Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Пусть в какой-то начальный момент та спут- Рис. 7.7. пик находится в точке Р, на расстояниях р„ и р„ от звезд А, и А, вблизи звезды А, и получил начальную относительную скорость па. Константу с можно найти из зависимости с = 2(/а — и!л (16) 288 <ГЛ. РН ОГРАНИ'!ЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ где 1, р 1 — 1» (/, = — — (х' + у,') + — -1- р<о р»» (17) Если и» = О или и» мало, то спутник Р останется внутри некоторого овала, описанного около притягивающего центра А,. Из (16) видно, что при росте начальной скорости ои константа с будет убывать; при этом овал около точки А, и сходный овал около точки А, будут «разбухать».
Рис. 7хл Рис. 7.8. При некотором значении начальной скорости о, = о<„" овалы, описанные около притягивающих центров А, и А«, сомкнутся в точке лнбрации 7.! (рис.?.6). Зная положение этой точки (то есть ее координаты х<'<, у<'!), можно найти константу со! из уравнения 2 У (х<'>, у<'!) — с<'! = О (ср. с формулой (7); на рис. 7.6 с<П обозначено через с,). При удачном выборе направления начальной скорости и<!»! в принципе возможно достижение спутником точки либрации ?.„а при дальнейшем малом увеличении начальной скорости о» возможен перелет спутника из овала 7?» в овал В!.
5! л!и!ии хилла 257 При дальнейшем возрастании начальной скорости о, величина с будет убывать (см, формулу (16)!. При определенных значениях с, равных определенным числам с<а!, или свг, или сга' (сга! ) с!а! ь св>), уравнение (7) будет представлять собой уравнение кривой, имеющей особой точкой соответствующую точку либрации 7 м ь„).а или 7 а (на рис. 7.8 и 7.9 сгм = с„с"! Б—з . с,). Значения этих чисел с!зг, с!'г, сга! можно найти, подставив в уравнение (7) вместо (х, у) координаты соответствующих точек либрации 7 „7.а, 7.а.
Интеграл Якоби (!6) тогда позволит найти те минимальные относительные скорости ппг, ога!, Бн! в заданной точке Р„при которых в принципе становится возможным достижение этих точек либрации а). При скоростях, немного больших чем о!„'!, спутник может начать удаляться в бесконечность, но при этом он должен обязательно пройти вблизи точки 7.а (рис. 7.8) При дальней!нем нарастании скорости на будет расширяться «горловина» у точки 7 а Если спутник при такой начальной скорости сможет удалиться на бесконечно большое расстояние от звезд А, и А„то он обязательно пройдет через эту горловину.
Так будет обстоять дело до тех пор, пока начальная скорость са меньше, чем о',". Если начальная скорость са — — о,"', то можно сообщить спутнику эту скорость в таком направлении, чтобы он достиг точки (.з с нулевой относительной скоростью (рис. 7.9). При скорости, немного большей чем о,"г, спутник может неограниченно удалиться от звезд А, и А„ проходя через горловину вблизи точки либрации 7 а. При дальнейшем нарастании начальной скорости оа будет расширяться горловина у точки 7.а (как, впрочем, и у точки 7.а), а области, недоступные спутнику ни при каком направлении начальной скорости, будут сжиматься к треугольным точкам либрации 7., и 7 м При са ) пан спутник Р может неограниченно удалиться от звезд А, и А„двигаясь в плоскости по любому направлению (рис. 7.11).
*) Скорости иги! и = 1, 2, 3, 4, иногда называют крин!!и!ескими. !7 М. Б. Бала 258 ОГРАНИЧЕИНАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ . 1ГЛ. тг!Г Приведем в качестве примера значения критических скоростей для случая, когда притягивающими центрами служат Земля и Луна (табл. 2), причем малое тело (космическая ракета) находится в начальный момент в точке Р, на высоте 200 км над поверхностью Земли, то есть на сфере радиуса 65?О км, описанной около центра Земли *). Л а 2 д 2 2г г)г ~ г д, г 2 д ь' г г с-с, сг ЩЯ смс, Рис. 7.11. Рис.
7.10. Критическая относительная скорость, необходимая для достимеггия тачки либрацки, мгсе Точки либрации ся ).а да (или /.ь) 10 848,90 10 849, 68 10 857, 38 10 858, 54 ') Данные заимствованы из (бл). Как показывает более тщательный анализ, положение ракеты на этой сфере практически не влияет на значение соответствующей критической скорости.
Таблица 2 дополнс~пя !! Оговщг!!!!я » «! ззч у 6. ДОПОЛНЕНИЯ И ОБОБЩЕНИЯ 1. Пространственная ограниченная з ад а ч а т р е х те л. В предыдущих трех параграфах мы ради простоты ограничились случаем, когда движение обоих притягивающих центров и их спутника происходит в одной и той же плоскости.
