Алексеев К.Б., Бебенин Г.Г., Ярошевский В.А. Маневрирование космических аппаратов (1970) (1246622), страница 13
Текст из файла (страница 13)
44), (2. 45) и (2. 52). В ряде случаев требуется производить оценку действия составляющих импульса управляющей силы по осям орбитальной системы координат. Для этого достаточно спроектировать импульсы Ут и Упс на трансверсаль и вертикаль (радиус-вектор). Осуществляя указанное преобразование выражений (2. 53) спомощью формул (1. 45), находим да =- 2е Мп Ь 2 Г' ! — ег а )г! — ег 1 а (! — ег) г 1 тг ! — ег Мп Ь дев .Уе+ оеае ! г а оса возникает необходимость введения поправок в период обраше. ния спутника либо с целью ликвидации ошибок выведения, либо для компенсации возмущающего действия атмосферы.
Для этого достаточно выполнить маневр, в результате которого изменяется лишь большая пол)ось орбиты, которая однозначно свя. запа с периодом обращения. Чаще всего маневр выполняется для перехода космического аппарата с одной орбиты ца другую. Прп этом могут изменяться сразу несколько элемсптон орбиты (иногда все). Такой переход можно осуществить путем последовательного изменения отдельных элементов орбиты.
Однако это не всегда дает наилучшие результаты как , с тачки зрения времени орбитального перехода, так и с точки зрения суммарного управляющего импульса и С (расхода топлива), затрачи- 'сс ваемого на его выполнение. с Поэтому представляется це- сау лесообразным рассмотреть специально вопрос о переходе космического аппарата Рнс 2.9. Однонмпульсный маневр с одной орбиты (начальной) на другую.
Если орбиты имеют одну общую точку, то возможен одноим. пульсный орбитальный переход, который осуществляется за счет маневра, выполняемого под действием импульсной тяги, прикладываемой к аппарату в точке (точнее вблизи точки) пересечения орбит. В общем случае орбитальный переход можно осуществить путем выполнения нескольких импульсных маневров. На практике чаще всего применяется двухимпульсный переход. В качестве примера ниже рассматривается случай двухимпульспого орбитального перехода между компланарными орбитами. Одноимпульсный орбитальный переход. Для анализа одно- импульсного маневра воспользуемся в качестве исходной перигейной системой координат ОХУХ первоначальной орбиты (рис. 2. 9).
Проведем через ось ОЯ и точку С, в которую должен выйти космический аппарат, плоскость до пересечения с плоскостью ХОУ. Положение точки С в выбранной системе координат однозначно определяется координатами гс, срс, бс. Чтобы обеспечить выход космического аппарата в точку С, в общем случае некомпланарного перехода необходимо в точке М совершить боковой маневр, в результате которого плоскость орбиты повернется на некоторый угол о и будет проходить через точку С, а также продольный маневр, в результате которого расстояние аппарата от точки О на угловом удалении Лдс=бс — б от точки М станет равным сс. При условии малости угла срс по- гребный угол поворота плоскости орбиты можно определить по формуле тс (2.
54) е(п(аС вЂ” З) ' Для заданной точки орбиты (задана истинная аномалия)', в которой прикладывается управляющий импульс, выполнение бокового маневра возможно лишь при вполне определенном импульсе, обеспечивающем поворот плоскости орбиты на угол, определяемый формулой (2.54). В этом случае оптимизация маневра в целом сводится, как и в случае комплаиарного перехода, к оптимизации продольного маневра. Если имеется возможность выбора точки приложения управляющего импульса, то возможна оптимизация бокового маневра по минимуму расхода топлива (минимуму бокового управляющего импульса). Приравнивая выражения (2, 54) и (2. 47) с учетом выражений (1. 8) и (1. 45), имеем р 1+ пепел 9с.
