Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Что касается самой атмосферы, то ее плотность в какой-либо точке зависит не только от высоты этой точки над уровнем моря, но и от других весьма разнообразных факторов. Так, например, она меняется в течение суток: скажем, на высоте 300 км плотность атмосферы в полдень почти вдвое больше, чем в полночь, а на высоте 1000 км — вероятно, в 60 раз больше. Плотность верхней атмосферы заметно увеличивается с усилением солнечной активности.
До сих пор еще не разработаны достаточно совершенные модели земной атмосферы. Однако имеющиеся сейчас 294 ОТКЛОНЕНИЕ ОТ КЕПЛЕРОВОй ТРАЕКТОРИИ 1ГЛ. Р!1! р = р«е-А1н (29) (Н и р, — константы). Будем полагать, что орбита спутника представляет собой эллипс небольшого эксцентриситета (0,02 < ' е ( 0,2). Такими были орбиты многих спутников, запущенных в 1957 — 1964 годах. Выше мы получили формулы для дрЫи н Ы11и. Совершенно аналогично можно получить следующие формулы для т(рЫО и «(ЕЯО: «(р "Р 1+ 2е сов 0+ е« тТО " (1+ есо50)' — -- = — брр- —, (е+ соз 0).
(30) 1(е Р'! + 2есо50+ е' «(О (1 + е соз 0)' Пользуясь известными формулами ги = 1 можно после несложных выкладок найти значения для про- изводных «(г„/ЛО и Ь„ЯО: «(г„б „3Р'1+ 2есо50+ е' + ЛО " (1 е соз 0) + 2есоз О+ е~ йО "~ (1+ есо50)' (31) (32) сведения об атмосфере позволяют дать более или менее удовлетворительные прогнозы срока жизни спутника. Расскажем здесь вкратце лишь об одном упрощенном приеме (8.23! такого прогнозирования, полезном для ориентировочных прикидок (существуют и более точные методы, см., например, 18.11) и 18.16!).
Мы будем предполагать, что Земля и ее атмосфера имеют сферическую структуру; плотность атмосферы будем считать изменяющейся по экспоненциальному закону, как зто обычно делается в учебниках физики (вспомните так называемую «барометрическую фор мул уя): плотность р на высоте л над уровнем моря определяется по формуле Е 3! ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ ЗЕМЛИ 295 Уравнение орбиты спутника г Р 1г есозО (33) можно в силу малости е заменить таким: г=р(1 — есозО), ибо (1 + е соз О) (1 — е соз О) = 1 — е' соз О = 1. (34) Пусть гг — радиус Земли, Ь,- и ܄— высоты перигся и апогея орбиты спутника над поверхностью Земли. Так как г=Н+Ь и при0=0 г=-г-„=-Н+Ь-,, а при 0 — и г = г, — Н + Ь„то уравнение (34) можно записать так: Ь = Ь,.
+ с (1 — соз О), (35) где 1 1 с = (г„— г„) .— —,(Ь,. — Ь,) == еа. (Зб) :т Ьг, = НЛг = — А ~ р (1 — соз О) г(0, (37) — и Лс = — А ~ р соз Ос(0, (38) где А — некоторая положительная константа, а р определяется формулой (29). Точное вычисление указанных интегралов несколько кропотливо и требует привлечения так называемых бесселевых функций. Для упрощения расчета воспользуемся следующими соображениями.
Так как орбита не является круговой (е ) 0,02), то снижение спутника происходит главным образом за счет его торможения в районе перигея, где Обозначим Ь„7Н через г, так что Ь,=НЕ. Используя уже применявшийся нами прием усреднения, подсчитаем изменение величин г, и с за один полный оборот спутника (то есть при изменении О от — и до и); при этом в нашем упрощенном расчете мы в подынтегральном выражении заменим суммы вида 1+ еф (О) через 1. В результате получим 996 ОТКЛОНЕНИЕ ОТ КЕПЛЕРОВОЙ ТРАЕКТОРИИ [ГЛ, Рп[ плотность больше, чем в других точках орбиты. Это значит, что в интеграле (37) можно пределы интегрировании заменить на — а и а, где а — малое положительное число (например, а = 1).
