Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 39
Текст из файла (страница 39)
И. Лурье 18.9). 2. В дальнейшем нам потребуются некоторые несложные вспомогательные факты, относящиеся к кинематике твердого тела, вращающегося вокруг некоторой точки А. 1) Если тело вращается вокруг некоторой оси, проходящей через точку А, с угловой скоростью *) ш, то можно зто вращение задать вектором ш = юге, где те — орт оси вращения; при этом скорость т! каждой точки Р этого тела определяется через ее радиус-вектор Я(Я = АР) по формуле е!=шхлс, (3) или йтс/г(у =- пт х )с. (4) 2) При любом движении твердого тела, имеющего неподвижную точку А, можно в каждый момент времени г подобрать такой вектор от = ш (!), что для любой точки Р этого тела будет иметь место равенство Я=птх Я, (5) *) Угловая скорость ы, о которой говорится вэтом пункте, не имеет ничего общего с аргументом перипентра га (одним иэ элементов орбиты спутника), о котором мы говорили выше.
ВОЗМУЩЕНИЯ В ЭЛЕМЕНТАХ ОРБИТЫ где )е:== АР. Ось, проходящая через точку А и определяемая вектором ьз, называется мгновенной осью вращения тела, а сам вектор ьз — мгновенной угловой скоростью тела. 3) При сложении нескольких движений твердого тела, имеющего неподвижную точку А, мгновенные угловые скорости складываются. 4) Движение тела, обладающего неподвижной точкой А, полностью определено, если в каждый момент времени известно положение осей подвижной системы отсчета А~21~, жестко связанной с телом, относительно неподвижной системы отсчета Ахуг. Пусть можно перейти от системы Ахуг к системе А$2)ь при помощи трех последовательных поворотов вокруг осей, определяемых единичными векто- РаМИ П„П„П,, СООтВЕтСтВЕННО На УГЛЫ СЬ„СЬ„СЬз (ЮЗ И ПА МО- тут меняться с течением времени).
Тогда мгновенные скорости вращения вокруг каждой из этих осей характеризуются векторами аз1= и1 (1)п1 азз = сьз (г)пз ьзз = сьз (1) пз (б) а мгновенная скорость вращения тела может быть вычисле- на по формуле взз + ьзз + взз то есть оз = сьзпз 1 сьзпз + пзпз 3.
Выведем теперь уравнения Ньютона — Лагранжа. Пусть движение спутника Р (рис. 8А) рассматривается относительно некоторой прямоугольной декартовой системы координат Ахуа с началом в притягивающем центре А . Единичные векторы осей обозначим соответственно через 1,,У, й. Рассмотрим в каждый момент времени 1 три взаимно ортогональных единичных вектора: вектор е, — орт радиуса-вектора спутника АР; вектор е, — единичный вектор поперечной составляющей скорости спутника тз„ (этот вектор лежит в плоскости, проходящей через радиус-вектор спутника АР и вектор его скорости 22); вектор е„ Р88 ОТКЛОНЕНИЕ ОТ КЕПЛЕРОВОЙ ТРАЕКТОРИИ 1ГЛ, Р !И определяемый формулой Е, =- Е1 Х Ее.
Перенося эти три единичных вектора е„е,, е, в одну точку А, получим ортогона,Льный триэдр, который можно рассматривать как некоторое твердое тело. С течением времени этот триэдр будет вращаться, но одна его точка (А) Рис. 8А. останется все время неподвижной. Поэтому к триэдру (ен в„е,) можно применить положения кинематики твердого тела (см. п. 2). Оси А$, Ати АЬ подвижной системы координат А$П~ направим вдоль векторов е„е„е,. Проекции возмущающего ускорения Ф на эти оси обозначим соответственно через Ф„Ф„Ф,. Если бы в момент 1' прекратилось действие возмущающей силы Р„то спутник стал бы двигаться по какому-то коническому сечению (по кеплеровой орбите).