Непосредственным обобщением этой задачи является «ограниченная пространственная круговая задача трех тел», о которой мы говорили в 5 2. Пользуясь интегралом Якоби (7.2.22), можно во вращающемся пространстве ввести в рассмотрение поверхности нулевой относительной скорости (поверхности Хилла), отделяющие области, в которых возможно движение спутника, от областей, в которых движение наверняка невозможно.
Еще более общий случай ограниченной задачи трех тел мы получим, если допустим, что (А„т!) и (А„т«) движутся относительно их барицеитра С не по окружностям, а по каким-то иным коническим сечениям. 2. Теоремы о необратимости и симметрии в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел. Если в какой-то области пространства движение спутника двух притягивающих центров (А,, и,) и (А„т») («и, ( т,) возможно, то, разумеется, он может двигаться не по любой кривой из этой области и не в любом направлении.
На следующие любопытные элементарные факты обратил внимание американский ученый А. Миеле (М!е!е). а) Теорема о необратимости: если во вращающейся системе отсчета хуг возможно прямое движение спутника по траектории, заданной уравнением с (1) = х (~)/+ у (1)/+ + г (/)К то обратное движение вдоль этой траектории физически невозможно. б) Теорема о симметрии: если физически возможна траектория г (!) = х (!)/+ у (1)/+ г (!)/г, (А) то физически возможны еще такие три траектории: г = г, (!) = х (!)»' + у (!) / — г (!)й, (В) г = г, (/) = х ( — 1)/ — у ( — г) / + г ( — !)М, (С) г = с, (!) = х ( — !)»' — у ( — !) / — г ( — 1)!« . (11) 1т« 260 ОГР«11ИЧЕППАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТГЛ ! ГЛ. 1'11 Траектории (В), (С), (Р) симметричны траектории (А), соответственно, относительно плоскости движения звездА, и Аго относительно плоскости Схг и относительно прямой А,А,.
3. Проблема захвата. Большой интерес для космонавтики представляет следующая проблема захвата в ограниченной круговой задаче трех тел: может ли <не- притягивающая» материальная точка (например, космическая ракета), пришедшая «из бесконечности» в некоторую ограниченную область 1» пространства, где она подвергается притяжению двух «звезд», остаться навсегда в этой области? С первого взгляда может показаться очевидным, что всегда возможен такой «удачный» выбор направления и величины скорости <непритягивающей» точки, чтобы она, например, навсегда осталась внутри сферы притяжения одной из двух звезд.
Так, кажется возможным направить космическую ракету с Земли к Марсу с тем, чтобы она вошла в сферу притяжения Марса (относительно Солнца) с малой скоростью и затем осталась внутри этой сферы. Однако тщательный анализ приводит к совершенно иным выводам. Еще в 1930 году швейцарский математик Э. Хопф показал, что пришедшая из бесконечности непритягивающая точка, притягиваемая двумя звездами, должна, вообще говоря, снова удалиться в бесконечность. Иными словами, захват в ограниченной задаче трех тел чрезвычайно маловероятен *). Весьма интересный анализ был произведен советским механиком В. А.
Егоровым (6.11, 17.11. Рассматривая случай, когда область В есть сфера притяжения или сфера действия меньшей звезды относительно большей звезды, он пришел к следующему выводу: если в круговой ограниченной задаче трех тел отношение притягивающих масс п«1!Тпз достаточно мало, то непритягивающая точка, пришедшая из бесконечности в сферу притяжения меньшей звезды, обязательно выйдет из этой сферы.
Вывод остается в силе, если вместо сферы притяжения брать сферу действия меньшей звезды. *) Точнее, множество начальных данных, при которых возможен захват, имеет нулевую меру в смысле Леоега. Однако результат Хопфа не иснлючает возможности захвата при неноторых <исключительных» значениях начальных данных. ДОПОЛНЕНИЯ И ОБОБЩЕНИЯ 261 Для того чтобы теорема Егорова имела место, достаточно, чтобы отношение масс т, ! тз было порядка 10-' или меньше. Отсюда, в частности, следует, что космическая ракета, посланная с Земли и попавшая с сферу притяжения или сферу действия Марса или Венеры, обязательно выйдет из этих сфер.
Теорема Егорова не позволяет сделать аналогичные выводы для систем Земля — Луна — ракета или Солнце— Юпитер — ракета. Для подобных случаев оказывается целесообразным следующее приближенное рассмотрение возможности захвата, предложенное В. А. Егоровым. Назовем траекторией сближения такую траекторию непритягивающего спутника Р, которая а) начинается вблизи одного из притягивающих центров (А,) и б) на первом обороте точки Р относительно точки А, (то есть еще до того, как радиус-вектор А,Р сделает полный оборот вокруг точки АБ) входит в сферу действия второго притягивающего центра А,. В. А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
