Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 41
Текст из файла (страница 41)
(15) 4 '1~ р,' !а ) (1 — е')а Для спутников Земли (при а( 0,1) га = 5 Я (5 соз' у — 1) градусут. (!6) Из формул (10), (12) видно, что сжатие планеты вызывает вращение восходящего узла орбиты в направлении, противоположном направлению вращения спутника. В течение небольших промежутков времени (в случае близких спутников Земли — до нескольких суток) это вращение можно считать равномерным.
Это вращение происходит тем быстрее, чем меньше наклон плоскости орбиты к плоскости экватора. Для спутника, проходящего через оба полюса планеты, восходящий узел, а вместе с ним и вся плоскость орбиты практически не вращаются вокруг оси планеты. Для спутников, близких к экваториальным, это вращение происходит наиболее быстро; для почти экваториального спутника Земли эта скорость может составить около 9 в сутки. Для первых советских спутников Земли плоскость орбиты вращалась вокруг оси Земли примерно со скоростью 4' в сутки. Формулы (!1) и (!5) показывают, что перицентр спутника, а вместе с ним и ось орбиты спутника враща!отся в плоскости орбиты практически равномерно.
Это вращение будет происходить в том же направлении, что и движение спутника, если 5 соэт у — 1 ) О, то есть у ( 63,4', и в противоположном направлении, если у ) 63,4'. При критическом значении у =- 63,4 перицентр практически вращаться не будет. Если т близко к 63,4' (для первых совет- Е! ВЛИЯНИЕ СП11ЮСИУТОСТИ ПЛАНЕТЫ НА Т1'АЕКТОРИЮ РЯЗ ских спутников Земли у = 65'), то перицентр будет пово- рачиваться медленно. Например, при 7 = 65' перицентр будет перемещаться против движения спутника со ско- ростью 0,4 за сутки. В случае спутников, у которых орбиты близки к плоскости экватора, величина ы может достигать 17" за сутки. В обратном направлении предельное возмож- ное значение ы составляет примерно — 4,5' за сутки (при т — 90'). Такая картина имела место, например, для амери- канского полярного спутника «Дискаверер-2» (7 = 89,9, р 1' Р, = 1,046, о1 = — 4,3 град1сут).
Из формул (10) и (11) видно, что чем больше среднее рас- стояние (а) спутника от центра планеты, тем меньше Ю т(1у и йо1аХ, то есть тем медленнее будут вращаться плоскость орбиты и большая полуось орбиты. Наличие в формулах (12) и (15) сомножителя (Р,!а)т показывает, что Й и ы быстро убывают прп увеличении среднего расстояния спут- ника от центра планеты. ! Если воспользоваться равенством а == Р + — (Н„+ Н.—.) и приближенной формулой (1 + х) ' = 1 — 3,5х, вер- ной для малых х, то для низколетящих спутников Земли можно из (14) и (16) получить такие формулы: 7 Н,+Н,1 Й = — 1011 — — ' — ' —" ) соз у град~су1п, 4 (! 7) о1=5 1 — — - — ' ) (5 соз'7 — 1) град/сут. 7 Н„+ Н„,Т 4 Р 1 Приведенные выше формулы (10) и (!1) показывают, что сжатие планеты приводит к значительным изменениям по 1ожения орбиты близкого спутника планеты; однако сжатие практически не сказьиается на форме и размерах арбитьс.
Что касается элементов орбиты у, р, е, т, то для выяснения скорости их изменения за каждый оборот необходимо воспользоваться более точными формулами для потенциала планеты; этого можно достигнуть, например, оставляя в формуле (!.3.5) еще один или несколько членов, кроме первых двух. Подробное исследование показывает, что наклонение орбиты претерпевает в некоторых случаях 284 ОТКЛОНЕНИЕ ОТ КЕПЛЕРОЕОЙ ТРЛЕКТОРИИ 1ГЛ. ГН! хоть и небольшие, но вполне заметные изменения; в частности, для второго советского искусственного спутника Земли Т уменьшалось в ноябре 1957 года ежесуточно примерно на 0,002'. Используя более точные формулы для потенциала планеты, можно такжедетальнее изучить изменение величин Й и ш.
Задачи 1. Орбита амерпкаиского спутипка Земли «Аваигард-)>, запущенного в марте !958 года, была иаклоиеиа к плоскости экватора под углом 34,3'. Его минимальная высота составляла 660 км, а макспмальизя — 3970 км. Аргумеит перигея в полдень !7 марта 19о8 года был разек 129'. Учитывая из факторов, возмущающих движение спутника, лишь сжатие Земли, дайте прогноз, каким примерио должен был оказаться аргумеит перигея !2 марта 1959 года.
2. Средняя высота спутника иад поверхностью Земли равна 500ки; орбита наклонена к плоскости экватора под углом в 45". Определите скорость вращеиия плоскости орбиты и скорость вращепия перигея. 3. Амерпкаиский спутник «Эксплорер-7> (1959) имел в октябре— поябре 1959 года следующие элемепты орбиты; а == 7200 км, е = 0,038, Т вЂ” 50,33'.
Подсчитайте, какими были (в средисм) в течение этого времеви 1) и га. 4. В течение первых двух месяцев после запуска второго советского путника !1957 год) его орбита имела следующие элементы: а Иэ — 1,13, в — — 0,09, у =- 65,3'. С какой угловой скоростью вращалась в тече и не этого времеви плоскость орбиты спутивка вокр)т земной оси? Какова была средняя угловая скорость вращения перигея орбиты? 3 3. ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ ЗЕМЛИ НА ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА 1.
