Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Так как при а .: —. О третье из уравнений (18) превращается в тождество 0 = О, то рассматриваемая плоская задача описывается системой дифференциальных уравнений четвертого порядка относительно двух геществспных функций х (!) и у! (Г). Уравнение (15), характсрнзугощес двпжсппс спутника (!г, нг) во вращающейся системс отсчета Схуа, отличается 2 2! ОГ!'линче!!нля ЕРугоиля ЗАдлчл ТРех !ел взэ Ц 2,22 (22+ р2) + 7 ! 2 р! р, (19) Лсгко проверить, что систему (17) можно привести к виду д(2' х = 2222г+ -— дх д(7 у =- — 222х+ дд (20) от уравнения движения спутника в инерциально!! системе отсчета (5) только новыми слагаемыми — 2 (а2 х г) и — ь2 Х (ь2 Х !') в правой части уравнения (15). Каков же их физический смысл? Появление этих слагаемых связано с неинерциальностью системы отсчета Схдг. Величина а„: — — «2 х (ь2 х и) (или, что то же, ю2 (х2'+ у!)) — это центробежное ускорение.
Оно имеет компоненты 222х и ю2у. В случае плоской ограниченной задачи трех тел это ускорение направлено так же, как и радиус-вектор спутника С!".. Второе слагаемое а2 — — — 2(в! х и) или, что то же, 2ы (у2' — ху),— взятое со знаком «минус! кориолисово ускорение. Его компоненеты равны 2222! и — 2ых. Оно направлено, очевидно, перпендикулярно к вектору скорости спутника. В случае плоской ограниченной задачи трех тел вектор кориолисова ускорения лежит в плоскости орбиты спутника.
Движение спутника относительно инер21иальной системы отсчета СХ)'2 будем кратко называть абсолютныи движением, а его движение относительно враи1аюи1ейся системы отсчета Схуа назовем для краткости относипгельныл2 движением. Аналогичным образом будем различать абсолютную и относительную скорости и абсолютное и относительное ускорения спутника. Заметим еще, что уравнения (17) можно записать в виде, более удобном для запоминания. Для этой цели введем в рассмотрение функцию 236 ОГРАНИЧЕЕ!НАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ !Гл, тп 5. И н т е г р а л Я к о б и. Умножая первое из уравнений (20) на 2х, второе — на 2у, а третье — на 2г и складывая полученные произведения, найдем: 1'д(l д(7 дс7 .
2 (х х + уу + гг) = 2 ( — — х + — у + — г ) (,дх' ду дг или 2 2 2 — (х'+ у2+ г') = 2— 2(! д! Обозначим через о скорость спутника относительно вращаю- щейся системы отсчета Схуг. Тогда х1 -1- у2 -1- г2 == о' Отсюда о' =- 2(7 — с, (21) где с — константа. Равенство (21) является первым интегралом для системы (20).
Он носит название интеграла Якоби. Этот интеграл можно записать и в виде о2= 112(х2+у2)+27' 1+ 2( 2 с (22) Р1 Р2 Если в какой-то момент времени известны относительная скорость спутника и его положение, а следовательно, его расстояния р, и р, от обоих притягивающих центров, то из интеграла Якоби можно найти константу с.
Если затем будет задано положение спутника в какой-либо другой момент времени, то с помощью интеграла Якоби можно будет и для этого момента времени вычислить относительную скорость спутника (но только по абсолютной величине, а не по направлению). При численном интегрировании системы дифференциальных уравнений (!7) пользуются обычно интегралом Якоби в качестве эффективного средства для контроля правильности вычислений. З 31 ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 237 а 3.
пРименение кОмплексных пеРеменных К ПЛОСКОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ Заметим попутно, что ай»(, =- гп»1(з, 7(», + 1(з = а, откуда следует, что 1(, = ра, 1(з =- (1 — р) а. Силы, с которыми точка (Р, и) притягивается к точкам (А„т,) и (А„т,), могут быть записаны в комплексной форме следующим образом: 2,— Л 1"т,и— рз 2» — 2 и(тт з рз 1.
Дифференциальные уравнения движения «спутника» в ннерциальной и вращающейся системах отсчета можно вывести, привлекая простейшие сведения о комплексных переменных. Пусть движение пассивно гравитирующего спутника(Р,т) происходит К»з в той же плоскости, в которой движутся оба притягивающих центра Р, (А н т») и (А.„тз) (рис. 7.2). Выберем в этой плоскости л инерциальную пр ямоугольную систему координат СХУ' с началом в барицентре С точек (А„т,) н «л К (А.„т,); ось СХ расположим так, чтобы она совпала с осью СА, в момент времени г = О. Плоскость СХУ' при- Рис.
7.2. мем за плоскость комплексного переменного Л. Пусть в произвольный момент времени 7 точки А,, А„Р имели соответственно комплексные координаты 2„«.„Е. Тогда СА, = ~ Х, ~ = Дн СА, =-, У, ( =- Д„СР = ~ «. ~ = 1(, А,А» = а; А~Р = — ( 2~ — 7! — р» А,Р == ~ 2, — 7 , '== р„(1) (2) 238 оп знпчьпссс ся злдсзсл тпех тел сгл. осс Пользуясь вторым законом Ньютона, найдем: сРХ .и,, ио — - = ~' —,' (2, — 2) -; — 7 — —;-' (Ло -- Л). ссс'о ро (3) г, = )Со г, = — Рго г =- )тес". (4) Числа Е„Л, и Л (комплексные координаты точек А,, А„Р в инерципльной системе отсчета СХУ'Л) можно также запи- сать в показательной форме: Е ==- Рт е' ' Л = сс,е'с"'ы с = — )т,е"', Л = Ртесс"'"'о (5) Из формул (4) и (5) следует, что Л, = г„е' ', Л, = г,е'"', Л = ге'"'. (6) Подставляя эти выражения в уравнение (3), после упрощений получим искомое уравнение движения спутника во вращающейся системе отсчета.