При — а ( О ( а допустимо воспользоваться известной приближенной формулой с050 1 — — О. Я 2 (39) Из (33) получим 6=ЕН+ [ О', В результате подынтегральиое выражение в (37) приобретает такой вид: 1 — †я ! — Ое ' е-'. 2 см е-"'Йх = 'р~п. Выполнение этих выкладок приведет к следующему приближенному равенству (С, =- Лр») НАЕ = — С, ~ — 0»е»н Ю= — — 'и' (с/2Н) 'е-'.
Разделив НАЕ на период Т обращения спутника < 2п е[г Т = — =- ан), найдем И[ЕЛИ', а затем —: =~к '') Ж' 9 — = — С,с 'е-', » (40) где С, — положительная константа. Функция е 2™ убывает очень быстро при росте О. Поэтому интеграл от этой функции в пределах от — а до а не будет сильно отличаться от интеграла от той же функции в пределах от — » до »О. А при вычислении последнего интеграла можно воспользоваться известным тождеством 9 31 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ ЗЕМЛИ 997 Аналогично можно вычислить дс/а7: 1 е(с — = — 2Сс ' е-'.
Ж (41) Из последних двух уравнений нетрудно найти с как функцию от С Действительно, разделив почленно (41) на (40), получим: 1 е(с — = 2с, с =- С,е'-, е-' = С,с йе Учитывая (41), найдем ас — =- — С,с ', й с=Се((е 7) (42) з 4п 3 Т = — а, К откуда ЬТ да ! аа 2 1 т(Т 2 — =3 —, — — = — — —. Т а' аШ 3 Тс(1' (43) Легко понять, что при принятых нами допущениях и при той точности, которая допустима в данном рассуждении, можно считать (44) где фффСб и т, — константы, С,) О. При 7 1, с О, то есть орбита приближается к окружности.
Для реальных спутников, орбиты которых имеют перигей на высоте порядка 200 — 300 км и эксцентриситет е ) 0,02, снижение эксцентриситета до 0,001 — 0,002 практически совпадает (с точностью до одних-двух суток) с моментом прекращения существования спутника.
Поэтому момент 7, и можно без большой погрешности считать моментом прекращения существования спутника. Для нахождения 1, можно воспользоваться третьим законом Кеплера: Рзз ОТКЛОНЕНИЕ ОТ КЕПЛЕРОВОЙ ТРАЕКТОРИИ [ГЛ, Т!!! Действительно, 1 1 а =.. — (»„ + »„,), с = — (»„ — »„). В течение одного оборота спутника снижение перигея во много раз меньше снижения апогея, так что Л",.=О, Ла= 2 О»"' Ос 2 Л»"' Т Т ' (45) ! 1 Лс Ла а зто равносильно (44). Из (42) и (44) видно, что с с 3 сТ о 2»(с)г!! 2даl!(! 4а ( — »!Т(г!!) ' или окончательно 3 ЕТ !о 4 ( — »(Т/!!!) ' 3 й„— Ь„Т о — 8 - а ( 1Т7,Я (46) (47) 002 ( з(02 и 180 км (»! ( 400 км, формулы (45) — (47) дают правильный ответ с погрешностью порядка 108(.
Приведем пример: 9 ноября 1957 года перигей первого искусственного спутника находился на высоте 2!О км„ апогей — на высоте 810 км. Быстрота уменьшения периода обращения спутника составляла 2,94 секунды за сутки. Легко подсчитать, что а =- 6880 км, Т = 5610 сек. По формуле (47) получим 3 810 в 210 5610 о 8 6880 2 94 60 сУт. Итак, через 60 суток после 9 ноября, то есть примерно 8 января 1958 года, должно было прекратиться существова- Эти формулы и позволяют вычислить оставшийся срок жизни спутника, если, помимо обычно публикуемых сведений об орбите, известна еще быстрота уменьшения периода обращения спутника ( — г(Т!»1!).
