Алексеев К.Б., Бебенин Г.Г., Ярошевский В.А. Маневрирование космических аппаратов (1970) (1246622), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Если пренебречь чалыми второго и более высоких порядков, то (2.26) !Г2 а Переходя в этом выражении к приращениям, находим Ьс ! + с де=- е Ьа !+— а Рпс. 2. 4. Схема маневра под действием тангснииального импульса: Г-орбнта ло маневра; т †арен паоле маневра; а †ли» халов этому полученное выражение в общем случае может быть линеа- ризовано лишь по Ла, т.
е. дет в[ — (1 — — ) — — ~. (2.30) Для орбит с заметным эксцентриситетом (при е=0,1 и более), как правило, можно считать Лс/с«1. Тогда, пренебрегая в вы- ражении (2. 30) членом ЛаЛс/ас, получим У Ьс Ьа! Дс= ~ — — — ) е. с а (2.31) На основании рис.
2. 4, а имеем следующие соотношения: 2дсг -РаР,", Обычно Ла/а«1, однако Лс/с для орбит с очень малым эксцентриситетом (околокруговых) может быть близко к единице. По- где 2йст — изменение межфокусного расстояния при действии импульса ут. Из подобия треугольников ЕзЕ',Е'„и Е,МК имеем ГеГ,, Г;Г„тп,, Г, Гатс Р2м мк МК.— г аш(180' — Ь) =- г в|п Ь, Е,Я = г.
=-2а — г, Е Е,'=:дг,=-2.1ат, ЕгК = — 2е — г соз ( 180 — Ь) = —. 2с — ' г соз Ь. но Отсюда ЕзЕе = (2г — '- г соз Ь)— 2аат 2а — г — г з1п Ь1 2аат 2а — г Е,Е„" =2с+(2с -, 'г соз Ь)— 2аат 2а — г Следовательно, аст = — (2г — '- г соз Ь) Лат 2а — г г — егп Э вЂ” (2.32) е ( 2 — — - ( 2е+ — епеЭ ) — т а а а 1д змт Подставляя выражение для Лет в формулу (2. 30), находим г 2е+ — гое а ~ат 1 е (2 — — 1 л т (2 Зз) а ае =е 59 Полученные формулы (2.
32) и (2 ЗЗ) позволяют найти изменение аргумента широты и эксцентриситета при воздействии на космический аппарат таигенпиального управляющего импульса Ут. При этом необходимо предварительно определить изменение большой полуоси по формуле (2.26). Подстановкой ат из фор. мулы (2.26) в (2.32) и (2. ЗЗ) можно было бы непосредственно выразить Л~»т и Лет через управляющий импульс ут, однако полученные при этом формулы оказываются очень громоздкими. Если принять точку М в качестве начальной точки новой эллиптической орбиты, то изменение начального значения истин.
пой аномалии, которое может рассматриваться в качестве шестого элемента орбиты вместо момента прохождения перицентра (и, определяется равенством (2.34) Л~о = г(е е- гоп В) Ье —.--= Лат, а (?а — г) или после подстановки формулы (2. 26) 2а)г (е + гоев) Ле, —. )Г~ЕУ~ (2а — г) (2.35) Как видно из рис. 2. 4, а, при Лс/с«1 можно поломсить 2~е 1к Л"'т Лмт— 2е Тогда после подстановки найденного выше выражения для отрезка Е,'Реа и несложных преобразований получим ге~па Лмт= ' Лат.
еа (2а — г) После подстановки формулы (2. 26) окончательно имеем йанг е~п 9 Л~т=, ~т. е)г~~л Р (2а — г) (2.36) При определении изменений элементов гиперболической орбиты под действием тангенциального импульса можно также воспользоваться ее основным свойством, согласно которому «о Таким образом, с помошью формулы (2. 32) можно также определить изменение начального значения истинной аномалии эллиптической орбиты, вызываемое тангенциальным управляюшим импульсом. Поскольку связь, выражаемая равенством (2.34), справедлива при любом управляющем импульсе (а не только при тангенциальном), в дальнейшем будем рассматривать золько изменения пяти элементов: большой полуоси, эксцептриситета, аргумента перигея, наклонения и долготы восходящего узла.
