Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 33
Текст из файла (страница 33)
15* ГЛАВА И! ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ з ц постлновкл злдлчи В ряде случаев рассмотренная в предыдущей главе приближенная методика мсжет привести к слишком грубым или даже ошибочным выводам потому, что мы полностью пренебрегаем в отдельных областях пространства влиянием всех тел кроме одного. Решение же задачи о движении нескольких тел при полном учете их взаимного притяжения приводит к слишком громоздким уравнениям. Однако при решении задач космонавтики и многих задач астрономии можно воспользоваться некоторыми упрощающими обстоятельствами: а) часто можно ограничиться рассмотрением системы, состоящей только из трех тел (например, Земля — Луна— ракета); б) масса одного из тел настолько ничтожна по сранвению с массами двух других тел, что можно полностью пренебречь теми ускорениями, которые приобретают два «больших» тела из-за притяжения к «малому» телу (как мы уже раныце заметили, это равносильно тому, что мы пренебрегаем силами, с которыми малое тело притягивает к себе большие тела, то есть рассматриваем малое тело как не- притягивающее); в) массу каждого нз трех тел можно считать сосредоточенной в его барицентре, так что вместо трех тел можно говорить о трех материальных точках.
При этих предположениях движение двух больших тел не зависит от движения малого тела и мы приходим к рассмотрению следую,цей задачи. Считая известным движение двух материальных точек («звезд») (Аь т,) и (А„т») относительно их барицентра, изучить движение третьей материальной точки («спутника) » М ОГРАНИЧЕННАЯ КРУГОВЛЯ ЗАДЛЧЛ ТРЕХ ТЕЛ 229 (р, т) при условии, что ее притягивает каждая из двух звезд, но она сама нп одну из этих звезд не притягивает*). Эта задача носит название ограниченной задачи трех тел («ограниченная» — ибо на массу одного из тел — спутника — наложено ограничение: она предполагается непритягивающей). Иногда притягивающие материальные точки называют активно гравитирующими, а непритягивающую точку— пассивно гравитирующей. Ограниченную задачу трех тел впервые рассматривал Л, Эйлер в связи с теорией движения Луны (1772 год). В прошлом столетии эту задачу пзучзли немецкий математик К.
Г. Якоби, американский астроном Дж. В. Хилл, французский математик А. Пуанкаре, русский математик А. М. Ляпунов и др. Хилл применил эту задачу к построению своей теории движения Луны. Большое внимание привлекла эта задача в ХХ веке (работы Т. Леви-Чивиты, Дж. Биркгофа, Н. Д. Моисеева, Г. Н. Дубошина н др.). Один из наиболее простых вариантов ограниченной задачи трех тел возникает при следующих дополнительных условиях: а) меньшая звезда движется вокруг большей по окружности; б) в инерциальном пространстве спутник и обе звезды движутся в одной и той же плоскости.
Этот вариант ограниченной задачи трех тел называется ограниченной плоской круговой задачей трех тел. К этой задаче сводится, например, изучение движения космической ракеты под воздействием Земли и Солнца в случае, когда орбита ракеты находится в плоскости эклиптики. а 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ кРуГОВОЙ здддчи тРех тел 1. Пусть две активно гравитирующие материальные точки (Л„т,) и (Ла, т,) движутся относительно нх бари- центра С по окружностям. Нас интересует движение пассивно гравитпрующей материальной точки (р, т) *) Термины <звезда» и <спутника (системы двух притягивающих нентров) употребляются здесь условно, исключительно ради краткости.
