г!!. Е! Кроме того, для упрощения рассуждений будем считать, что 1) орбита Земли относительно Солнца является окружностью (в действительности эксцентриситет земной орбиты равен примерно 0,017); 2) вс!оду внутри сферы действия Земли местная параболическая скорость относительно Солнца такая же, как на самой орбите Земли (в действительности разница может доходить до 0,3'~4 от параболической скорости на орбите Земли). В соответствии с приближенной методикой мы при решении этой задачи пренебрежем влиянием Солнца внутри ! я!', +- -Ф еазом Гаже. Рис.
Б.4. Пе > Вп. где и, с — местная параболическая скорость относительно Солнца (рпс. 6.4). Пусть ракета получила у поверхности Земли гсоцентрическую скорость е!, и подошла к границе сферы действия, имея скорость е!! (геоцентрическую). Пусть В, = ', е!Р !, о, = !т!!~; гз, Аз — радиус и гравитационный параметр Земли, 7тл — радиус сферы действия Земли. Из интеграла энергии (2.6.2) следует, что з 2Кз В 2КВ и! — — -- = "О Рх сферы действия Земли и влиянием Земли вне этой сферы действия.
Для того чтобы ракета могла уйти в бесконечность, она при выходе из сферы действия Земли должна иметь от- носительно Солнца скорость Ь З3 ЗАДЛЧЛ О ГРЕГЬИГ! КОСМИЧЕСКОЙ СКОРОСТИ 215 следовательно, 2Кз 2Кз ГГо = ОГ з )зп (2) Отсюда ясно, что ПО ~. ~1+ ОкС (4) Вне сферы действия Земли учитываем только влияние Солнца. Для того чтобы ракета могла уйти бесконечно далеко от Солнца, ее скорость ио должна быть не меньше местной параболической скорости относительно Солнца ип с.
ио )~ ип.с. Итак, мы должны подобрать вектор скорости тГ, так, чтобы величина СГ имела минимальное значение, но вместе с тем выполнялись бы условия (4) и (1). Этого мы достигнем тогда и только тогда, когда (5) Ед Пп.с ~к.с и в момент выхода из сферы действия Земли направления вектоРов тГ, и тГ, с оДинаковы. Из (2) получим 2КЛ 2Кз ио (Рп.С Ок.С) ) Определяемая отсюда скорость го и будет искомой третьей космической скоростью.
Упростим последнюю формулу. Поскольку пп.с: — У2 ок.с, Отсюда видно, что го будет иметь минимальное значение тогда и только тогда, когда и, будет иметь минимальное значение. Так как ракета при выходе из сферы действия Земли имеет скорость тГГ относительно Земли, а сама геоцентрическая система отсчета вместе с Землей переносится в пРостРанстве с некотоРой скоРостью тГ, с относительно СОЛНца (Ек С вЂ” 29,8 КМ!СЕК), тО раКЕта будЕт ИМЕТЬ ОтНОСительно Солнца скорость тГО = ХГГ + ХГк.с (3) и!'имен ение пон51тия о сФеРе дьйстви51 (гл.
у1 218 то (вюс — о,.с)' =- (3 — 2~' 2) йч.с = 0,18ок с. Кроме того, 2Кз?гз — это квадрат параболической скороСтн РаКЕтЫ В ТОЧКЕ У ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ гп З( Г„З— = 11,2 кмг'сек, 2Кз 2Кз 'з 1 7~л ' 3 )5'л 140 Оп. 3 ° Поэтому оо = )г (оп,с — вк.с)' + оп.з = 1 0,18 ои.с + оп з, (6) откуда о„= 16,7 км?сек. Итак, третья космическая скорость (относительно Земли) составляет примерно 16,7 кмlсек.
