Алексеев К.Б., Бебенин Г.Г., Ярошевский В.А. Маневрирование космических аппаратов (1970) (1246622), страница 15
Текст из файла (страница 15)
е, при Оп=Оп"'. В остальных точках потребный импульс может значительно отличаться от оптимального. Оптимальной переходной орбите соответствует второй фокус, находящийся во внутренней области исходной и заданной орбит. Действительно, по мере перемещения точки Г (см. рис. 2.14) из внутренней области к любой из точек пересечения р — 0 и в пределе переходной эллипс вырождается в прямую с углом перехода 0 или 2п. Таким образом, той части гиперболы, которая заключена между точками х, и хз соответствует эллиптическая орбита. Если точку т перемещать еще дальше от точки х, или хм то а О. В пределе при а=О (точки у, и уз) переход осуществляется по прямой линии, касательной к обоим эллипсам.
В промежутках между точками х, и уь а также хз и уз имеют место гиперболы, вогнутые во внешнюю сторону (относительно эллипсов). По мере дальнейшего удаления точки т за точки у, и уз переходные орбиты становятся гиперболами, вогнутыми во внутреннюю сторону. В пределе, когда т удаляется в бесконечность, орбита перехода становится параболой. Ясно, что во всех последних случаях орбиты перехода (прямые линии, гиперболы и парабола) являются просто нереальными, а переходы в точках х~ и х2 по существу являются одноимпульсными и Определяют предельные случаи рсально возможных орбиталь ных переходов между пересекающимися орбитами. В частном случае импульсного перехода между круговыми орбитами касательный переход и переход с угловой дальностью и совпадают. В этом случае орбита перехода является половиной эллипса (ее называют полуэллпптической орбитой перехода).
Перигей орбиты перехода располагается на более низкой орбите, а апогей на более высокой (рис. 2. 18). В случае перехода на более высокую орбиту вначале (в точке П) космичеп скому аппарату сообщается и, ускоряющий импульс, а затем (в точке А) тормозной импульс. При обратном переходе очередность следования импульсов меняется. При небольшой разнице в высотах начальной и конг печной орбит величина суммарного потребного импульса может быть вычислена по Я формуле (2.
26) после под- становки ба,=ЬН=Н,— Нь ряс э. 1ц переход по эллингу хомана В более общем случае вели- чины импульсов, сообщаемых аппарату в точках П и А, находятся как разность скоростей в перигееэллиптическойорбиты при г~ — — й+Нь а=К+оН)2и первой космической на высоте Н,, а также в апогее при гз= =л'+Н,, а=Н+ЛН!2 и первой космической на высоте Н„соответственно. Сложение величин этих импульсов дает суммарный потребный импульс. Рассмотренный переход между круговыми орбитами является оптимальным и получил название хомановского перехода. Исследование орбитальных маневров при импульсном приложснпи тяги к аппарату выполнялось в предположении, что время депствия импульса тяги равно нулю.
В действительности это время конечно, в результате чего орбита перехода оказывается состоящей из активных и пассивных участков. Поэтому полученные ранее результаты требуют определенного уточнения. Из физических соображений ясно, что траектория активного участка полета аппарата наряду с ориентацией направления действия тяги зависит от ее величины (уровня) и времени приложения.
Следовательно, одному и тому же импульсу тяги может соответствовать множество возможных значений параметров траектории в конце активного участка. Последнее, в свою очередь, определяет множество последующих траектории на пассивном участке полета, представляющих собой кривые кониче- ских сечений. В этой связи интересно рассмотреть влияние конечной величины тя>и и времени сс действия на выполнение маневров орбитального перехода.
Предполжим, что управляющий импульс У создается в рсзультате действия на космический аппарат постоянной тяги за конечное время 1о Р=%l,т,, (2. 70) где В'о — эффективная скорость истечения; гп, — секундный массовый расход топлива. Связь управляющего импульса с расходом топлива на его создание определяется известной формулой Циолковского; У=. Ю',1г> >но — т~ ('2.71) где т,— масса космического аппарата до включения тяги. Интегрируя равенство (2.70) по времени („, находим Пгэо>т К р (2.72) Представим тягу управляющего ракетного двигателя в виде Р=пкото где л — безразмерный параметр, представляющий собой отношение тяги к начальному весу аппарата. Тогда с учетом равенства (2. 71) формула (2.