230 !!г!'!пп'!еп!!Ая зхдлчл т!'ех тел !Г!!. е!! «спутника!) в гравитационном поле, создаваемом этими двумя «звездами». Выберем правоориентироваину!о прямоугольпу!о систему координат СХУ'/ (рис. 7.1) с началом в барицентре С двух звезд (Л„п!!) и (Л!, !п~) н с осями, постоянно ориентированными в пространстве. При этом ось абсцисс СХ изберем таким образом, Ь~ чтобы она совпала с осью СА, в какой-то начальный момент времени (1 == О); за плоскость СХК примем плоскость, ~2 =.-.-. У, у в которой движутся материальные точки А, (А„!п!) и (Л,, гпе) относительно их барицентра; положительное направление осн аппликат СЕ выберем таким образом, Рис. 7.1. чтобы из каждой точ- ки положительного луча этой оси движение точек А, и А, относительно их барицентра было видно проходягцим против часовой стрелки. Введем обозначения: СА, === Р„САа = А'м СР = К, Л~Р = р!, А,Р = р,, а = АеА,, М=т,+гп,, р=тЯ. (2) Так как С вЂ” барпцентр точек (А,, т>) и (Аги л!!), то гпЯ, =- = т,Яа Кроме того, й!, + Ра = а.
Отсюда следует, что Д! = Ра, Дз = (! — р) а. (3) Силы Р, и Р,, с которыми звезды (А,, т!) и (А.„п!.,) прнтягпвгпот точку (Р, т), раппы соответственно )т!и! (Д! — тс)!р:,' и 7п!!и! (тха — 1с)1оз (4) 1 огплпи'!!'и!!ля к!'утопли злдю!л т! ск '!сл з31 Согласно второму закону Ньютона гРИ т —,— =. Р,+Р., д!' откуда уи,, 7н!,, — —.. (Ю! — Й) -! — —. (К вЂ” Я). дг р ра (5) (б) Я = Х/ + )',l + ЛК. Положим (7) Понятно, что Это и есть дифференциальное уравиещ!е движения точки (Р, и!) в инерш!а. ьчой системе СХ)'Е 2. Известный немецкий математик К.
Г. 51коби еще в 1834 году заметил, что цепную информацию о движении спутника (Р, л!) можно получить, если перейти к другой системе о!счета, а пмсшю, к систем отсчета, вращающсися вокруг оси СЯ вместе с осью АзА с Выберем иов)ю (уже пеинерциальную) правоорпентироваиную систему отсчета Схут. Пусть осью абсцисс Сх в каждый момент времени (пе только при 1 =- О!) служит ось СА,, плоскость Сх!! совпадает с плоскостью СХУ', а ось Сг— с осью СЛ. Обозначим через гв угловую скорость, с которой звезды А, и А, обраща!отса вокруг их барицентра. Таким образом, новая система координат вращается вокрут оси СЛ с угловой скоростью о.
В этом параграфе мы выведем дифференциальные уравнения движения спутника Р во враи1аюи1ейся системе отсчета Схуа. Предварительно установим одно вспомогательное тождество. Обозначим единичные векторы осей системы координат СХ1'2 через 1, l, К соответственно, а системы координат Схуг — через 1, 7', 7г. Пусть координаты точки Р в этих системах отсчета соответственно равны Х, 1', Е и х, у, г. Тогда !Гл. Тн ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ гзв Ускорение точки Р относительно системы отсчета СХУЛ определяется по формуле 4 = Х1+ Ю+2К, (8) а скорость и ускорение той же точки Р относительно системы отсчета Схуг — по аналогичным формулам « = х! + у/+ гй, « = х1 + у/+ гй. (9) Выразим тс через «, «, «и а. Нетрудно убедиться в том, что Х = хсозьз( — уз)НЫ, У= — хз)по>!+усозез(, Я = г (10) и .т = Аз!пЫ+ гсозыг, К = и).
