Алексеев К.Б., Бебенин Г.Г., Ярошевский В.А. Маневрирование космических аппаратов (1970) (1246622), страница 16
Текст из файла (страница 16)
9), находим А я!пф=С,= — соя В„А соя ф=СВ= — я!п Во, Р Р что позволяет записать с учетом выражений (1.10) и (1.11) )гв в!пв 6 А:=.1 (— ф= а ге!я Мов!пяо При а, ФО решение уравнения (2. 75) по-прежнему принимаем в виде выражений (2. 76), но А и ф считаем теперь неизвестными функциями 9. Тогда после вычисления производных с(у!/оВ и !(увс!с(8 уравнения (2.75) принимают вид — я!п(8+ф)+А ! 1+ — ф! соя(9+ф)=-А соя(В-,'-ф), :1О и'В / о'А 18 — соя(В+ф) — А ! 1 — , '— ') я!п(В+ф)= с10 о'0 = — — А я!п(9+ф)— Ив Г )с 12 Ьв ~А Мп(0 + ф) + — ~ ьв 1 Отсюда находим )ГА а, соя(6 +ф) аа Г !) '|2 И2 [А з|п (6 + ф) |- — 1 И,~ (2,78) аа ас Мп(6+ ф) аа Г '|2 Г)2А ~ А я |и (В -|- ф) -|- — 1 И2 ~ Осредняя эти выражения за период обращения аппарата, считая, что за время этого периода А и яр остаются неизменными, получаем аА а, соя(6+ф)аа аа 2аИ2 Г ) [ 12 [А я|п(6 -|- ф) -|- — ~ о Сразу же оговорим здесь, что проведенное осреднение справедливо при периодическом движении аппарата относительно притягивающей планеты, например при движении по эллиптической орбите.
В случае движения по гиперболической орбите проводить осреднение, а следовательно, применять данный метод, нельзя. Интегрирование уравнении (2.79)' дает что позволяет записать следующее решение уравнения (2.75): з ~ у,= — -|-Аоз|п~~ 1 — — '~ — — Ао) 2 ~0 ' ф|о '1 и или где з 7,=! — — ' ~ — — Ао) И2 х И4 2я аф а, аВ 2пи2А о (2.79) з мп(6+ф))ГВ а, 7 62 ~2) 2 [ а 12 И2 Х И4 А з)п (В + ф) + И2 ~ А =Аз=-со|261, з а, Г аз ф= — — '~ — — Аа) ' 0+фа И2 х64 ) ! + рАа я! и фо соя ))па + рАо соя фа ип ))а В Сравнивая последнее выражение с вырахгением (1.
9), замечаем, что действие малой радиальной тяги приводит к смещению линии апсид (линии отсчета угла 0) за один оборот аппарата по орбите на угол, равный по величине з 2па, я2 0, -- ' [' — ' — Ай~ -', Иг , Из Высота перигея и апогея остаются неизменными. Для почти круговой орбиты с малым эксцентриситетом е«1 или Аз «)з/Ьз, что возможно при а„«)2/гг, можно получить более простое выражение для определения угла прецессии линии апсид. Принимая /2= З~г)з и пренебрегая значением Лзг в сравнении с )зг/и', получаем Оп =-2п а, н/г2 Как и следовало ожидать, величина угла прецессии пропорциональна отношению ускорения, создаваемого радиальной тягой, к ускорению гравитационного поля. В данном случае можно найти также уточненное решение уравнения (2.75), используя уже найденное решение.
Для этого положим у,= и +А з)гг[(1 — 5)0,'-аз[--'. а,й(0), И„2 где /з(0) неизвестная пока функция угла 'и з 5= — ' ( — — А21 Иг З, И4 Подставляя это выражение в уравнение (2.75) и пренебреАзаз гая членами порядка а,' и а„—, находим следугогцее уравнез ние для определения /з(г)): лги (з) а02 ' вг Усреднение решения этого уравнения показывает, что опо удовлетворяется при й=- — 62/)22. Следовательно, для орбит с малым эксцентриситетом уточненное решение уравнения (2. 75) будет Р а,зг у, = — -'- А з)п [(1 — 5) 0 --'- р„[— И2 Рг или а~04 ! + рлзпы Н) --5)0 + рп!— + вз Отсюда можно получить более точное значение 0,, В случае действия трансверсальной тяги рз (см.
рис. 2.20) уравнения (2. 18) приобретают вид (2.80а) 1, И61 — ( г' — ! =аз. Н)— (2.80б) ии — =а„г, иг или, так как !/тг=гз/М61: И! атЗ а Фв а т! (2.81) После подстановки в уравнение (2.80а) значений иг а ~». Фт! — — — — — — Ь— ИГ гЗ Нв !16 дзг и Г дт! 1 Изт! азат! — = — — 'и — '=. — Лзуз !гзз ИГ ~ !Зв ~ !Гвз т!!гв н несложных преобразований получаем а, и„ Ивз лтз с!в ' и ! где и= — /!з.