72) преобразуется следующим образом; ~к т„= — '= — (1 — е э), У и (2.73) 89 где т„— безразмерное время включения тяги; — — удельный импульс. %', А'о Из формулы (2.73) видно, что с увеличением импульса т„ асимптотически приближается к л-', Для оценки величины т„ (или й при известном У) могут быть использованы графики на рис. 2.
19, Конечное время действия тяги необходимо учитывать введением угла упреждения ф, который представляет собой угол между радиусом-вектором точки включения тяги н радиусом-вектором расчетной точки прило>кения мгновенного импульса. Величина этого угла определяется в каждом конкретном слу >ае интегрированием дифференциальных уравнений движения аппарата при действующей тяге. Заметим, что выполнение одного и того >ке маневра при мгновенном создании импульса и конечном времени действия тяги требует большей затраты энергии (топлива) во втором случае. Дополнительное увеличение энергии ЛЕ, приходящейся на единицу массы аппарата, вычисляется по формуле [11Ц дЕ = Ь'„д1'„ где Л'кк — приращение скорости аппарата под действием импульса тяги за время 1н.
!у ст гг гг св ау аг аг йу ае аз ц йа йе йг аз ал гг м ф Рис. 2. ИЬ Радиальное и угловое смещение точки ковка активного участка в зависимо- сти от н В результате конечного времени действия тяги в точке ее выключения произойдет также смещение космического аппарата по высоте относительно первоначальной орбиты. Однако расчеты показывают, что это смещение относительно величины начального радиуса-вектора составляет 10-4 — 10-з и им можно пренебрегать. Следовательно, учет времени га сводится лишь к определению учла упреждении. П 2А. МАНЕВРЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ НЕПРЕРЫВНОЙ ТЯГИ Определение изменений элементов орбиты под действием непрерывно действующей на аппарат тяги в общем случае ее ориентации в пространстве связано с численным решением дифференциальных уравнений дни>кения аппарата.
Точные и приближенные решения этих уравнений в виде обозримых аналитических выражений удается получить только для частных случаен приложения к аппарату постоянной, малой по величине, тяги. 90 и'гг / аа '1г и ,айаг ) нс ) гг Рис. 2.20 Действие ралиаль (2.74) ной и трансверсальной тнг — — (гг — ) =О. Из последнего уравнения непосредственно следует полученное ранее соотношение (1. 7) ггб ==6 = сон а1. Первое уравнение приведем к более удобной форме, принимая в качестве независимой переменной угол й, а искомой функцией у1 =11».
Учитывая, что с)гу1!ггй г= — (гг/йг) с)гг/аг1г представим это уравнение следующим образом: Нгу,, р. а, игг нг (г л 1 12.75) Полученное нелинейное уравнение не имеет решения в квадратурах. Однако длн малой по величине тяги (а„(~1ь1гг) решение может быть получено с поающью приближенных методов, например метода Крылова — Боголюбова 123), 186). Запишем уравнение (2. 75) в виде системы двух уравнений первого порядка; й'1'1 уг ггв (2.76) И ае ав Ьг аг "- тг Поскольку именно такая тяга может быть реализована в настоящее время, рассмотрим наиболее важные в практическом отношении частныс случаи, характеризуемые действием на аппарат радиальной Р„ трансверсальной Ра, нормальной к мгновенной плоскости орбиты (бинормальной) Рв и тангепциальной Рт тяг При этом будем считать, что масса аппарата за врехи выполнения маневра остается неизменной, Данное обстоятельство позволяет рассматривать при решении уравнений движения аппарата отношение тяги к массе аппарата как заданное по величине и направлению управляющее ускорение.
При анализе первого случая (рис. 2.20) воспользуемся уравнениями (2. 18), полагая па=О: При а„=О решение данной системы (1.9) в принятом обозначении искомых функций ! + е сов(0 — Во) У1= 1 Р ув= — — я!и ( — 8,) е Р (где Р=- — ), представим, имея в виду использование метода Крылова — Боголюбова, следующим образом: у,= А я!п (8+ф) + 0.2 (2.77) ув = А соя (9+ ф). Из выражения для у! в рассматриваемом случае следует, что у,=А я!пф соя В+А соя фя!и В+ 92 или г Р У! ! + РА в!и усов 6+ РА сов ф в!и 6 Сравнивая это выражение с выражением (1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