Для спутников, чьи орбиты удовлетворяют требованиям: 1 31 ВлиЯние сОпРОтиВлениЯ АтмОсФеРы земли 299 ние спутника (в действительности спутник упал на Землю 4 января 1958 года). Отметим еще, что рассуждениями, весьма сходными с ранее приведенными, можно получить другую формулу, весьма удобную для грубых прикидок 18.191: если л„и йн — высоты апогея и перигея орбиты спутника, — г(й„гс(1— быстрота снижения апогея (за сутки), 5 — Оставшееся время существования спутника (в сутках), то 1 й„— л,-, 2 ( г(науа(г) (48) При тех же предположениях, что и выше, ответ, даваемый формулой (48), может, по-видимому, содержать погрешность порядка 25ега. Например, если сейчас для какого-нибудь спутника Ьч = 600 км, Ьп = 250 км и апогей снижается на 3,5 км в сутки, то оставшийся срок жизни спутника составляет примерно 600 †2 =50ср Задачи 1.
Период обращения первого советского спутника в начале октября 196? года состанлял около 96 агин н убывал примерно на 3 сгк за сутки. На сколько примерно убывала ежесуточно большан полуось орбиты? 2. По данным, опубликованным в печати, 9 ноября 1967 года ракета-носитель первого искусственного спутника имела перигей на высоте 210 ки, а апогей на высоте 696 клп Суточное уменьшение периода обращения составляло 6,3 сгк в сутки. Лайте прогноз вероятной даты падении этой ракеты на Землю. Сравните с точной датой падения ракеты. ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ ГЛЛВЛ 1 1.
Солнце притягивает Луну примерно вдвое сильнее, чем Земля. г. и = ( ( —,' + — „') . 1. Материальная точка (Р, М) притягивается сильнее к гантели, чем к материальной точке (О, 2т). 2. Пусть 2а — длина стержня, 6 — его линейная плотность, т— масса шарика Р. Примем за начало координат середину О стержня (рнс. 1.?). Пузть ОР =. ?? ) а. Подсчитаем потенциал с(и на тачку Р, который создает элемент стержня г(х: Ьг(х Аи=у„ Потенциал, создаваемый всем стержнем на точку Р, равен а г(х и = ~ )б, , = ?б ()п ()? + а) — )п ()? — а)). -а Такому потенциалу соответствует сила 1 2а Стержень притягивает точку (Р, т) с силой 2а Если бы мы всю массу М стержня сосредоточили в его середние О, то образовавшаяся материальная точка (О, М) притягивала бы шарик (Р, т) с силой ?Мгп 2)тба оз ?зз Ясно, что Р )Ф.
Итак, стержень АВ притягивает шарик (Р, т) сильнее, чем точка (О, М). Силу Р можно было бы, конечно, подсчитать непосредственно, ве прибегая к предварительному вычислению ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ Гл. 11 потенциала У: а )габгсг (Й вЂ” х)2 — а 3. Подсчет потенциала сферы радиуса )1, массы М и поверхностной плотности б на точку Р, находящуюся на расстоянии г от центра сферы, приводит к формуле 2пбР2 М и =- ( —, К, + г) — ~г — )1 ~) -: ) —,,„„((г + )1) — ~ г — Р ~).
Рассмотрим два случая: г ))1 и г ()1. М 1) г))1. Тогда (/=. 1 —. В точности таиой же потенциал на точ- Г ку Р создает материальная точка (О, М). Аэто значит, что сфера притягивает внешнюю точку (Р, 1) с такой же силой, с какой точку Р притягивает точка (О, М). М 2) г ()Т. Тогда (Г = 1 к- =- сопз1. Зто значит, что сфера совсем не притягивает точку (Р, 1), если последняя лежит внутри сферы (равнодействующая сил, с которыми частицы сферы притягивают точку (Р, 1), равна нулю). 4. Если точка Р лежит внутри сферы радиуса р (ОР = г а., р) и 1 определяется по формуле (1.2.3), то 2 сох т 2 — Йр =- —. р 2 Воспользовавшнсь этим равенством, можно показать, что У =- сопз1, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