В тех случаях, когда можно полагать Лс/с«1 (орбиты с за. метным эксцентриситетом), для определения Лет можно вес. пользоваться формулой (2. 31). Подставляя в эту формулу най. денное выше выражение для Лет и выполняя несложные пре. образования, находим разность расстояний от любой точки гиперболы до ее фокусов есть величина постоянная, равная большой оси, т, е. гх — г=2аг . Следовательно, при воздействии па космический аппарат тангенциального управляюшего импульса уг (рис. 2,4, б) вследствие изменения большой полуоси второй фокус сместится в точку га' на расстояние дга= 2багг Характер изменения орбиты космического аппарата при воз,действии на него тапгенцнального импульса одинаков как прн Рпс ".о.
Схема ллапспра под дейстаисм иормапьиого импульса: !-орбите хо маиеоре, а †орби после меиеоре 3- пинии гла»о эллиптической, так п прп гиперболической орбите: под действием тангенциального импульса второй фокус орбиты космического .аппарата смещается по линии, соединяющей его первоначальное положение с точкой приложения импульса. Положительный импульс смещает второй фокус в направлении от точки его прн.
,пожения. Величина смещения равна изменению большой осн орбиты, вызванному приложенным илапульсом. В случае гиперболической орбиты сг)аг и прн Ла 1аг «1 можно всегда считать Лсг(сг ',~ 1. Поэтому на основании рис. 2. 4, б 2агтг — — т и'е г',гп дол 2сг 6! Из подобия треугольников г-,Р,'гс„" и т".зМК имеем ~ " з ~2~2 л2л~ ~2К ~2ле г 'К но МК-.=-г зги(180' — 8).=-т сбп )), Р~М=т =2а„+т, ,а,Р,'=- Ьт~= 2Ьагт, гсзК =- 2е„+ т соз (180' — 1)) —.
= 2сг — г соз б. Отсюда 2аагт Р'зУ' ' ==- (2с'г — г соз й) 2а +г г ' 2аа Р''~" — - гт г з1п )) 2аг + " Следовательно, Ьагт Ьсгт — — (2с — г ейп В) за, + г г аагтг Ь "гт— с,12а еь г) г 2агр(е„Ч- гока) Ьегт., е т 'гл)'(2аг + ') Ьмгт =. г ет е Хг~лР(2а, + г) (2.37) 12. 38) Полученные формулы (2. 37) и (2.
38) наряду с формулой (2.29) позволяют определить изменения элементов гиперболической орбиты под действием тангенпиального управляющего импульса. Если на космический аппарат действует нормальная управляющая сила Р=Рггеь, в течение малого времени 1к, то вектор скорости поворачивается на угол Лч, а его величина остастся неизменной (Л(т=0). Подставляя выражение для Лс„т и формулу (2.27) в (2. 3!)„ а также формулу (2. 27) в выражение для Лы„т, после несложных преобразований получим Нормальный управляющий импульс так же, как и тангенциальный, действует в плоскости орбиты невозмущенного движения.
Поэтому первоначальное положение плоскости орбиты ие изменится. Следовательно, Ь(х = — Ыг=О, Л12,ч — — Ьыг —.--О. Ввиду того что величина скорости полета нс меняется, из равенства (!.15) следует, что величина большой полуоси эллиптической орбиты останется неизменной и Лам=-О. Для определения изменений эксцентриситета н аргумента перигея воспользуемся следуюшим свойством эллипса как геометрической фигуры. Касательная к эллипсу нвляется биссектрисой внешнего угла между радиусами-векторами (проведен.
ными нз двух его фокусов) точки касания. Под действием нормального импульса Ум вектор скорости, направленный по касательной, повернется на угол — Лзя. В результате космический аппарат перейдет на новую орбиту, для которой указанное свойство должно сохраняться. Нетрудно убедиться (см. рис. 2. 5, а), что в соответствии с этим свойством линия, проходящая через точку приложения импульса и второй фокус, должна повернуться на угол — 2Л6, Так как Лак=О, имеем гз = сонэ( (2. 39) и второй фокус переместится в точку Е' по дуге Е,Р,' окружно. сти с центром в точке М и радиусом гь В случае гиперболической орбиты, как видно из равенства (1.32), величина большой полуоси также останется неизменной Лагч =О.
