Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Зту теорему обобщил на задачу и тел, а затем уточнил французский математик П. Пенлеве. Теорема Пенлеве гласит: Каждый интеграл задачи и тел, в которой входят алгебраически (декартовьс) компоненты скоростей гравитируюи(их точек (координаты могут входить любым образин, алгебраически или неалгебраически), является следствием известных десяти классических интегралов. 7.
Мы видели, что задача трех тел сводится к решеншо системы трех векторных дифференциальных уравнений второго порядка, а следовательно, девяти скалярных уравнений второго порядка. В теории дифференциальных уравнений устанавливается, что знание каждого нового первого интеграла (в скалярной форме) позволяет понизить порядок системы на единицу. Знание десяти первых интегралов задачи трех тел позволяет свести ее к системе восьмого порядка (18 в !О). Особенности структуры самих уравнений задачи трех тел позволяют свести ее решение к системе шестого порядка (и еще двум квадратурам). Аналогично решение задачи п тел сводится к решению системы порядка бп. Но знание ее десяти первых интегралов и особенности структуры уравнений позволяют свести ее к системе порядка бп — 12. 17 м. в, ек„ ~гл, т атз 3АдАчА л твл 8.
В настоящее время разработаны достаточно мощные методы приближенного решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В частности, и систему дифференциальных уравнений задачи трех тел можно решить приближенно для любого заданного конечного промежутка времени. При этом с увеличением промежутка времени значительно возрастает объем вычислительной работы. Задавшись начальными данными (координатами и компонентами скоростей трех гравитирующих точек (Аь т,), (А„т,), (А,, т,)1, мы можем после некоторой серии арифметических оычислепий найти координаты каждой из этих точек через впределенные (малые) промежутки времени. Для другого набора начальных данных требуется, вообще говоря, весь расчет произвести заново.
$4. ДВИЖЕНИЕ П МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК ОТНОСИТЕЛЬНО ИХ БАРИЦЕНТРА 1. Дифференциальные уравнения задачи и первые интегралы. Под движением системы точек относительно некоторой точки С мы понимаем ее движение относительно прямоугольной системы координат СХУ2 с началом в точке С и осями, сохраняющими неизменные направления в пространстве. Возьмем в качестве точки С барицентр (центр масс) материальных точек (А„т,), (А,, т,),..., (Ал, т„). Наряду с системой отсчета СХУл рассмотрим инерциальную систему отсчета О',51ЧА пусть соответствующие координатные оси этих систем одинаково направлены.
Введем обозначения: ОА„.=- р., СА. = 14., ОС = рс, А.А = лс„ (т, э = 1, 2,..., и). Ясно, что Р = Рс + 15' (1) В системе отсчета 0$Ч~ имеет место второй закон Ньютона. Поэтому т„р,=Р„, т= 1,2,...,и, (2) где (3) 2 11 движение и тОчек ОтнОсительно ЕАРицентРА !79 Но Ри — Р. -- (Рс 1 Р ) — (Рс+ И,) =- Ю, — Ю„ следовательно, и ~2, 2 (4~1 — Ю 2 — 1 ~ 5 (4) В силу равенства (1) Р.
=- Рс + Я. (5) Из интеграла движения барицентра системы (5.3.8) сле- дует, что Рс =- О. Поэтому Р„= Д, и, следовательно, фор- мулы (2) принимают вид тЯ,--Р„, т=!,2,...,п. (6) (здесь $2, =- Я„), п ~ т.,!с, =- а 1Г + Ь1, =1 и ~ т,(!х, х Ф'„) =- о„ и.Н )А2 (г (8) (9) (1О) 2г* Итак, движение п рассматриваемых точек в системе отсчета СХУ2 описывается системой п дифференциальных уравнений (6), где функции Г,определяются формулой (4). Но формулы (6) и (4) могут быть формально получены соответственно из формул (5.3.1) и (5.3.2), если в последних попросту заменить букву р с индексами буквой Я с теми же индексами.
Поэтому если в каком-либо логическом следствии из формул (5.3.1) и (5.3.2) формально заменим р на Д, то получим логическое следствие из формул (6) и (4). В частности, в системе отсчета СХУ'Х имеют место зависимости, аналогичные соотношениям (6) — (10) из 9 3 (но с другими константами, чем в системе отсчета 09Ч9): ~; тХ,==-а, (7) <ао <гл т зхдхчл ч тел где и — скалярная константа, а„<г„а1 — постоянные векторы, а 2 (/ ~ )! (1О') 1 1 Величины — У, т,Я„и — У т„У, представляют собой ».=1 »=! радиус-вектор и скорость барицентра рассматриваемой системы точек, то есть точки С. Но при нашем специальном выборе системы координат точка С все время остается началом координат, так что оба эти вектора неизменно равны нулю: л ~" „<пК„=- О, -1 (11) » ~~ т„У„=- О.
(12) Рис. 5.З 2. Движение двух материальных точек о т н о с и т е л ь н о и х б а р и ц е н т р а (рнс. 5.3). Пусть точка С вЂ” барицентр двух материальных точек (А,, <п1) и (А» и»). Плоскость, в которой происходит движение одной пз двух точек относительно другой, примем за плоскость ХСУ. Дифференциальные уравнения движения этих точек (см. (6) и (4)1 примут вид — = ~-2;-(К вЂ” И), — = ~- -(Я1 — К). (~З) «»тг1 т, Л2 П1! 1<<2 122 2 1 1<<2 )т» 2 !2 12 Формула (11) запишется так: п<1)с1+ тЯ2 == О.
