Алексеев К.Б., Бебенин Г.Г., Ярошевский В.А. Маневрирование космических аппаратов (1970) (1246622), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Обозначим единичные векторы осей Ох, Ор, Оа через и, 1, )с, соответственно. Тогда выражение вектора тяги Рв можно записать так: Ра= РЪ, где Р— постоянная тяга. Рнс. 2. 2!. Действие тяги, нормальной к мгновенной плоскости орбиты !бинормальная тяга) Дифференциальное уравнение двп кения аппарата (2.!) приме- нительно к данному случаю будет >гтг р — Р— = — — г -- — >г. наг га,и (2.
89) В подвижной системе координат г=гт>, поэтому ггг ггг —., сгТ! ггг —. в = — Г+и= — — т'+г(и. Х)), и ог ' ггг Л ггг йг —. (г= — =- — 1+ ва/ — ай. гтг ггг Поскольку в процессе орбитального движения вектор скорости совпадает с мгновенной плоскостью орбиты, то ма=О и — и'и —, 'рг = — г + го>. у 3 и'т где с~=о>>т(+о>а)+гон)с — вектор абсолютной угловой скорости радиуса-вектора г.
Таким образом, вектор скорости аппарата определяется выра- жением Дифференцируя зто выражение и учитывая, что — =вХу= ау аг =... — взг+в,а, получаем аР а2г а2г,,'~ —., ! г"з) ' т (г~а)l; ™~"'з~ — з) Подставляя значение для Рг/г(Р в исходное уравнение (2.89), имеем г — гв- '= 3 г2 1 — — (гзва) = О, г аг (2. 90) гв,"'з ае т Из второго уравнения данной системы следует, что состав. ляющая кинетического момента аппарата на ось Оа остается неизменной во времени г'аз=-сопз(. Обозначая Ь=г'гам представим первое уравнение, определяющее изменение расстояния аппарата от притягивающего центра, в виде Ьз г — — — —— гз гз (2. 91) получаем аг и — = — — l ° аг гс (2.
92) Аналогично =вХ/= ввг ( в~йт аг нли, так как согласно последнему равенству системы (2.90): а в1 . — — ~ г'"з и7 и га, — = — — ~( — 'к, иг гг а (2. 93) ~й л — — и7 — га., — =- — Х/'+ г' Х вЂ” = — в1/'= — — /. П аГ иг ' а (2. 94) |оо Для определения изменения плоскости орбиты аппарата иГ иг аа в пространстве найдем производные —, — н — единичных аг аг а'г векторов. Из очевидного равенства а — Х г' — взу аг и'ы ивз ' ' м' т7 — =УФ 00 (2.
95) й а, У Н0 агтЗ Решение первого уравнения системы (2. 95) известно: оно представляет собой уравнение (1.9)' кривой второго порядка. Это решение получено в предположении действия на аппарат постоянной бинормальной тяги. Следовательно, эксцентрнситет орбиты е и фокальный параметр р не зависят от действия этой тяги. Рассмотрим решение оставшихся трех уравнений систеэ!ы (2. 95) . В случае, когда а =О, имеем и —. на —. Л вЂ” =7, — = — г, —.=О. 00 'ив ' аз (2. 96) Представляя первые два уравнения в виде находим != А соз О+ В з!и 0, 7= А соз(0+90')-'В з!п(0-~-90')= = — А з!и 0+ В соз 0, где А и  — постоянные коэффициенты. С учетом начальных условий (0=0) А =-со В =./а Итак, двин.ение аппарата определяется уравнениями (2.91), (2. 92), (2.
93) и (2. 94) . Если изменение г, (, у' и и во времени задано, то движение аппарата полностью определено. Переходя к новой независимой переменной 0 и искомой функции )ч=1/г, преобразуем эти уравнения таким образом: можно записать решения снстемы (2.96) о=го соз 0+72 2)п 0, 7= — (о з!и 0-)-72 соз 0, где мь )о и гоо — начальная ориентация единичных векторов ),!' и гг. Постоянство ориентации единичного вектора го во времени означает, что положение плоскости орбиты в инерциальном пространстве сохраняется неизменным. В случае, когда а, ~0 и движение аппарата происходит по круговой орбите (г=а, г=О, 0 =Ь/аг или 0 = ()г/аз)"2, целесообразно снова вернуться к уравнениям (2.92), (2.93! и (2.94), записывая их следующим образом: — -';-(аг+ч') — =О, агз .,г! — -!- (аз + 02) т=- О, ф2~ и!2 — -!-(агЛ Зг) азо 2 ,г .Й игз ' ' а! где Ь аа., а= —, 3= — ' а2 ' а Решение этих уравнений, как легко проверить, будет 7=У, +Уз соотг+аз юп тг', 7= — — ' ( — Угзн1тг+Ззсоззт), а lг = — — (аг/, — ",2Х,созе! — 32,/ о)п ч|), аз где ( г )о -г а,г гго) 1 уг — 1 (а (о а,гао) 72 — г, ч=(аг ( рг)чг у 102 Заметим, что векторы гю, 7о и аа определяются в данном случае начальным положением и начальной скоростью аппарата.
Анализируя выражения для векторных постоянных Уь У и Уз, видим, что они взацмноперпендикулярны. Действительно, У, Уз=О, У1 Уз=О и Уг Уз=О. Положение апппарата на орбите в произвольный момент времени определяется вектором г = — аТ=-аУ, +аугсоз И-'-а Уз зш зт'. (2. 91) Поскольк) У, =сопй, из данного выражения следует, что движение аппарата происходит в фиксированной плоскости, перпендикулярной вектору,7„ по окружности с центром в точке г„=а1ь Замечая, что з — — — аг аз 1г'Уз=Уз'Уз = ю „яг а.