Уравнение (2. 81) удобно теперь записать так: (2.82) ии 2аз (2.83) Ив' з !! Уравнение (2. 82) запишем в виде двух уравнений первого порядка: !гт! —; .у (0), ив (2.84) аз -= — у!+ — — 72(6), л пуз ! которые = дополпптельпьгм уравнением (2.83) образуют полну!о систему уравнений для исследования движения аппарата под По-прежнем!у будем считать, что ускорение, создаваемое тягой, значительно меньше гравитационного ускорения, т. е, аз « 16/г'. Обозначим й =г — и примем в качестве независимой перемен!за ной 6, а искомой функции у! — — 1/г.
Из уравнения (2.80б) имеем л=-ла- сопя1, у1 =- — — -.,- А, яп (0+ 0,), ла уг=. Ао соя(9) +Во). В случае а!~О решение будем искать в виде у,= ~ +Аз!п(9-)-ф), л у,=-А соя(9+ф), где и, А и ф неизвестные функции 0. Тогда уравнения (2. 83) н (2. 84) можно записать следующим образом: а'и з — я — =2а, ~ — -,'- А я!п (9+ ф)~ НВ т' = — я!п(9+ф)+А( 1+ ((соя 0+ф)— ДВ ав ИВ 1 ' иг ая — А соя(0+ф), — = — сов(9+ф) — А )1 1+ — )! в!п(9 — ,'-ф) = луг ИА, г Ф', т ия аВ ая агА == — А вш(9+ф) — — соя(9+ф) ~ — --',-А в!п(9 +ф)1 л ~ и Последние два уравнения после подстановки равенства (2 85) имеют вид аА .
иф — я!п(0+ф)+А — сов(0+ф) = ' ~ — +А в)п(9+ф)~ ая ив гя и а'А иф — сов (0+ ф) — А — в)г1 (0-)- ф) = и'В г)В (2.88) аА = — соя(9 -,'-ф) ~ — !+А я!и 9+ф~ и ~ л Отсюда находим ,г,! г 2иаг а„А гииг(В -1- ф) г г 1-3 — =-.~ — вгп(9+ф) — ' 1 ~ — '+А в)п(9+ф)~ ~ лг л л аф г 2наг а„я!и (В Ь ф) гав !В + ф) ав лгА л Х ~ — + А я!п(0+ ',)~ 1 п 90 действием трансверсальной тяги. При аг =О решение этой системы уравнений будет (2.
87а) (2. 87б) дь — =- О. из (2. 87в) Из уравнений (2. 87а) и (2.87б) следует, что (! — ' ИА А !, л2 (2В, ЬА2 ~ Последнее выражение легко проинтсгрировать. Для этого вос- пользуемся подстановкой А =ш!и, тогда И2п ! ! и~ (7и2 — и 2) — — — — 22! =— дп п и2 дп2 (2и'+и2) а после разделения переменных ИП [М2-)- 2и2] 3 Ии (М2 — из) ж 2 и Приведем левую часть данного равенства к виду Им ! И(И2 — - ) З Ди 3 м и2 — м2 2 и т Откуда после интегрирования н преобразования получаем =С(' „из 2!Лг! [а2 — (лд)2) п=С ' (п.1)из (2.88) где С вЂ” постоянная. Перейдем к анализу полученных резульзатов.
Из уравнения (2. 87а) при а2 <О следует, что !(и!Я (О. Это означает, что п — О, ч 550В 97 Применение метода Крылова — Боголюбова для решения уравнения (2.85) и (2.86) позволяет найти значения неизвестных и(0), А(й) и 2)2(1).
Действительно, усредняя за период обращения спутника уравнения (2. 85) и (2. 86), получаем ии 2!, л2 ~5- -12 92 ИЛ и2( и л 2л г 22 , )и2 ' — .)2 ( лг а следовательно, г--О, поскольку в соответствии с выражением (". 77) л!р. и,, ) + еапа(З а ') — -)-.! мл (6 — ' -') л Ал где е =- — — экспентрнситет орбиты.
Таким образом, действие на аппарат трансверсальной тяги, направленной в сторону, противоположную движению аппарата, приводит к его спи'кению на планету. Траектория снижения приближается к параболе, поскольку при а — О квадрат эксцентриситета е'=и'А'/р', как это следует из выражения (2. 88), стремится к единице. При аа >О, наоборот и — оо, а значит и г — оо. Величина радиуса-вектора в апогее орбиты будет ) ге=в и — †.! л Изменение га за один период обращения аппарата прибли. женно может быть определено следующим образом: и дл лд) а га — А) лэ аы Л и е(А/~(9 согласно уравнениям + Ал) или с учетом значений для Йп(г(~) (2. 87) ла, ('и ~.э — Аа) Для почти круговых орбит е« ! и А « ! л г =-..—, а и аа дг„=4пг, — ', . р.
(г, 9Р Следовательно, изменение высоты апогея пропорционально отношению трансверсального ускорения, создаваемого тягой, к гравитационному ускорению. Рассмотрим случай, когда на космический аппарат действует тяга Рв, направление которой перпендикулярно к мгновенной плоскости орбиты [86). При этом возможно изменение параметров, определяющих положение плоскости орбиты в инерциальной системе координат ОХИ с началом в притягивающем центре. Введем также подвижную орбиталытую систему координат Охух (рис. 2. 21). Пусть ось Ог направлена по нормали к мгновенной плоскости орбиты, а ось Ох совпадает с радиусом-вектором Р аппарата.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