На основании свойства гиперболы как геометрической фигуры (касательная к гиперболе является биссектрисой внутреннего угла между радиусами-векторами точки касания, проведенными из двух ее фокусов) путем аналогичных рассуждений приходим к выводу (см.
рис, 2. 5, б), что второй фокус гипербо лической орбиты также переместится в точку Р' по дуге РрРз' окружности с центром в точке М и радиусом гь Таким образом, под действием нормального импульса второй фокус орбиты космического аппарата перемещается по дуге окружности, центр которой находится в точке приложения импульса, а радиус равен расстоянию от этой точки до второ~о фокуса. Угол поворота линии, соединяющей точку приложения импульса и второй фокус орбиты, равен удвоенному значению угла поворота вектора скорости.
Поворот осушествляется в том же направлении, что и поворот вектора скорости. Выразим изменения аргумента перигея и эксцентриситета эллиптической орбиты под действием импульса нормальной силы с помощью рис. 2.5,а. Так как угол — Л0 является малым, то дугу РзРз' можно заменить касательной, проведенной в точке Г,. 63 Тогда на основании подобия треугольников РК2'Р2" и Р2М)х имеем Ггяз г 'Г~ Г~ Р'~ Рзд! Р2К но МК вЂ”. г з!и (180' — Ь) — г в!и д, МР, = г,, КР,—.=2г — г сов(18') ' — а) 2с -'-г соз О, РзР = гз 266 Отсюда находим Р,Р,"= — 2г э!и йг даю Р 'Р"--= — 2(2с-! Г соэ й) Л!)и.
Учитывая, что где 2бси — изменение межфокусного расстояния под действием нормального импульса, получим г 2е+ — го~ Э а (2.40) (~д г е — — ия ВЛ6~ а Лсм= — г в1п ЬЛ0„. Подставляя Лсм в формулу (2.31), с учетом того, что Лаи — — О, находим изменение эксцентриситета под действием нормального импульса г деа - — я!и йаб„. (2.41) Формулы (2.40) и (2.41) совместно с выражением (2.39) позволяют определить изменение аргумента перигея (в общем случае, псрипентра) н экспснтриситета эллиптической орбиты пад действием нормального импульса. В том случае, если орбита имеет заметный эксцентриситет.
прп котором выполняется условие е»Лйи, в выражении (2.40) можно принять !дХяи=Квл, а также пренебречь вторым сла- гаемым в знаменателе. В этом случае после подстановки выражения (2.24, б) формула (2. 40) примет вид веем=- ( 2 г — сов 9 ) —. Г '1 Ул ае Подставляя также формулу (2. 24, б) в (2. 41), получим (2.42) г Лев -— -- — — з1п Ыл,. ам (2.43) Аналогичным образом для гиперболической орбиты (см. рис. 2.
5, б) имеем соотношения Рег'е геге геге лг~2 А1К=-гз"'9 л4е г=гм КРз.= 2Сг+ г сов (180' — 9) — — 2ег — г соз 9, Р,Р,'=- — г,2Ь9к. но Так как в случае гиперболической орбиты Лсгlсг«1, то можно считать, что е е Р,'Р' 1к Ьмгл ='"г л = г1гг Аналогично случаю эллиптической орбиты Г,Г,"=2ЛСг . С учетом приведенных соотношений находим --=-('- ', - 1" а е г г и ЬСгм = — г з1п 9Л9г.
После подстановки ЛСгь в формулу (2. 31) получим Лег,е. ( 2 — сов 9) —, Г Ул а е г 'г ) г (2.44) аегм Ъ з1п 9 —. (2.45) а г з .-1воя г дегм= — — з1п 9ззг. аг Таким образом, изменение эксцентриситета для гиперболической орбиты определяется аналогично случаю эллиптической орбиты. После подстановки выразкения (2.24, б) формулы для Лыгн и Легк примут внд Маневры, осуществляемые под действием импульсов тангеп. циальной и нормальной сил, не приводят к изменению положения плоскости орбиты в пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