(14) Она выражает тот известный факт, что барицентр двух материальных точек лежит на отрезке, соснина!ощем эти точки, и его расстояния от этих точек обратно пропорциональны их массам (2правило рычага Лрхимеда»). «4! ДВИЖЕНИЕ Е ТОЧЕК ОТИОСИТЕЛЬИО БЛРИЦЕИТРА 181 Формула (12) дает т»У4+ т»У» = О, (15) откуда, в частности, вытекает, что У,:т»=У»:ти (16) то есть угловые скорости точек А, и А, в каждый момент времени равны между собой. Интегралы энергии и площадей запишутся так: — (т,У,+т»У»)=~ +Ь 1 2 А»» (17) и т4 Я, Х У,) + т» Я» Х У,) =- а.
(18) Последнее уравнение перепишем в скалярной форме. Вектор Я, х У, направлен перпендикулярно к плоскости СХУ и равен удвоенной секториальной скорости точки А, относительно барицентра С: Д,ХУ»= 2 — й, 4ЬЗ, Й а вектор 1с» м У, равен удвоенной секториальиой скорости точки А, и тоже направлен перпендикулярно к плоскости СХУ; 1«» Х У,= 2 — 'Т«. Ю, Формула (15) — это «правило рычага для скоростей». Она показывает, что ири движении двух материальных точек относительно барицентра векторы их скоростей в каждый момент параллельны и противоположно направлены.
По величине скорости материальных точек обратно пропорциональны их массам, так что «более тяжелая» материальная точка движется (относительно барицентра) с меньшей линейной скоростью. Из (2) следует, что тт)с,= т»1«». Поэтому У, У» 1~, 4» ' !гл. 3АдАчА л тел Но в таком случае и вектор о направлен перпендикулярно к плоскости СХУ'. Пусть а = б?2; тогда получим — (т — '+ т — 2-] = — где т = т + т, откуда т( 1Ш ' сУ] 2т' 1 2 1 б — (т?л1+ т2о2) = — (г — ~2). т 2т (19) т, т,+ и, Л = — — Ю1, Я2 — Р т 2 и Я1 2 и,+т, ]212 ~ 22 ?21] 1~1' 2 Поэтому !см. (13)] ~212 тз 2?22 ?(Р (и + т,)'122 (20) или где т2 (и, + и,)' (21) В последнем равенстве 81 и 82 — площади секторов, заметенных радиусами-векторами СА, и СА, за время, протекшее от момента 12 до момента 1. Число — (т?31 т т252) называется средним значением ??? или взвешенным средним этих площадей.
Таким образом, согласноформуле (!9), среднее значение — т — 2 площадей, заметенных радиусами-векторами СА, и СА, двух взаимно гравитирующих материальных точек (А,, т,) и (А„т,), пропорционально времени, в течение которого эти площади были заметены. Это — новый вариант второго закона Кеплера. Формула (14) позволяет найти орбиты, которые будут описаны материальными точками А, и А, относительно их барицентра С. Действительно, из (14) следует, что з ы дВижение и тОчек ОтнОсительно БАРицентРА газ В главе 11 мы уже встречались с уравнениями вида (22) и убедились, что если движение точки определяется уравнением вида (22), то траектория точки — коническое сечение с фокусом в начале координат.
Итак, материальная точка (А,, т,) будет двигаться относительно барицентра С так, как если бы она была не- притягивающим спупгникам воображаемой звезды, помещенной в бариг1ентре С и имеющей гравитационный параметр гггз ~ (тг + тз)з (23) Формула есз = — — лег показывает, что орбиты точекА, пгг и А, относительно их барицентра гомотетичны (центрально подобны) и коэффициент подобия равен — тггтз. Поэтому, зная орбиту одной из этих точек, легко найти орбиту другой. Выясним связь между орбитой Г точки А, относительно точки Аз и орбитой т точки А, относительно барицент- раС. Вместе с точкой А, обращается вокруг точки А, и точка С.
Введем обозначения: А,х — ось апсид орбиты Г, А,А, = е,,г хА,А, = 9, Тогда уравнение орбиты Г можно будет записать в виде г= р 1 + В соз 9 ПОДСЧИтаЕМ ТЕПЕРЬ )гг И )Тз. МЫ ИМЕЕМ: т,, пг,+т, г == Из + Яг — — Иг -, 'Рг =- т, ' т, Аналогично будет двигаться и точка Аз, но в отношении ее следует полагать, что фиктивная звезда, которая помещена в барицентре С, имеет уже другой гравитационный параметр, а именно гггз (24) !гл и. злдлчл ч тнл откуда т2 А',= г. т, + т, (25) Поэтому =1+ е'соз О где т, т,+ т, ' ' (26) Аналогично можно показать, что А2 1 -1- е соз б ' где т, т+т (2Л Таким образом, р,: р,: р = те:т,:(т, + т,). (28) Эксцентриситеты же у всех трех орбит одинаковы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