Понятие о третьей космической скорости можно ввести для любой планеты. Для ее вычисления пригодна формула (6), если в ней под гю с понимать скорость кругового движения планеты вокруг Солнца, а под гп з — параболическую скорость у поверхности планеты. Задачи 1. Ракета стартует на высоте 230 км над Землей с параболической скоростью, направленной параллельно поверхности Земли. Какую скорость будет она иметь при подходе к границе сферы действия Земли? Сколько времени займет этот перелет? 2. Вычислите третью космпческу!о скорость относителшю Марса, Меркурия и Нептуна. 3. Солнце имеет в диаметре примерно 1,4 1О' км.
Каку!о минимальную начальную скорость (относительно Земли) следует сообщить оакете иа высоте 230 км над поверхностью Земли параллельно этой поверхности для того, чтобы она могла упасть иа Солнце? Притяжение Земли учитывать внутри ее сферы действия и пренебречь им вне этой сферы. Сколько времени будет падать ракета на Солнце? 4. Решите предыдущую задачу в предположении, что Солнце представляет собой материальную точку, ио масса Солнца остается прежней. б. Планируется запуск автоматической межпланетной станции (АМС) к орбите Марса. Отсечка последнего двигателя, разгонюощего станцию, должна произойти иа расстоянии 6800 км от центра Земли. Величина и направление скорости оа АМС в этот момент должны быть выбраны таким образом, чтобы АМС после выхода из сферы действия полит к внпеии 217 Земли двигалась по орбите, касающейсн орбиты Земли и орбиты Марса.
Последние две орбиты для простоты считаются концентрическими окружностями, имеющими радиусы )7з = —. !50 1О' клч)7м = 228 1О' км. Найдите величину скорости ор, необходимой для такого перелета. 6. Согласно одному из вариантов посылки АМС к Марсу пассивный участок ее траектории должен начаться на расстоянии 6800 км от центра Земли (то есть на высоте 530 км). Получив в начале пассивного участка геоцентрическую скорость ом АМС должна при выходе из сферы действия Земли иметь параболическую скорость относительно Солнца, направленную по касательной к орбите Земли. Какую скорость ое должна иметь АМС в момент отсечки последнего двигателяз Через какое время достигнет АМС орбиты Марсау При решении принять те же упрощающие допущения, что и в задаче 5.
6 4. ПОЛЕТ К ВЕНЕРЕ 1. В этом параграфе мы проиллюстрируем на важном примере применение приближенной методики к расчету траектории полета космического аппарата к другим планетам. Как известно, запуски межпланетных станций к Венере и Марсу были впервые осуществлены в Советском Союзе. Напомним некоторые опубликованные в печати данные об автоматической межпланетной станции (АМС), запущенной к Венере в 1961 году е). 12 февраля был запущен искусственный спутник Земли. Его орбита была близка к окружности: перигейное и апогейное расстояния были равны соответственно 6601 и 6658 км. В тот же день с борта ИСЗ стартовала космическая ракета, несшая АМС. В момент отделения АМС от ракеты скорость АМС превышала местную параболическую скорость на 661 м!сек. В 12 часов дня по московскому времени 12 февраля АМС находилась на рассто янин 126 300 км от Земли. При выходе из сферы действия Земли (точнее, на расстоянии 10' км от центра Земли) АМС имела относительно Солнца скорость 27,7 км,'сек.
Мы здесь произведем расчет для некоторой гипоптептической автоматической межпланетной станции. Исходные данные подберем таким образом, чтобы расчеты были проще, чем для случая реальной АМС. В то же время эти исходные данные будут подобраны так, чтобы траектория нашей воображаемой АМС была достаточно близка к траектории реальной АМС, запущенной 12 февраля 1961 года.
*) См, газету аПравдаз за 26 февраля 1961 года. 2)в ПРимеиеиие поп51тия о с вере де яствия !Гл, ч! Итак, вообразим себе, что 12 февраля 1961 года была запущена к Венере автоматическая межпланетная станция, относительно которой известно следующее. АМС стартовала непосредственно с искусственного спутника Земли, двигавшегося вокруг Земли по окружности радиуса р =— = 6630 км. При этом полагаем, что именно в момент старта с борта ИСЗ АМС получила скорость, превышающую местную параболическую скорость на 0,660 км)сек *).
