Алексеев К.Б., Бебенин Г.Г., Ярошевский В.А. Маневрирование космических аппаратов (1970) (1246622), страница 10
Текст из файла (страница 10)
р, В) В' [у~ (е, р, В))в+ [ув(е, р, В))в максимальную скорость убывания й при з!и),—— (.(е, р, в! у'[/, (е, р, В)1в+ ! ув (е, р, В))в Отметим, что направления действия тяги, обеспечивающие постоянство и максимальную скорость изменения элемента А, как это видно из выражений (2. 11) н (2. !3), взаимно перпендикулярны, На основании полученных соотношений не составляет труда найти конкретные выражения для ориентации вектора тяги при сохранении максимальной скорости изменения того или иного элементов орбиты или постоянства одного из следующих элементов: — эксцентриситета в)па(! + е сов В) ф е совв В .+ 2 сов В + е — расстояния до перицентра ЬО в(п В (! + е сов В) 2 (! — сов В) + е в)пв В (2.
16) — большой полуоси е а1п б (й Л вЂ”. 1+есова е сват Ь+ 2 сов О+ е Мпа(1+ е<овэ) 2(1-- сова) Ч- е а~птэ М)=— в1п Э (1 -1- е соа 9) 1+ е сов в Ф'= ее)па Из приведенных формул видно, что направление действия тяги зависит от эксцентриситета и истинной аномалии. Послед- Рнс. 2. 3. Направление составляющие вектора ускорения ние удобно выразить через координаты местоположения аппарата и составляюшие его скорости в полярной системе координат. С этой целью перепишем уравнения (2.2) в сферической системе координат г, В) и ср (рис. 2,3) г — г0т соз ~р — гот = — — + а„ га 2гВсово+ гВсоз о — 2г(нр иир=аи 2го+ гат з1п о соз у+ гу =ат (2. 17) о1 в случае максимальной скорости изменения указанных элемен.
тов соответственно имеем В случае плоского движения аппарата (~1 =0) эти уравнения. приобретают впд г — гУ== — — '-' а„ гз (2. 18г ! Ф вЂ” — (гз0) .=. а~,. сИ 0 з(п 0= )у (гг";, — р)':ч(Л',~,,)' ' (2. 19) сов Ь= )г'( рг „)з+( г н )з ' Следовательно, ориентация вектора тяги в плоскости орбиты может быть произведена по рсзультатам измерения г, г и гп. Количественная оценка изменения элементов орбиты обычно. производится решением уравнений (2.17) и (2.18) одним из приближенных методов.
В случае плоского движения прн а„=а~ =О система уравнений (2.18) имеет два интеграла: интеграл энергии (на единицу массы аппарата) 1г2 (2. 20а) 2 г где )/т=гз+ (г0)2 и интеграл кинетического момента (на единицу массы аппарата) л=гзо (2. 206) Эти интегралы могут быть использованы в качестве искомых функций системы уравнений (2.18), которые перепишутся тогда в виде — =а г= г — соз >, П т (2.
21) — = а,г + а~г0 =- (г — соз (г, — 0). га ж Здесь Х обозначает угол между вектором тяги и трансверсалью. л2 Измерение Расстояния г мсмгду призягнваюшим центром и аппаРатом, радиальной )г,=г и трансверсальиой (го =гз составляющих вектора скорости Г аппарата позволяют вычислить эксцентриситет и истинную апомалшо. Соотвстствующпе соотношения нетрудно получить с помощью выражений (1.8), (1.9) и (!. 45), записанных для точки измерений. Выполняя необходимые преобразования, находим 1'г (г Ъ'~ — Н) + (г)г,)гз)з, На основании приведенных уравнений текущее положение космического аппарата на орбите и прикладываемое к нему управляющее воздействие определяются соответственно трехмерными векторами состояния Х=(Х,ХрХ,) н управления й= =(и,ирир).
При этом движение аппарата Хт(() описывается системой дифференциальных уравнений л;=- Г,(Х,ХрХр и,, им ир) (=-1, 2, 3. Общая задача о переходе аппарата между двумя орбитами сводится, таким образом, к отысканию решений данной системы уравнений, обеспечивающих минимум приращения характсристической скорости, Г!окажеэт возможный способ нахождения этих решений для рассматриваемого случая. Параметры орбитального движения аппарата (элементы орбиты) могут быть вычислены прн задании й и Е. Примем в качестве составляющих вектора состояния Х1= йр Хр=Е. Третьей составляющей будем считать характеристическую ско- рость аппарата Хр= ) ""~ где (р — время начала процесса управления; ит — текущее значение массы аппарата. Результат действия на аппарат тяги двигателя зависит, как уже отмечалось, от величины тяги Р, ее ориентации по отношению к трансверсали Л и от положения аппарата на орби~с б.
Следовательно, составляющими вектора управления можно считать иэ=Л, из=9, где Р— максимальная допустимая величина тяги. Изменение и, заключено в пределах 0<и, <1, в то время как изменение ир и ир практически неограничено. Из уравнений (2. 21) несложно получить Р 21 Х~ рсоео, ох~ т ег 1+ егози, 1х,— ' 1Хз ге [соз из-',- е соз (из+из)[. р Уравнение, описывающее изменение Хз в соответствии с выражением для характеристической скорости, будет аХ, Р Анализируя полученные уравнения, видим, что время не входит явно в их правые части, что позволяет перейтп к новому аргументу. Таким аргументом можно принять характеристическую скорость в силу монотонности се изменения с течением времени, т. е. Тогда уравнения движения аппарата приобретают вид (диффе- ренцирование по новому аргументу обозначено точкой) 2 1' х[ Р со е аг 1= 1+ е соеиз =21 Х.= — — [соз и, с е сов (и, [-из)1=7'„ 1 Х! Р (2.
