Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 25
Текст из файла (страница 25)
3. При движении системы меняются положения точек и их скорости. Однако из системы (10) можно найти несколько таких функций от координат и скоростей трех материальных точек, которые остаются в течение всего движения неизменными, инвариантными. Они имеют вид Ф (1, р» р„рь, р» р„р,) = С = сопз1.
(13) Зависимости вида (13) называют первыми интегралами системы (10). Записывая эти зависимости в координатном виде, получим первые интегралы системы (12): 1 (г~ Я» Ч» ~» ° ° ° 1ьб й» Ч» ° ° ° > (ь) = С = сопз1 (!4) Обозначим через Р, и Г, равнодействующие сил, действующих соответственно на точки А, и А,. Для точек А, и Аь можно, разумеется, провести такие же рассуждения, как для точки А» и получить аналогичные формулы. Таким образом, движение системы трех гравитирующих материальных точен (А» т,), (А„т,), (Аь, т ) определяется в инерциальной системе отсчета системой трех векторных дифференциальных уравнений интегаллы злдлчи твех твл а з.
интеГРАлы 3АДАчи трех теЛ 1. Интегралы движения барицентра с и с т е м ы. В предыдущем параграфе мы обозначили через Р„силу, с которой точка (А„, т„) притягивает точку (А„т,). Из третьего закона динамики следует, что Уравнение движения точки (А„т,) можно записать в виде тзр1 = Рм + Рм. (2) Аналогично для двух других точек (А„т,), (Аз, т,) т,Р, = Раз+ Рин тзрз = Рзз+ Рзз (4) Складывая эти равенства почленно и учитывая (1), найдем: тзр1+ тзрз+ тзрз =- 0. Дважды интегрируя это уравнение, получим: т,р, + тзрз + т,р, =- а, т,р, + т,р, + тзрз — — а(+ Ь, (5) (6) т = т1+ тз + тз. (7) Тогда 1 р (т1Р1 + тзрз + тзрз)' (8) где а и Ь вЂ” постоянные векторы.
Формулы (5) и (6) представляют собой первые интегралы системы (5.1.10). Пусть С вЂ” барицентр (центр масс, центр тяжести) системы трех материальных точек (А1 т1) (Аз тз) (Аз тз) рс — радиус-вектор этой точки, то есть ОС, т — масса всей системы: [гл, т 3АдАчА и тел 172 Поэтому равенства (5) и (6) могут быть записаны в виде (9) ! р (а!+ Ь) (10) ибо векторы р, — р, и Р»з коллинеарны. Аналогичные рассуждения показывают, что и два других выражения в скобках правой части равенства (11) равны нулю. Итак, т, (Р» Х Рз) + 'пз (Рз Х Рз) + тз (Рз Х Рз) — О. Это равенство можно записать следующим образом: — (т,(р, х р,) + т,(р, х р,)+т, (р, х р,)) = О.
Ы Отсюда т, (Р,Х Р») + тз (Рз Х Рз) + тз (РзХ Рз) =- о, (12) или ~, 'т„(р„х р„) = а, (13) »=1 где о — постоянный вектор. Формулы (9) и (10) (а значит, и равносильные им равенства (5) и (6)) выражают тот факт, что барицентр системы движется в инерциальном пространстве равномерно и прямолинейно. Вектор Ь определяет начальное положение бари- центра, а вектор а — его скорость.
Равенства (5) и (6) носят название «интегралов движения барицентра системы». 2. Интегралы площадей. Умножая равенства (2), (3) и (4) векторно слева соответственно на р,, р, и р, и складывая их почленно, получим: тз (Рз Х Р») + тз (Рз Х Рз) + тз (Рз Х Рз) =- = (Рз Х з'з» + Рз Х 1 и) + (Рз Х т'зз + Рз Х л'зз) + + (Рз х т«»з + Р» х т'з») (11) Но Рз» =- — Р«з, так что Р, Х Рз»+ Рз Х Рзз = — Р, Х Р»з+ Рз Х Р'»з= =- (Рз — Рз) Х Р«з = О, $73 ИНТЕГРАЛЫ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ 3 23 Рис.
5.2 Пусть точки А„А„А, описывают в пространстве линии 1о 1„Гз. Проекции „„В, этих точек на плоскость Произведение массы т материальной точки (А, т) на векторное произведение радиуса-вектора р точки А (относительно некоторого начала отсчета О) и скорости р этой точки называют в механике кинетическим моментом точки (А, т) относительно точки О. Кинетический момент — это вектор. По абсолютной величине кинетический момент точки равен произведению массы т на абсолютную величину ее скорости о (о = р) и на расстояние ОО от точки О до прямой, на которой лежит вектор скорости (рис. 5.2).
Под зз кинетическим моментом системы нескольких материальных точек понимают l сумму кинетических мо- I ментов всех точек системы. У Формула (12) показы- У вает, что кинетический момент системы трех граеитирующих точек остается неизменным. Эту формулу можно было бы назвать интегралом сохранения кинетического моменп1а.