Будем полагать, что в момент отключения двигателя, разгонявшего АМС, вектор скорости АМС был направлен параллельно поверхности Земли. Далее, пусть известно, что 12 февраля в 12 часов дня АМС находилась на расстоянии 126 300 км от поверхностна Земли. Кроме того, примем, что в момент выхода из сферы действия Земли скорость АМС составляла 27,6 км)сек.
2. Заметим, что приведенные выше данные позволяют подсчитать тот момент, когда наша воображаемая АМС должна была стартовать с борта ИСЗ. На расстоянии р = — 6630 км от центра Земли параболическая скорость равна , /2Кз = ! /2 398600 )г 120 25 0396км)сек В силу нашего допущения, что АМС при старте с ИСЗ Сраву жЕ ПОЛуЧИЛа СКОрОСтЬ, ПрЕВЫШаЮщуЮ О„ар На 0,660 км сек, скорость АМС при старте с борта ИСЗ составляла оч == оичп + 0,660 — 11,62 кмгсек. 12 февраля, в !2 часов дня по московскому времени, АМС находилась уже на расстоянии 126 300 км от поверхности Земли и, значит, на расстоянии г, = 132 700 км от центра Земли.
Обозначим через т, время, протекшее от момента старта АМС с борта ИСЗ до 12 часов 12 февраля. Получив скорость, превышающую местную !ираболическую скорость, АМС стала двигаться по гиперболической орбите. Пусть е, — ее эксцентриситет,' ,а, ~ — длина ее веществен- ') Заметим, что последнее допущение является совершенно нереальным.
Н действительности для разгона межпланетной станнни до такой скорости требуется некоторое время, и после этого времени ЛМС должна была удалиться от орбиты несшего ее искусственного спутника на некоторое расстояние (см. решение зада !и 9 из й 9 главы )1). Однако в нашем, чисто иллюстративном, примере мы себе разрешим считать, что прирост скорости ЛМС произошел мгновенно.
полет к вепеге 4 41 2И (О.!9) находим Н, =- 2,240, й Н, =- 4,644. л, ~ ~т, =- е, й Н, — Н, = 3,5450. По таблицам Поэтому Отсюда т, =- — ' — = 24890 (сек), 3,5450 10' 0,1424 то есть т = б часов 55 минут. ной полуоси. Воспользуемся уравнением Кеплера при- менительно к гиперболическому движению (см. (3.2. !9)): ~ лг! тг = е, й Н, — Н,. (1) Для нахождения 1а,~, е„)л,~ можно привлечь уравнения г, =- ~ аг ~ (ег с)г Н, — 1), (2) (2 1 1(р ~аг~ (3) р = аг! (Ег — 1), (4) 1 л,, '—..
)'Кз/~а,Р. (5) Из (3) определим ! а, /, из (4) е,, из (5) ! л,/, из (2) с)г Н,, а затем з)г Н, и Н, (по таблицам гиперболических функций). После этого из (1) можно найти т,. А затем уже легко под- считать момент г, старта АМС с ЙСЗ. Приведем соответст- вуюгцие вычисления: йг = ц", — ' =- 11,62' — -- — — — =- 14,77, 2Кз, 2. 398 600 р ' 6630 Кз 398 600 ! а, ! =- --- — — — -- =- 26 980 (км), )гг 14,77 — — — + 1 =- -- — + ! = 1,246 р 6630 ,'а, 26 980 !' К. Л ~ !' !й ~ Ю4,77 3,843 ~а,1 (а,~ 26980 26980 ' 132 700 )гН =- --'~- = — --.— = 0,1424 10 '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
