Балк М.Б. Элементы динамики космического полета (1965) (1246624), страница 18
Текст из файла (страница 18)
А. Гагарин совершил первый в мире космический полет вокруг Земли, стартовал !2 апреля 196! года в 9 часов О? минут по московскому времени. Наибольшая высота корабля над поверхностью Земли составляла 327 «м, наименьшая — 181 клс Будем считать, что корабль прошел через перигей в 9 часов 10 минут (эта цифра, возможно, весьма сильно отличается от истинного момента прохождения корабля через перигей). Тормозное устройство было включено в 1О часов 25 минут по московскому времени.
Каковы были в этот момент истинная аномалия корабля и его высота над поверхностью Земли? 5. Докажите формулы (19) — (22). 4 5. ФОРМУЛА ЛАМБЕРТА Пусть спутник совершает перелет по известной эллиптической или гиперболической орбите. Будем считать известными главную полуось орбиты а, эксцентриситет орбиты е, гравитационный параметр притягивающего центра К. ФОРмулА лАмББРТА 423 Если известны расстояния от концов дуги Р,Р, орбиты спутника до притягивающего центра и длина хорды, соединяющей эти концы, то, оказывается, можно вычислить, сколько времени займет перелет спутника по этой дуге. Такую возможность для эллиптической или гиперболической орбиты дает формула, полученная 200 лет тому назад Рис.
3.3. Рис. 3.4. (в 1761 году) швейцарским математиком Иосифом Ламбертом. Различные доказательства этой формулы дали Ж. Лагранж (четыре доказательства), А. Кэли, Дж. Сильвестр и др. Дадим здесь вывод этой формулы, принадлежащий Лагранжу. Рассуждения проведем одновременно для эллиптического и гиперболического движения. Обозначим через 1, н 1и (1„ ( 1,) моменты прохождения спутника через точки Р, и Р„ через г, и г, — расстояния этих точек от притягивающего центра А, через 3 †дли хорды Р,Р,. Чтобы избежать в дальнейшем громоздкого исследования, примем следующие дополнительные ограничения: 1) в случае эллиптической орбиты будем полагать, что спутник проходит дугу Р,Р, после момента 1, прохождения через перицентр, но до ближайшего после 1, момента 1„прохождения через апоцентр (рис. 3.3); 2) в случае гиперболической орбиты будем полагать, что спутник проходит дугу Р,Р, после прохождения через перицентр (рис.
3.4). ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ПЕРЕЛЕТА !ГЛ. П1 Обозначим через 21 и 2, эксцентрические аномалии точек Р, и Рм Напомним, что в случае эллипса 21 и Я, — вещественные числа (вместо 21 и 2, обычно пишут тогда Е, и Е,); вслучаегиперболы2„ИЕ, — чистомнимыечисла(21 = ~Н„ Я, = !0,). В силу дополнительных ограничений 1) и 2) будем иметь соответственно в случае эллипса 0 ~( 2, ( Я, ( и (1) и в случае гиперболы 0 ( 1т 21 ( 1Тп 2,.
(2) Если 1з — момент прохождения спутника через перицентр, то в силу уравнения Кеплера и (11 — 1о) = Ут — аз!п Ут, и ((т — 1о) = Ез — ез!и"Я„ откуда п (1, — !1) = Я, — 21 — з (з!п 2, — з!и 2,), или а(1 — 1,) = Я, — Я,— 2зз!п ' 'соз ' '. (3) Уз ЯТ 21 ! Яз Покажем, что правую часть последней формулы можно выразить через длины трех отрезков: г„г„з. Всегда можно подобрать число Ь так, чтобы имело место равенство з соз ' ' = соз Ь.
2 (4) Мы, сверх того, потребуем в случае эллиптического движения, чтобы Ь было заключено Между нулем и ьи 0( Ь (и. (5) А в случае гиперболического движения потребуем, чтобы Ь было чисто мнимым числом (1те Ь = 0) и чтобы 1ТпЬ) О. (б) Таким выбором число Ь определяется однозначно. Кроме того, положим 72 — Х1 К=— 2 тгз ФОРМУЛА ЛАМБВРТА Из принятого выше дополнительного ограничения 1) видно, что в случае эллиптической орбиты О ( д ~( и/2. (8) А из ограничения 2) ясно, что в случае гиперболической орбиты Ке д = О, 1гп д ) О.
(9) Привлекая вспомогательные переменные д и Ь, перепишем формулу (3) так: и (1, — 1,) = 2д — 2 яп д соз Ь = = 24 — [яп (Ь + д) — яп (Ь вЂ” д)1. (10) Введем новые вспомогательные величины Л, и Л, по формулам откуда соз д соз Ь = 1— г,+ г, 2а (13) Кроме того, е~ = (Р1Р )з = (а соз 2, — а сов 2 )е + (Ь яп 3 — Ь яп 2 )е = = 4а'яп' ' 'з1п' ' ' '+ 4Ь'я'п' ' 'х 2 — 2 . Л+Л .