1 (ас — 9) (2.55) Условия оптимизации соответствуют минимуму функции 1+ееоеа мп (Зс — ь) Дифференцируя функцию по О и приравнивая нулю, после несложных преобразований находим е соз йс+ соз (Эс — 9) = О. Отсюда экстремальное значение истинной аномалии будет зев= 9с — агс сов ( — е соз Эс). (2. 56) Прямой подстановкой нетрудно убедиться, что условие (2. 56) соответствует минимуму /п(д); В случае круговой орбиты (е=О) имеем ДЭ = — Ьс — й 2 74 При малых эксцентриситетах разность истинных аномалий Лаев близка к и/2.
В общем случае Лбев является периодической функцией бс. Ее значения повторяются после изменения бс на 2л. Среднее значение беа за период равно и/2. Максимальные отклонения Лбов от ге/2 будут при бе=0, и, Они могут быть найдены по формуле Л()'в,„— — агс з)п е. При больших эксцентриситетах Лдв",„может быть довольно значительной. Так, при е=0,5 получим Лб"л,„— — и/6. Следовательно, в этом случае условие оптимальности бокового маневра требует прикладывать управ- лающий импульс на удалении ЛО!ои от точки С, изменяющемся в пределах от 50' (при Ос=а) до 120' (при Ос=О). Подставляя выражение (2. 56) в формулу (2.55), получим — 1+ а [а!пас ( — + е соя ьс) + есоагзс! Упмсп г се с.
э )Г ! — ег соа Зс Рис. 2. 10. Схема приложения им- пульса ЬУг(= ~ — ),, за+ ( — ),, де+ ( — ), да„(2,57) где ( дг ! 1 — ег да )а=ас 1+есоаас ( — — =-' дг ) 2е+(1+ег)соаас де Уа=ас (1+есоаас)г ( ') дг ') (1 — ег) Мпас =ае дз /а=ос (1+есоазс)г Маневр выполняется под действием управляющего импульса У, направленного под углом а к вектору скорости )г в точке )И (рис. 2, 10), Разложим его на направление касательной и нормали к орбите.
В результате находим Ут — — У созе, Уп= — Уз(па. Под действием этих импульсов элементы орбиты а, е, до получат приращения Ла, Ле, Або. Подставляя выражения импульсов Ут н Ум в соответствующие уравнения (2. 53) и выполняя несложные 75 Эта формула определяет потребное значение управляющего импульса при выполнении оптимального бокового маневра в зависимости от координат (сро, Ос) точки С Рассмотрим возможности оптимизации продольного маневра. Прн этом будем по- 'ч Г лагать, что изменение высоты полета в заданной точки ЛН=гс — г(бс) удовлетворяет условию дьНУг(Ьс) «1 где «(Ос) — величина радиуса-вектора "гг -Уас первоначальной орбиты в точ- ке с истинной аномалией Ос. Тогда изменение высоты ЬН может быть выражено через изменения элементов орбиты варьированием выражения (1.
9) после подстановки в него равенства (1. 13) да=( ))/1+е'+ 2е сов В е'сова, 2 чо)»1 — ев де -( 21'"1 — ев 1 е+сояз Усова+ пво т/1+ея+2есояз я)Я12 1 у з!па. поо 1 (1+ е сова) В» 1 — 'ея -Ь 2е соя В 2)»1 — ев Мпз азо— ( е сова+ »Т~Ф» )» 1 — ея +( 2е+ (1 -1- ев) со»В .У з1па. ) и»- -л>Ес+птзпп» Подставим полученные выражения в равенство (2. 57). Тогдз после несложных преобразований получи»и (вН=(н(а, 6) У. (2. 58) Здесь 7„(а, Ь) =- К" соз а — К" з)п а, где ( 2(1 — ев)яа ~ т 1 — сов йВ (1 + е соя Вс)я В» 1 + ея + 2е сов В 2е(апас — Ып В) +(1+ ев) я|поз ея)в12 то 1 (1+есовзс)я(1+есояВ))'1+ея+2есояз Кн и пВ=Вс При заданной ЛН условие оптимальности (минимум Х) соответствует максимуму функции (н(а, 6).