+ — '— а' найдем радиус этой окружности (а + — ') Отсюда видно, что текущий радиус орбиты меньше начального радиуса а круговой орбиты, Из этого равенства можно определить угловую скорость движения аппарата которая оказывается больше начальной угловой скорости обращения ъз= ) р)аз. Для более четкого представления физического эффекта действия бннормальной тяги допустим, что начальное движение аппарата происходило в экваториальной пло.
скости 1 у. В результате действия тяги Р- плоскость движения будет расположена на расстоянии гг'=аЯ вЂ” -- ' „, (а ~а + — ~ от центра притяжения планеты (рис. 2. 22). Угол 6 наклона этой плоскости к плоскости Ху будет определяться формулой 3 а, а=агс)я — ' =-агс$д — "а-', а гоз Это позволяет записать трн последних уравнения (2.95) в виде: — = — з+5(1 — Зе соя 6') )з, аз Л вЂ” =-- — 5(1 — Зе соя 9) зг, аз (2. 99) где с точностью до членов порядка е' а.а4 а и2а2 а. 5 =- — '= .' (1 — ег)2 =- —, !,з из г!аг При я=О решения системы уравнений (2.99) будут: з!.—.
5А+В я)п зв+Ссоя 6, )!= »В соя ы6 — з Ся!но!6, )з! = А — 5В я!и а9 — 5С соя з 9, где азг = 1+ 52, А, В и С вЂ” произвольные постоянный векторы. Решение при е~О будем искать в ниде (2. 100) зр = ! ! + е 212, ) = ) ! + е) г, )с = )с ! + е)сг. — '= — зг-'-5)гг — 35 соя 0 [А — 5В я!пю9 — 5С соя н0], лз асг — =- — 5уг-)-3»5 соя 0 (В соя 6 — С я!и «40). ав В результате интегрирования данной системы уравнений получаем 3 2 С вЂ” ГЗ!а(а — !) 8 )=5А -В язпы9+Ссояыв+ — е5' 'В [ З 4!с(с + О) 1 — [соз(а — !) З соз(а+ !) З ) +! ( [ а — ! а+! 2С, 2А — — + — [соя м9 — соя 91. зг ' чз (2.101) )00 Подставляя данные соотношения в уравнения (2.
99) и пренебрегая членами порядка ег, приходим к следующей системе уравнений: лгг =Уз ай Аналогично могут быть получены выражения для ! и й. Постоянные векторы Л, В и С определяются из начальных условий. Если при 0=-0, е =ее, у =Ее и й=йо, то ггоэ й=а(соз Ь,— е), г зш Ь = а )е 1 — ег з1п Ььо г=а(1 — есояп,), )ег = — '(1 —, е соэ й,), г (2, 102) Используем также уравнения для оскулирующих элементов орбиты а и е, которые могут быть получены из первых двух соотношений (2. 73) Иа 2аг!' аг ие (2. 10)а ) (2.103б) и'е — = — 2аг(е+сози). еЕ Ъ" Для простоты примем, что тангенциальная тяга Рг (илп ат) прикладывается к аппарату в перигее. 101 Движение аппарата определяется зависимостью г=п', где г и г определяются выражениями (2. 07) и (2. 101), соответственно.
Количественная оценка полученного решения и анализ движения аппарата усложняется наличием четырех основных частот ч, ы, ег — 1, пг+1. Нахождение решения в случае, когда условие е«1 не выполняется, связано с исключительно трудоемкой вычислительной процедурой. Не приводя здесь этого решения, ограничимся замечанием, что для эллиптических орбит (0<е<1) метод Крылова — Боголюбова можно применять, если а,.(~ — ег)г величина 5 = достаточно мала 1881.
фа Рассмотрим изменение некоторых элементов орбиты под действием непрерывной тангенциальной тяги. Для получения аиалп гического решения уравнений движения будем считать, что тяга прикладывается к аппарату, обращающемуся вначале (до приложения тяги) по эллиптической орбите с эксцентрисптетом е<0,2. При этом будем использовать следующие соотношения, устанавливающие связь между элементами орбиты с помощью эксцентрической аномалии (см. рис, 1. 3): Изменение большой полуоси найдем, поделив уравнение (2 103а) на последнее соотношение (2. 102): 2ае из, (2.
104) Изменение а за один оборот получим после интегрирования уравнения (2.104) за период обращения в соответствии с мето. дом Крылова — Боголюбова. Поскольку е мало по величине, то подынтегральное выраже. нне можно разложить в ряд по степеням е. В результате разложения в ряд и интегрирования имеем за=2да ~1 —: — — '+0(е') 1, зГ ез Зе1 е 4 64 (2. 105) где и 7=2ае — ' 0(е') — слагаемые, содержащие члены с е в шестой степени и выше.
Полученная формула позволяет оцепить влияние тангенциальной тяги на изменение большой полуоси за один оборот. Аналогичным образом после деления уравнения (2. 103б) на последнее соотношение (2. 102), интегрирования в пределах от 0 до 2л и разложения в ряд по степеням е получаем де= — ГГа'е ~1 — — +0(е') 1, 8 5ез 8 (2. 10б) За 2а Г, 3 — = — — ~~1 — .', — е -~О(е4) 1. зее('8 (2.107) Считая, что изменения Ла и Ле бесконечно малы, перепишем выражение (2. 107) в виде еа Ые1, 3 — = — — ~ 1 + — ез + О (е4)1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