Обозначим элементы этой орбиты относительно системы отсчета Ахуг через й, у, р, е, а, т. з ы возмтщгния в элвментлх огвиты 269 Если бы спутник двигался по этой орбите, то в любой последующий момент его положение и скорость определялись бы формулами задачи двух тел, выведенными в главе 11. Таким образом, уравнение орбиты имело бы вид (7) г= ге„, где г= 1 + е соз О ' (8) а скорость о определялась бы формулой (9) о = о,е, + о„е„ где о, = ~Гг — з(п О, гк Р о„= ~ г — (1 + е соз О) = ГК )гКР Р г (10) (11) С другой стороны, если бы в этот момент 1 прекратилось действие возмущающей силы, то спутник, имея ту же мгновенную скорость о, стал бы двигаться по кеплеровой орбите.
Но в таком случае его скорость определялась бы по В этих формулах при движении по келлеровой орбите меняется О, а величины е, р остаются постоянными. В возмущенном движении, меняя Г, мы будем переходить от одной кеплеровой орбиты к другой. Каждый раз радиус- вектор и скорость спутника буду~ определяться по формулам (7) — (!О), но в этих формулах не только О, но и е и р бчдут функциями от времени. В момент времени Г спутник, двигаясь по своей реальной, «возмущенной» орбите, имеет некоторую скорость, которая может быть определена по формуле 27О ОТКЛО11ГПИЕ ОТ КГПЛЕРОВОП ТРАГКТОР1И1 1ГЛ Т 111 формуле (9).
Следовательно, й' — =ое,+ое,. г гг (12) Это равенство должно иметь место в каждый момент времени 1, оно является тождеством, и поэтому его можно продифференцировать по 11 Г(вг 11 „, =- а. (О.е, + о„е,). (13) С другой стороны, по условию (1) г(тг К вЂ” = — — е +Ф. .Ц2 Г2 1 Поэтому д, К вЂ” (о,е, + о„ев) = — —, е, + Ф. г' (14) Из (12) и (7) имеем 11 (Ге,) — = ОгЕА+ О~ЕМ (15) Г(е1 сЬ, с(ев сЬ„К Г Два векторных равенства (14) и (15) и являются, по сути дела, дифференциальными уравнениями возмущенного движения. В дальнейшем мы: 1) заменим их шестью скалярными равенствами; 2) выразим входящие в эти равенства величины через оскулирующие элементы е (1), р (1), 11 (7), у (Г), в (1), Г (1) и их первые производные; 3) получим выражения для производных от оскулирующих элементов.
Это и будут уравнения Ньютона — Лагранжа. 4. Итак, сначала заменим два векторных равенства (!4), (15) 1авсп1ью скалярными. Производя дифференцирование в левых частях уравнений (15), (14), получим; с(е1 дг г — + — е,= о,е,+ о„е„ ГУ Г(1 (16) !! возмущения в элвментлх оввиты 27! (18) — — со Х е, ссГ 1 с(е, — =сохе„ сУ ССЕ,1 — '- — со Х е,. (19) Заменяя в этих формулах со при помощи (18), получим: С(Е1 (г со2ез + созе2 с!е, —, = СО1Е2 — 21,Е„ (20) с!ез — = — СО1Е2 + СО2Е1. С(1 Подставляя теперь найденные значения производных в (16), (!7) и приравнивая коэффициенты при одинаковых ортах, получим шесть скалярных соотношений: ол О, — — +Ф, К г' с(о, озсоз с(с с(оз о,соз+ п,.й ОГСО2 + О~< 1 с!о Освободимся от входящих в (! 6) и (17) векторов ссс А = 1, 2, 3, выразив их через (ез) и (озз).