Проделаем соответствующие ньпсладки: г". = (г+ иог)е'"', г. = (г+ 2иог — со'г)е'"',1 (7) г,— Л.— (г,— г)е"', е,— Л =: (г, — г) е"'. После подстановки этих выражений в (3) и сокращения на еьп найдем: т, и, г -=- — 2иог+ соог 'г 7' — (г, — г) , '7'- — (го — г). (8) ро ' ро Это и есть дифференциальное уравнение движения спутника в инерцпальной системе отсчета СХГ.
2. Перейдем теперь к выводу уравнения движения спутника во вршцаюгцейся системе отсчета. Пусть точки А, и Ао вращаются вокруг точки С с угловой скоростью со. Заставим прямоугольную систему координат Сху вращаться вокруг точки С с той же угловой скоростью со, причем ось Сх направим вдоль прямой А,А,. Обозначим комплексные координаты точек А„А,, Р относительно вращающейся системы отсчета Слу через г„ го и г; пусть ~ А,СР = а, СР = лс ()с и а — функции от ~). Ясно, что о] пРимкис!!и!' компас ко!!ых исесигииьгх гзч то легко проверить, что уравнение (8) за!аисывастся в более компактном виде дс/ . д~/ до ду г + 2!'о«г (1О) Умножая (1О) почленно на 2=х — и/, найдем: — ди д(/ ..
( дй/ д(/ гг+ 2ио~ г!'- х+ — — у+ ! — — у+ — х). дх ду «дх ду Приравняем вещоствениые части обеих частей иоследне!о равенства: д(У д(/ . 1се (г г) =- — — х -1 — у, дх ду '' то есть — — «/(/ с/ - д(/ -; — (г г + г г) — —,— (г г) = 2 г«/ откуда (г'1« =- 2С/ — с.
Это и есть интеграл Якоби в комплексной форме. (1 1) Это дифференциальное урви!синс вюораео порядка относит!'льио комплексной коорди!киты г и ссп исщжюс /!иффереициальиое )равнеш!с движения спутника во вр!ииа!огцейся системе отсчета. Величина а!: ь«г, входящая в праву!о часть уравнения (8),— это !1ени!робежное ускорение (оно одинаково направлено с вектором г). Л величина а, =-.. — 2иог — это ускорение Кориолиса, взято" со знаком !т!инус«. Вектор а«, образуется из вектора скорости г, если последний умножить иа 2«о («растяиутьо вектор г), а затем повернуть иа 90" по часовой стрелке в плоскости движщшя точки Р.
Если ввести вспомогательную функцию (/ ио формуле (/ =- — ооо ! г',о + ~ — '- -,'. ~ - -'"'- (9) 1!! Р« 240 ОГРАниченнАЯ 3АДАчА тРех тел' [Г*!. Рн Заметим, что в канонических единицах уравнения (8)— (11) принимают следующий вид: )2 1 — р г =- — 2!г+ г + — (1 — р — г) + -- ( — р — г), (12) рз рз 1 У =,— 1г~' ~- — — + 2 (18) дУ .дУ г-1-2!'г= —. — — + 1-— дх ду (14) / г/з = — 2У вЂ” с. (18) 3. Интеграл Якоби в инерциальной с и с теме о те ч е т а. Перейдем в интеграле Якоби (11) от переменного г обратно к переменному г"..
Пусть г, — скорость спутника относительно системы отсчета СХ)', а Г = !21. Так как г =- Ле-!"1, то г = (2 — !212) е!"', 1а — р!!з = ~а~2+ !р12 — 21пт (а.р). Тогда получим: ~ г !2 = ( х12 -1- езз ~ г, !' — 221 1п1 (2 г,). Обозначим через !р угол между осью СХ и радиусом-вектором СР. Мы можем записать Е в показательной форме: г", = )те!з. Отсюда 2 г.
= ()с + !)х!р))х, 1п1 (г,г,) = — 1з1Чр. Поэтому ~2 1!2 ! 1121 12 221 !321р ( г!' = !У вЂ” !2212!'. Воспользуемся легко проверяемым тождеством, верным для любых комплексных чисел а и р: 1 З] ПРИМСНЕННВ КОМПЛЯКСНЫХ ПСРКМЕННЫХ 241 Интеграл Якоби (11) преобразуется теперь к следующему виду: 2!ги, 2!та Ра — 2в)Ра~р = — '- -1- ' — с.
Ра Ра 1 Умножая это равенство почленно на — т (лт — масса 2 спутника), получим другую запись интеграла Якоби: — т'Р'а — т ~ ' + ' ~ — отвар = — С. (16) Выясним физический смысл отдельных составляющих это го интеграла. Величина — тР— это кинетическая энергия а 2 спутника. Величина т ( — + — ) — это работа, которую /(та !та~ Ра Ра необходимо затратить, чтобы, преодолевая притяжение притягивающих центров, удалить спутник в бесконечность. Иначе говоря, — т ( — + — ~ — это потенциальная энер- ~(та (таб Ра Ра гия спутника.
Величина — это полная энергия спутника. Выражение 1 = лЯаар — это кинетический момент спутника. Если учесть, что — 1т ~р — это секториальная ско- 1 а 2 рость с5/Ш спутника (относительно барицентра С), то кинетический момент можно представить в виде 1 = 2т— ~Ю Й В ограниченной задаче двух тел, как мы видели в $ 3 главы П, полная энергия спутника остается постоянной в течение всего времени его движения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