Š— Е 2 2 2 х соз' ' '= 4а'з!п'д яп' ' '+ +(1 — е') созе ' '~ = 4а'з)п'у~1 — е'созв т ')= 2 ! 2 ) = 4а' з! и' д (1 — соз' Ь) = 4а' яп' д яп' Ь. Л,=Ь+д,Л,=Ь вЂ” д. (11) Теперь мы формулу (3) приведем к следуюшему виду: и (1, — 1,) = (Л, — яп Л,) — (Л, — яп Л,). (12) Покажем, каким образом можно вычислить Л, и Л„если известны т„им з, а, е, К. Согласно (3.2.4) г, = а(1 — есозЕ,), г, = а(1 — есозЕ,). Поэтому г, + л, г, — г,1 г, + г, = 2а ~1 — е соз соз 2 2 = 2а (1 — соз дсоз Ь), [гл, гп 126 ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ПЕРЕЛЕТА Отсюда 2аз!Пуз!ПЬ =- + э.
(14) Выясним знак в правой части последней формулы. Покажем, что если выполняются дополнительные ограничения 1) или 2), то а яп уз!п Ь > О. Пусть в случае эллиптической орбиты выполняется ограничение 1). Тогда а) О и из (5) и (8) видно, что япЬ> О, з!Пд> О, з!Пуз!ПЬ > О. Если же орбита — гипербола, то а с О; кроме того, можно, в силу формул (6) и (9), переписать и и Ь в виде д=- !д',Ь= !Ь', где д' и Ь' — неотрицательные числа, так что зп д' > О и й Ь' > О. Поэтому а яп и яп Ь = а ! й 8' ! й Ь' = = — а й д' йЬ'> О.
Таким образом, а яп йяп Ь > О, и поэтому из формулы (14) следует, что 2а з!п д яп Ь = + э, э япдз!ПЬ = —. 2а (15) Вычитая и складывая почленно (13) и (!5) и учитывая (11), найдем: соз Л, = 1 — — '— (16) соз Л, =- !в (17) Но существует бесконечно много чисел Л„ и Л„ удовлетворяющих последним условиям. Как же следует выбрать числа Лт и Лт в тех случаях, когда должны выполняться дополнительные ограничения 1) или 2)? Приведем (без доказательства) ответ на этот вопрос.
В случае эллиптического движения следует числа Л, и Л, брать из интервала (О, и): О<Л,<п, О<Л,<п. (18) Тогда формулами (16) — (18) выбор чисел Л, и Л, определяется однозначно. ФОРМУЛА лАмвеРТА 127 В случае гиперболической орбиты следует взять числа Лт и Л, так, чтобы 1!п Л, ) 0 и 1гп Л, ) О.
(19) Формулами (16), (17), (19) выбор чисел Л, и Л, тоже определяется однозначно. Таким образом, мы видим, что время 1, — 1„которое потребуется спутнику для перелета по дуге Р,Р, эллиптической или гиперболической орбиты, определяется по формуле Ламберти: ге — (г = — [(Лг — з!п Л,) — (Л, — з!п Л,)!, ! где Л, и Л, — корни уравнений: созЛ,= 1 — — '— г1+ г2+ 2а г,+г,— з соз Л = 1— 2а В этих формулах г, и г, — расстояния от концов дуги до притягивающего центра, з — длина хорды Р,Р„а — главная полуось орбиты (а)0 в случае эллипса и а(0 в случае гиперболы).
Если орбита эллиптическая и спутник проходит дугу Р,Р, после прохождения через перицентр и до ближай!иего прохождения через апоцентр, то следует брать Л, и Л, из сегмента [О, и[; если орбита гиперболическая и спутник проходит дугу Р,Р, после прохождения через перицентр, то следует дополнив!ельно потребовать, чтобы вьтолнялось условие: 1гп Л, ) О и 1гп Л, ) О. 3 а м е ч а н и е !. В случае гиперболического движения удобно перейти к вещественным гиперболическим функниям, полагая в (12) Л, = [Л„Л, = [Л и приравнивая модули обеих частей равенства (12); формула Л;мберта принимает тогда вид ! [(1 Л Л') (зь Л'.
Л',,)[, (20) 128 ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ПЕРЕЛЕТА [ГЛ. Н! где ~ п ~ можно вычислить по формуле (21) Числа Х, и Х, должны удовлетворять уравнениям с)! Л,= 1+ — '+ — ' ~(т )!.,= 1+ --'- 2(а1 (22) (23) Если спутник проходит дугу Р,Р, после прохождения через перицентр, то следует брать Х, ) О, Х, ) О. 3 а м е ч а н и е 2. Формула Ламберта (12) остается в силе при любом расположении точек Р, и Р, на орбите спутника, но для правильного выбора чисел Х! и Х, среди корней уравнений (16) и (!7) требуется провести в каждом случае специальное исследование. Для случая эллиптической орбиты такое исследование было впервые выполнено около 100 лет тому назад известным английским математиком А. Кэли. Результаты этого исследования приведены в таблице 1.
В таблице 1 использованы следующие обозначения: А! и Х« — наименьшие положительные углы, удовлетворяющие условиям (16) и (17); А — фокус, в котором находится притягивающий центр; Р— «пустой» фокус («антифокусэ); Π— сегмент, ограниченный хордой Р,Р, и дугой Р,Р„описанной спутником между моментами 1! и !«. 3 а м е ч а н и е 3. Формула, аналогичная формуле Ламберта, была найдена для случая параболической орбиты Ньютоном (1687 г.) и, независимо от него, Эйлером (1743 г.). Согласно формуле Ньютона — Эйлера время перелета 1, — ~! по дуге Р,Р, параболической орбиты выражается следующим образом через параметр орбиты р, расстояние з между концами хорды и расстояния г, и г, концов дуги от притягивающего центра: — ((г! + г«+ з) Л ~ (!'„+ г, — з) ь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
