Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(24) 129 ФОРМУЛА ЛАМВЕРТА Таблица 1 Какие числа следует подставить в Формулу Ламоерта вместо Возможные случаиг сегмент 5 Чергеж л, хт не содержит ни А, ни Р ! содержит и Аг и с Ру содержит только А, но не Р Ру / содержит только с", но не А Знак плюс берется, если так называемая «угловая дальность» между точками Р, н Р, (то есть разность 9в — От между нх истинными аномалиями) больше !80', минус— если зта величина меньше 180'. Формула Ньютона — Эйлера может быть получена нз формулы Ламберта путем предельного перехода, когда а- о . 9 М.
В. Валк ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ПЕРЕЛЕТА 1ГЛ. Н! Задачи 1. Космическая ракета совершает перелет с орбиты Земли к орбите Марса (С вЂ” начало перелета, 0 — конец; см. рис, 3.5), притом на таких расстояниях от Земли и Марса, что можно пренебречь притяжением этих планет и учитывать только тяготение ракеты к Солнцу. Расстояния перигелия и афелия орбиты от (центра) Солнца равны соответственно 120-10' км и 240 10а км. Известно, что ЗС =.
!50 1Оа км, 3!? =- 228 10а км. Сколько времени должен занять этот перелет? ь!' Рис. 3.5. 2. Космический снаряд получил в точке С вблизи орбиты Земли на расстоянии !50.10з км от центра Солнца скорость (относительно Солнца) 50 км!сек, Через некоторое время он достигнет орбиты Юпитера (окажется в точке !? на расстоянии 800-10з км от Солнца), причем „/ С/!Р =- 90'. Сколько времени должен занять этот перелет? Налет совершается в таких условиях, что можно учитывать лишь тяготение снаряда к Солнцу. 3.
Космолет совершает перелет с орбиты Земли к орбите Марса. В точке С на земной орбите скорость космолета относительно Солнца составляла 42,1 км!сек. Точка О, через которую должен пройти космолет и которая находится на орбите Марса, выбирается таким образам, чтобы /' СЮ =- 60". Условия перелета таковы, что можно пренебречь тяготением Земли и Марса. Сколько времени должен занять такой перелет? 4. Выведите формулу Ньютона — Эйлера (24), используя формулы параболического движения. ГЛАВА 1Н ТРАЕКТОРИЯ СПУТНИКА В ТРЕХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 4 Е ЭЛЕМЕНТЫ ОРБИТЫ 1. В предыдущей главе нас интересовало, как будет меняться с течением времени положение спутника в плоскости его орбиты.
Для этой цели в плоскости орбиты выбиралась определенная система координат (например, полярная система координат с полюсом в притягивающем центре А и с полярной осью АП, направленной в перицентр орбиты П, или прямоугольная система координат с началом в притягивающем центре и с осью абсциссАП). В такой системе отсчета мы научились находить положение (координаты) спутника в любой момент времени.
Однако на практике часто возникает необходимость рассматривать движение спутника в других системах отсчета, для которых плоскость орбиты не является координатной плоскостью. Например, при исследовании движения искусственных спутников Земли обычно за одну из координатных плоскостей принимают плоскость земного экватора; при изучении движения межпланетных космических кораблей выбирают в качестве одной из координатных плоскостей плоскость эклиптики (плоскость, в которой Земля движется вокруг Солнца).
Пусть выбрана некоторая прямоугольная правоориентиРованная система отсчета Ахуг с началом в притягивающем центре А и осями, имеющими неизменную ориентацию в пространстве (рис. 4.1). Орты (единичные векторы) осей Ах, Ау, А г обозначим соответственно через г',,г', Ф. Для простоты будем полагать, что орбита спутника не прямолинейная и не круговая. Нас сейчас интересует: каким образом можно предсказать положение спутника (то есть его координаты 9» 432 тРАектОРия В тРехмеРнОм пРОстРАнстВе 1ГЛ. гу в избранной системе отсчета) в любой наперед заданный момент времени 12 Движение спутника описывается тремя дифференциальными уравнениями второго порядка (2.1.9) е).
Порядок этой системы равен шести. Известно, что из такой системы искомые величины (х, у, г) выражаются в виде функций от независимого переменного т и шести произвольных постоянных. Следовательно, движение спутника полностью определяется заданием шести констант. Выбор этих шести констант может быть выполнен различными способами. Рис. 4Л.
Движение спутника полностью определяется положением плоскости его орбиты в пространстве (то есть положением этой плоскости относительно выбранной системы координат); формой и размерами орбиты; положением орбиты в плоскости движения; моментом прохождения спутника через его перицентр (или через какую-либо другую, вполне определенную точку орбиты).