Движение спутника Земли происходит в таких областях пространства, где плотность среды в миллиарды раз меньше плотности атмосферы у поверхности Земли. Так, например, плотность атмосферы на высоте 240 км меньше плотности атмосферы на уровне моря в 10'а раз, а на высоте 350 км — в 10" раз. Однако длительное торможение низко летящего спутника в разреженной атмосфере приводит к постоянно накапливающимся изменениям некоторых параметров его орбиты. Э 31 ВЛИЯПИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ ЗЕМЛИ 235 В этом параграфе мы изучим движение спутника под действием двух сил: притяжения сферической планеты и сопротивления атмосферы; сжатием планеты будем пренебрегать. Пусть спутник имеет массу т; пусть наибольшее из его сечений, перпендикулярных к направлению движения спутника (так называемое миделево сечение), имеет площадь э; скорость спутника обозначим через о, а плотность атмосферы — через р.
Тогда величина силы К, с которой атмосфера тормозит спутник, может быть вычислена по следующей формуле Ньютона: 1 Р =- — — с,эро' 2 (1) где с, — коэффициент аэродинамического сопротивления. Направление силы Д противоположно вектору скорости спутника.
Вызываемое силой тс ускорение имеет величину 1 э Ф =- — с,.— ро', 2 'т то есть Ф =- ---с, 1 Так как — роВ ' — --~~ =- — — с„— рою. т ~ о) 2 "т о=.ое,+се, (см. э 1), то 1 э Ф = — — с — рос„ 2 'т' Ф, = — — с„— рос„, Ф, =- О. (2) 1 Ф т х рЫ-- р У вЂ” УВ) ' а где р, = сопз(, а константы х, а, и, у, выбираются в зави- симости от диапазона высот спутника. Плотность атмосферы р меняется с изменением высоты у спутника: р = — р (у). В некоторых работах принимают следующую приближенную формулу для р (у): 28п ОТКЛОЫЕЫИЬ ОТ КЕПЛЕРОВОЙ ТРАЕКТОРИИ !ГЛ, ШИ (7) где ре'г 1+ 2есозО.т е(1 -г е соз 0)' р "К' 1 + 2В соз О -; ед (1+ ес050) р з1п 0)~ 1+ 2е соз О+ е' Х— 2Е (1+ е соз В) 6==с„— ', О=и — В!. !и Для того чтобы избежать решения этой громоздкой системы нелинейных дифференциальных уравнений, применяют метод усреднения, с которым мы уже столкнулись в предыдущем параграфе.
Для этого вычисляют средние изменения Лр, Ле, ЛВ! элементов р, е, ы за один полный оборот спутника, то есть прп изменении и от 0 до 2п: Вп Лр =- — б ') 1кр (р, и, В!, и)!(и, Ле =- — 61 рфс(и, Лы =-= — б!( рХ!(и. а (8) Из формул (2), (8.1.46) и (8.!.47) следует, что — „=- 0 и — ' = О, то есть ди з! = !), =- сопз1, у = у, = сопз(. (4) Таким образом, сопротивление атл!Осферы не приводит к изменению положения плоскости орбиты спутника. Если учесть формулы (2), (8.1.48) — (8.1.50), то можно формулы для р, е, В! привести к виду (8.11) — = — бр!р (р, е, В!, и), с(р (5) г(и г(е — = — брф (р, е, гз, и), г(и (6) ТКВ т(и --== — брХ(р, В.
и), $31 ВЛИЯНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ ЗЕМЛИ ВЗТ При вычислении же этих интегралов рассматривают величины р, е,го как постоянные, ибо они за один оборот мало изменяются. Можно показать, что при таких предположениях Лгв = О. Зто значит, что постоянно накапливающимися изменениями (вековыми возмущениями) величины ы допустимо в первом приближении пренебречь; иначе говоря, можно считать, что ы = ы, = сопз1. Вычислив при таком предположении величины Лр и Ле, мы найдем среднее изменение элементов р и е за один оборот спутника. Не задерживаясь на обстоятельном изложении новейших результатов, относящихся к влиянию атмосферы и других факторов на движение космического аппарата, рассмотрим здесь еще два любопытных частных результата (при их изложении мы не будем стремиться к большой строгости). 2.
«П а р а д о к с с п у т н и к а». В октябре 1957 года вместе с первым спутником была выведена на околоземную орбиту и его ракета-носитель. Вначале орбиты этих двух тел мало отличались друг от друга и были эллипсами малого эксцентриситета В = 0,05. Ракета-носитель, которая была значительно больше по размерам, чем спутник, испытывала и значительно большее торможение. Естественно возникает вопрос; какое из этих двух тел должно было двигаться медленнее — спутник или ракета-носитель? С первого взгляда ответ кажется очевидным: то тело, которое сильнее тормозится атмосферой, то есть ракета-носитель.
В действительности же этот ответ ошибочен! На самом деле ракета-носитель значительно опережала спутник и по количеству оборотов вокруг Земли, и по количеству пройденных километров. Приведенный ниже простой расчет (см. 18.211, (8.221) показывает, каким образом сказывается влияние сопротивления атмосферы на движение спутника, запущенного на круговую или почти круговую орбиту вокруг Земли. Пусть спутник Р (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