Исследуем эту функцию на экстремум, принимая в качестве независимой переменной а (истинную аномалию точки М считаем заданной). ДифференциРУЯ (н(а, О) по а и пРиРавниваа полУченнУю пРоизводнУю нУлю, находим — К.ч и (на„= Т или 2е(.;и Вс-.,;и В)+(1+ ея) ... ЗВ (2 59) (ц и„— * 2(1+есояз)(1 — соязв) преобразования с использованием формул (1.9), (1.13), (1. 15), (1, 17) и (1.24), имеем Нетрудно убедиться, что экстремальное значение угла а, определяемое формулой (2.59), соответствует максимуму функции /п(а, д).
Преобразуем функцию /н(а, О) следующим образом: уц(а,й)=Ку~с сова — — з1па =К" (соза+1ца,з1па), 7Со Кн или Кн /м(а, Ь) = соз(а-а,). соэ а~ Коэффициент, стоящий перед косинусом, не зависит от а. Сле- довательно, максимум /п(а, д) достигается в том случае, когда соэ(а — аа) =1, или а=па, где аа определяется формулой (2. 59). В случае круговой орбиты (е=О) формула (2. 59) значительно упрощается о оаа (па,= 2(1 — сов аа) Выполняя несложные тригонометрические преобразования, получим 1ца,= — с1ц — .
аа (2.60) * 2 2 Характер изменения аа в зависимости от Лд иллюстрируется графиками, приведенными на рис. 2.11, которые рассчитаны длр е=О и е=0,1 при 6=0. Лнализ этих графиков показывает, что при малых угловых расстояниях между точкой приложения управляющего импульса и точкой С оптимальный управляющий импульс близок к нормальному (аа=п/2 или Э/2п). Если угловое расстояние Лдс близко к и, то оптимальным будет импульс, близкий к тангенциальному (па=О илн и). Таким образом, при а=аа Подставляя полученное выражение в формулу (2. 58), найдем величину управляющего импульса Уа, потребного для выполнения маневра: 77 Эта форхВла позволяет при наличии необходимых вычислительных устропств определять на борту космического аппарата потребное значение 3е.
Предварительно необходимо вычислить значение угла аи по формуле (2. 59) и коэффициент Кт". В случае круговой орбиты формула принимает более простой вид ьа то гоп есв 7.— ВсИ. ЛЬ 2 1+За1па 2 При возможности выбора точки приложения управляющсго импульса можно оптимизировать маневр выбором истнннои апо. В0 -20 -00 -100 Рис. 2. 11. Оптимальный угол пвклоии импульса к вектору скорости малин д точки М, которая обеспечивает минимум импульса,й НаПРаВЛЕННОГО ПОД УГЛОМ ае К КаеатЕЛЬНОй, ДЛЯ ЗацаННОГО ИЗЛ1Е- пения высоты в точке С.
Для этого достаточно найти ту, соответ. гтвующее макгимуму )м„(д). Условие экстре пума этой функпип соответствует уравнению (2.61) —,8 'г'- л — 08 Поскольку Кнг, Кн и а„являются сложными функциями б, исследование уравнения (2. 61) в общем виде вызывает серьезные трудности и является чрезвычайно громоздким. Однако со. вершенно ясно, что истинная аномалия, удовлетворяющая этому уравнению, зависит от эксцентриситета орбиты и истинной аномалии точки С. Характерно, что условия оптимальности маневра 78 зависят лишь от формы (эксцентриситета) орбиты и не зависят от ее размера (большой полуоси). Это позволяет предварительно произвести расчет О, как функции Ос для возможных эксцентриситетов орбит космического аппарата, используя для решения уравнения (2. 61) цифровые вычислительные машины, и иметь иа борту соответствующие графики.
Уравнение (2. 61) существенно упрощается в случае кр)товой орбиты. Подставляя в это уравнение Кг" и Кхн при е=-О, а также ав из равенства (2, 59) после выполнения необходимых операций и преобразований, получим — ( 2+ ' * 1 21п д0.-.0. чо Ьэ 2 Мвэ — / 2 Решая это уравнение, находим Лб=п. Следовательно, наименьшая величина управляющего импульса для изменения высоты в точке С на величину ЛН потребуется в том случае, если импульс прикладывается в противолежащей точке орбиты; при этом, как видно из формулы (2.59), а =О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