(1 1) 1 =1созМ вЂ” у 5!по>1, Если, пользуясь формулами (10), вычислить Х, у',7. и подставить полученные выражения вместе с величинами 1, У, К в формулу (8), то после упрощений получим: Я = х~ + у/ + ей + 2ы ( — ут' + х/) — оР (х1+ у/). (12) Введем в рассмотрение (как это часто делается в механике) вектор угловой скорости г» по формуле Тогда, воспользовавшись тождеством а Х (Ь Х е) = = Ь (а с) — е (а д), равенство (12) можно переписать так: тс = «+ 2 (м х «) + ы х (ат х «). (13) Это и есть искомое вспомогательное тождество. 3. Перейдем теперь к выводу уравнения движения спутника Р во вращающейся системе отсчета Схуг. Пусть звезды А, и А, имеют в системе отсчета СХУ'х координаты (Х,, 1'н 0) и (Х„1'„0).
В системе отсчета Схуг они имеют координаты (х,, О, 0) и (х, О, 0), где х, -- (1 — (А)а и х, =- — )Аа. Ясно, что Р, = Х,( + 1',1, Д, =- Х,! + 1',У. Положим Тогда »з = хзм «, =- хл1, САл = Лл = »„СА, =. Р, = «,, (14) Воспользовавшись равенствами (14) и (13), из уравнения (5) получим соотношение: + — (», — ») + ~т, рз + —,' (», — «), (15) » =- — 2 (ьзх«) — ьзх(ьзх«) где рз = ! «А — «! = Р' (хл — х)' + у' + г', й = 1, 2. Уравнение (15) и есть еехторное дифференциальное урав- нение движения спутника Р во вращающейся системе координат. Другую запись того же уравнения получим, если воспользуемся равенством (12) » = 2зз(уз' — х/) -1- ззз (х1 + у/) + — -(»,— ») + ~т, рз + —,-(», — ») (!6) ~тз рз Последнее векторное уравнение равносильно системе из трех скалярных уравнений второго порядка: — —;-(,— л), 1тз Я х = 2ззу + зззх + —, - (хл — л') + рз ~т, 7"тз у = — 2ьзх+ ызу — — у — —, (,з рз (17) 7т, ~т, — — г — —,— 7, рз рз При конкретных числовых значениях величин т„т, и для небольших промежутков времени можно решить эту з 2! ОГРАНИЧЕННАЯ КРУГОВАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ 333 огп гпп'!си!! !я .! гдл'! ! !гсх 1~:., ! [! Л.
! г! 'гз систему приближенно, если привлечь хорошо разработанные в современной математике методы численного интегрирования дифференциальных уравнений и воспользоваться быстродействующими вычпслитсльнымп машинами. Таким образом, можно предвьщислить траекторию полста космического аппарата па тех участках, где необходимо у пгтывать его тяготсгшс к дв!гхг небесным телам (например, вблизи границы сферы действия одного из этих тел). 4. В теоретических исследованиях для упрощения выкладок часто пользуются следугощей системой канонических единиц: за единицу массы принимают сумму масс двух притягивающих центров (т, ! пг.,:.— 1); за единицу расстояния — расстояние между притягивающими цептрамн А,Аг (и .
А,Аг —. !); за сдппшгу времени — то время, которос потрсбгустся точке Л, для огшсапия вокруг Аг дуги в 1 ра;Пгап (в инерциальной системс отсчета). В этап системс сщгпнц перво!! Т обращсгшя точки А, вокруг Аг составляет 2п единиц. 11о по формуле (2.9.10) а' 'Тг )' (т, -; пгг) 4лг. Прп а =- 1, 7' == 2п, т, + т, = — 1 получим, что 7' -= 1. Итак, в канонической с!ге!пеле едггнгггг )' - - 1. В канонической системс единиц можно в уоавнсппях (17) и! заменить пар, тг — на 1 — и, )г — на 1, вг — на 1: х- 2у+ хф.- — (х,— х); - (хг — х), ! г р 1 — -р гг-:. — 2х+у — — гу —; — у, (18) 1 — р гл оя ' г Полагая в уравнениях (!7), (18) а —.= О, получим дифференциальные уравнения движения спутника в ограниченной плоской круговой задаче трех тел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