ПУсть о = о,з + озз+ о,й. ПеРеходЯ в фоРмУле (12) к записи в координатах, получим 11й 1~й( 11й 271Ч1гз1 + Н12 ЗззЧ212 ~+ тз ЗЕЗЧзгтз = ОТЗ + М + Озй. $1Ч111 $2Ч212 $2Ч212 Отсюда получаем три скалярных интеграла движения: т (ЧТЕТ вЂ” ь Ч ) + тз(Ч ь — ь Чз) + т (Чзь — ~1111)=о (14) т, (ьзэ1 — $1ь1) + т, (ьДз — $зьз) + тз (ьзэз — $зьз) = ом (15) 1 (з1Ч1 ЧТЕ1) + аз, (ьзчз — Чзвз) + тз (ьзЧз Чзьз) = з (16) [гл. ч зьдлчь п тел 474 ВОз! опишут линии т„т„т,. Эти проекции В„В,, Вз имеют относительно О определенные секториальные скорости йБгй1, йБз!й1, йЗ ~й.
Можно показать, что $,з) — з)Д =- 2 „', т = 1, 2, 3. сБ, (17) Под средней секториальной скоростью (или взвешенным средним секториальных скоростей) точек „„В, понимают величину (18) (здесь т = т, + т, + т,). Формула (16) показывает, что средняя секториальная скорость проекций точек А„А,, А, на плоскость "ОЧ остается постоянной. Аналогично обстоит дело с проекциями средней секториальной скорости на любую другую плоскость. Отсюда полученные первые интегралы движения (12) и (14) — (16) определяют изменение площадей, описываемых проекциями радиусов-векторов точек А„А, и А,.
Поэтому эти интегралы называют интегралами площадей. 3. Интеграл энергии. Умножим уравнения движения (5.1.! 0) тзРз = е'ь тз Рз = гз тз Рз = е'з почленно скалярно на Р,, Р„Р, и сложим. Тогда получим тзры Рз + тзРз'Рз + тзРз'Рз = Вз'Рз + Вз'Рз + Вз'Рз. При помощи формул (1) и (11) из 9 1 отсюда находим — — (тзР + тзРз+ тзР,) = д(у й$, дУ йз), дУ й~, ~Ш + з д5, йе дз), й! ''' д~, йе сУ где Π— определяется формулой (5.1.6). Отсюда, интегрируя, имеем: — (т,Р, + т,Р, +т,р',) = и + й, 1 (19) где Ь вЂ” константа. Левая часть равенства (!9) — кинетическая энергия системы. Формула (19) дает выражение кинетической энергии через силовую функцию (?. Равенство (19) называют интегралом энергии (или интегралом живых сил).
а 3. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЪ| ЗАДАЧИ 11 ГРАВИТИРУЮ|ЦИХ ТОЧЕК В ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА Результаты, полученные выше для случая трех гравитирующих точек, переносятся тривиальным образом на случай любого числа гравитирующих точек. Поэтому мы ограничимся лишь формулировкой основных результатов для этого более общего случая. 1. Пусть 0$ЧЪ вЂ” инерциальная система отсчета; ((А„, т„)), У = 1, 2,..., и,— система и гравитирующих материальных точек, р„= ОА.— радиус вектор-точки А„.
Движение этих точек описывается системой и векторных дифференциальных уравнений второго порядка т„—," =- Г „у = 1, 2,,..., п, г(ЗР (1) где т„т, ~" = 1~2~ р2 (Р Р„) 2=1 (2) Здесь р„— расстояние между точками А, и А,. 2. Функция называется силовой функцией системы п точек. С ее по- мощью можно г', записать так: 1о„= — 1 + — ? + В. д(1' д(1' д(? д$„дц. дь, (4) 12| ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ЗАДАЧИ и ТОЧЕК 1?5 3АдАчА О твл [гл. у 176 ~ т„р„=а, ч=1 (6) У т.р,=ау+ Ь =1 (7) (а и Ь вЂ” постоянные векторы); эти интегралы можно пере- писать так: 1 1 р = — а, р =- — (аг+ Ь), с т с т (8) где рс — радиус-вектор барицентра С системы, а т — суммарная масса системы; б) интеграл площадей ~' т„(р„Х р,) = а; =1 (9) в) интеграл энергии (10) Значения констант а, Ь, а, Ь могут быть найдены, если известны координаты и скорости точек А, в произвольный («начальныйя) момент времени 1,.
5. Каждая из трех векторных зависимостей (6), (7), (9) может быть заменена тремя скалярными равенствами. Всего, таким образом, мы получим для системы (5) десять первых интегралов. 3. Систему п векторных уравнений (1) можно заменить системой Зл скалярных уравнений гР~. дУ гРЧ, д(l сР~„дУ ЙР д$„' ЙР дц„' й' д~„' (5) 4. Из системы (1) вытекают следующие зависимости (первые интегралы): а) интегралы движения барицентра системы в з1 ОснОВные ФОРмулы ЗАДАчи и точек 177 6.
Десять первых интегралов системы, о которых мы го. варили выше, известны уже более двухсот лет. Несмотря на многочисленные попытки, в течение этого времени не удалось найти ни одного нового первого интеграла, не являющегося логическим следствием нз предыдущих. Неудачи этих попыток оказались не случайными, ибо в конце Х1Х и начале ХХ века было показано, что если новые интегралы и существуют, то они должны быть весьма сложной структуры.
В 1887 году немецкий астроном и математик Г. Брунс доказал следующую теорему: Если между декартовыми координатами и компонентал1и скоростей трех взаимно гравитирующих материальных точек существует алгебраическая зависимость, то она обязательно является следствием из известных десяти первых интегралов задачи трех тел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