Рассматривая триэдр (ео е„е,) как твердое тело, мы можем записать вектор мгновенной скорости его вращения со в следующем виде: со =-со,е,-! созе, + созе,, причем согласно тождеству (4) с(Е1 272 Отклоне!!иГ От кеплеРОЕОИ траектории 1Гл. Ти!1 дг 1Ь, Из этой системы легко находятся величины —, тй ' дт 1о1 озз озз — = о, 1Ь, и,', — ' = — "- — ' — -р Ф„ дт г гз ф 1ГГ г (21) Фз ол о11 =, о12 = 0 озз го =- — Ф+ — р+ — е,. 2211 дт 1(и ,11 1 (Г з *) Угол и обычно зазывают аргумзнтам широл1зе (22) Таким образом, вместо двух векторных равенств (14), (15) мы теперь имеем шесть скалярных равенств (21).
б. Входящие в (21) вспомогательные величины оз„оз„ыз попытаемся выразить через оскулирукхиие элеленл2о1 и их производные. Величины оз„озз, озз — это проекции вектора 1о на оси А$, А11, Аь, определяемые ортами е„е„е,: 1е1 + оззе2 + оззез Вспомним, что оз — это вектор мгновенной угловой скорости вращения триэдра (е,, е„е,). Положение этого триэдра относительно неподвижной системы отсчета Ахуг характеризуется тремя углами 21, у, оз. Для того чтобы перейти от системы отсчета Ахуг к системе А $2) ~, необходимо совершить последовательно три поворота: на угол 11 вокруг оси Аг (определяемой ортом й), затем на угол у вокруг линии узлов Аза (определяемой ортом р), и, наконец, на угол и (и = оз + О) вокруг оси Аь (определяемой ортом е,) *).
Мгновенные угловые скорости вращения вокруг каждой из этих осей равны соответственно 1(Ф, ур, ие,. Поэтому в каждый момент времени мгновенная угловая скорость вращения триэдра (е„е,, ез) определяется по формуле ВОЗМУЩЕНИЯ В ЭЛЕМЕНТЛХ ОРБИТЫ 273 Если выразим векторы р и й через е,, е,, е, и подставим эти выРажениЯ в (22), то затем легко найдел1 ь„ые, ыа. Вектор р лежит в плоскости векторов е,, е, и направлен под углом и к орту е, и под углом и -; 90 к орту е,. Поэтому р = созие, — япив,. (23) Разложим вектор Ф по ортам триэдра: 7Г = С1Е1+ СЗЕТ вЂ” , 'С Ез. (24) Вектор й наклонен к орту е, под углом у.
Поэтому С, = СОЗУ. (28) Чтобы найти с, н с.„умножим (24) векторно на е,: Гг Х е„= — с,е, + сее,. (26) С другой стороны, й ЗС Е,=япу р. (27) Пз (2б) и (27) получаем с,=-япуяпи, с,=япусози. Таким образом, Ге =- яп у яп и е, + яп у соз и е, + соз у е,. (28 ) а.1 ы ==- япуяпи — + сози— с(1 ' с(1 с(Т Гве = ЯПТСОзи — — ЯП и —, в(1' с(1 с( 1 с(и ы созт дГ+ —,а .
(29) Таким образом, мы выразили величины ы1, вз„ь, через оскулиру1ои1и11 элемент, 1К аргумент широты и и производные оп1, у, и. 18 М. В 5,1В Подставляя выражения (28) и (23) для р и й в (22) и группируя коэффициенты при ортах, получим проекции вектора мгновенной угловой скорости ы на оси подвижного триэдра: 274 ОТКЛОНЕНИЕ ОТ КЕПЛЕРОВОЯ ТРАЕКТОРИГ! [ГЛ. Т!!! 6. Используя (29) и (21), найдем — ", — — а также —. ед «т ва е! ' й!' в! ' Действительно, подставляя значения для гв„ые, ь!, Пз (29) в последние три равенства системы (21) и привлекая еще (10), получим систему трех линейных уравнений отнол!! Лт еи сительно производных — -, —, —: е! л! и с(Т и — -+ соз и — =Ф,—, ) й! ' су 5)I~~' й(1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