22а) Х =1= 1'а. се= — '~'(з — з (1=1, 2, 3) (2. 22б) Искомый оптимальный переход аппарата между орбитами является решением полученных систем уравнений (2.22), причез Задача управления состоит в выборе такого вектора й, который обеспечивает переход с начальной орбиты Хо на конечную Х, с минимальным значением Хе„,. В соответствии с принципом максимума Понтрягина уравнения дан>кения аппарата следует дополнить следующими уравнениями относительно составляющих Фь фз п Фз сопряженного вектора ф вектор управления выбирается из условия максимума гампльтониана з Н ~ ~.-У'Х ~ + 1+ е сох ее в — (сояце —' ,есоз(пг (-пз))+Эз~ Р при следующих граничных условиях; Х.(О) =Хо, Хе(1о) =Х;о, е'=1, 2, 3.
Время окончания процесса управления Со илп при иовом аргу- менте — Хек, находится из равенства Н(Хзв) =0 Заметим, что выражение гамильтониана не содержит иь Макси- мум Н может быть достигнут при из=О или и, из=О илп и. Физически эзо соответствует приложению тяги к аппарату в апсидальных точках оскулирующпх орбит по касательной к орбите. Данное требование точно выполняется при неограниченной тяге (импульсный режим). Если тяга ограничена, то это требование удовлетворяется путем многократного вклю ~ения тяги на время пребывания аппарата в окрестности указанных оптимальных циклов, Определенис моментов переключения управления, связанное с интегрированием уравнений (2.22а) и (2.22б) при оптимальных значениях и2 и им по прпчппс громоздкости здесь не приводится. % 2,2, МАНЕВРЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИМПУЛЬСНОЙ ТЯГИ При установлении связи между элемептамн орбиты и прило.
женным к аппарату импульсом тяги будем пренебрегать изменением радиуса-вектора е орбиты и массы гп аппарата за время действия импульса тяги 1ч. Тогда единственным следствием действия импульса тяги будет изменение вектора скорости Г аппарата. Данное обстоятельство позволяет непосредственно получить с помощью уравнения (2.!) следующее уравнение возму.
гценного движении аппарата: еар Р (2. 23) записанное в инерциальной системе координат. 55. Учитывая малость времени г„, в качестве такой системы коор. динат удобно принять систему, оси которой ориентированы по осям естественного трехгранника орбиты певозмущеииого движения до приложения импульса, так как поворотом этих осей за время („можно пренебречь. Тогда уравнение (2.23) будет определять движение космического аппарата относительно первоначальной орбиты под действием тяги управляющего двигателя. В качестве координат такого относительного движения примем следующие; Л(г — изменение скорости аппарата по модулю; Лч — угол поворота вектора скорости в плоскости первоначальной орбиты и Ло ' — угол поворота вектора скорости относительно плоскости первоначальной орбиты. Для изучения движения космического аппарата в приведенных координатах спроектируем уравнение (2.23) на оси естественного трехгранника относительного движения.
В результате имеем Рг г м г лг т цч т дла~, Рл Ь' лг т где Рз<з=т,л, н> — проекции тяги на касательную, нормаль и бинормаль, соответственно; У вЂ” величина скорости движения аппарата па первоначальной орбите. Пренебрегая изменением Г за время действия импульса и выполняя интегрирование по времени 1„, находим (2. 24) где Уравнения (2. 24) могут быть использованы для определения изменений элементов орбиты под действием импульсной тяги. При этом, учитывая независимость этих уравнений, рассмотрим последовательно действие импульсов тангенциальной, нормальной и бинормальной сил.
Предположим, что на космический аппарат действует таигенциальная управляющая сила Р=Ртег в течение малого времени ~,. Установим связь тангенциального управляющего импульса Уг с изменениями элементов орбиты. Так как этот импульс дей- ствует в плоскости орбиты невозмущенного движения, первоначальное положение плоскости орбиты в пространстве пе изменится. Поэтому изменения таких элементов, как наклонение орбиты и долгота восходящего узла будут равны нулю.
Из равенства (1. 15) следует, что изменение скорости космического аппарата приведет к изменению большой полуоси эллиптической орбиты. На основании равенств (1. 15) и (1. 17) имеем ()г-и Л(г)з-; со)~л ( —— а+ ааг Отсюда с учетом равенства (2.24а) находим !г" гсг ~аг —— — а, 2Г !асс — (""+ тт)З (2.25) Аналогичным образом на основании выражения (1.32)' при малых Ла гт н ут получим формулу для изменения большой полуоси гиперболической орбиты 2а~г!г Лагг --' аг. (2.27) г'„я Чтобы определить изменение остальных элементов эллиптиче. ской орбиты, воспользуемся основным свойством эллипса, согласно которому сумма расстояний от любой точки эллипса, до его фокусов есть величина постоянная, равная большой осн, т. с.
(2. 28' г+ га = 2 а. Так как во время действия импульса с=сопя(, то Лгз=2Ла. По. этому под действием тангенциального импульса (рис. 2,4) расстояние от точки Л4 (точки приложения импульса) до второго фокуса гз орбиты должно измениться на величину Лгм следовательно, второй фокус сместится в точку Рл'. В результате сме. шения второго фокуса изменится межфокусное расстояние 2с на величину 2Лс и линия апснд повернется на угол Лаи что приведет к соответствующему изменению аргучента перигея. Эксцентриситет эллипса (н гиперболы), как известно, определяется отношением чежфокусного расстояния к большой осп тс с е аа и (2.29) 57 Обычно Лат«а н аг«)г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