Чтобы иметь всю информацию о положении и форме орбиты, достаточно знать лишь две векторные константы: векторную константу плошадей а и вектор Лапласа 1. Действительно, в Э 3 главы 11 было показано, что вектор а ортогонален плоскости орбиты; поэтому вектор ч определяет положение этой плоскости. Если вектор а имеет *) Гравитационный параметр К считаем известным. ЭЛЕМЕНТЫ ОРБИТЫ 1зз з ы компоненты а„ а„ а„ то уравнение этой плоскости записывается в виде о,х + о,у + озг = О. (1) Фокальный параметр р и эксцентриситет орбиты е можно вычислить по формулам из 3 5 главы 11: р = оз,'К, е = Л,'К, (2) где о и Л вЂ” длины векторов а и Л. Вектор Л направлен вдоль линии апсид орбиты; таким образом, этот вектор определяет положение самой орбиты в ее плоскости.
Векторы а и Л можно задать их компонентами ом Лз (/г = 1, 2, 3). Однако, как мы установили в Э 4 главы 11, векторы а и Л взаимно перпендикулярны, то есть между шестью числами оы Лз имеет место зависимость о„Л, + озЛз + озЛз = О. (3) Поэтому среди этих чисел оы Лз (й = 1, 2, 3) только пять могут быть, вообще говоря, заданы произвольно.
Если заданы эти пять величин и момент 1, прохождения спутника через перицентр, то положение спутника в плоскости его орбиты в любой момент времени 1 можно найти по формулам главы 1П. Таким образом, движение спутника относительно притягивающего центра с данным гравитационным параметром К полностью определяется шестью величинами: 1) пятью числами из шести: о„ о„ оз, Л„ Л„ Лз; 2) числом 1,. Такие шесть величин, которые позволяют однозначно определить положение спутника в любой момент времени, называют элементами орбиты спутника.
Мы сейчас рассмотрели один способ выбора шести элементов орбиты. Однако существует и много других способов. 2. В астрономии элементы орбиты обычно выбираются следующим образом (рис. 4.2). Если плоскость орбиты спутника не совпадает с плоскостью Аху, то эти плоскости пересекаются по некоторой прамой 1, которую называют линией узлов орбиты относительно выбранной системы отсчета. На этой прямой лежат точки пересечения орбиты с плоскостью Аху, называемые Узлами орбиты.
При прохождении через один из узлов $3й! тРАектОРия В тРехмеРнОм пРОстРАнстВе [Гле!Р спутник переходит из области отрицательных аппликат (г( 0) в область положительных аппликат Гг ) 0), а при прохождении через второй узел — наоборот. Первый из узлов называется восходящим узлом, мы его будем обозначать й; второй узел называется нисходящим и обозначается череа О. Рис.
4.2. В случае гиперболического или параболического движения может оказаться, что орбита пересекает прямую лишь в одной точке, например существует лишь восходящий узел !!, а нисходящего нет. В таком случае можно считать, что нисходящий узел О находится в бесконечности на луче йА. В дальнейшем линию узлов мы будем рассматривать как направленную прямую (ось); положительным направлением на линии узлов будем считать направление от притягивающего центра А к восходящему узлу. Угол между положительным направлением оси Ах и положительным направлением линии узлов называется долготой восходящего узла; обозначим его буквой й — так же, как и сам восходящий узел.
Величину й будем отсчитывать всегда в пределах между 0 и 2я: 0 ( й (2п. ЭЛЕМЕНТЫ ОРБИТЫ 135 т 11 Построим единичный вектор ч, обладающий следую- шими свойствами: 1) его началом служит точка А; 2) он перпендикулярен к плоскости орбиты; 3) из его конца движение спутника представляется происходящим против часовой стрелки. Такой вектор ч будем называть ортом внешней нормали к плоскости орбиты 1рис. 4.2). Вектор ч вполне характеризует положение плоскости орбиты в пространстве.
Угол т между осью аппликат Аг и вектором ч называется наклонениел орбиты. Величину т будем отсчитывать всегда от О до и 10 ( т ч., и). Легко убедиться в том, что наклонение т равно углу между плоскостью Аху и плоскостью орбиты. Два числа ав и т вполне определяют положение плоскости орбиты "). Эксцентриситет а орбиты вполне характеризует ее 4Ьорму, то есть определяет ее с точностью до подобного преобразования. Для того чтобы еще задать размеры орбиты, достаточно указать параметр орбиты р или другой какой- либо линейный элемент, например перицентральное расстояние г,, или — в случае эллипса и гиперболы — главную полуось а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
