Алексеев К.Б., Бебенин Г.Г., Ярошевский В.А. Маневрирование космических аппаратов (1970) (1246622), страница 9
Текст из файла (страница 9)
При выполнении некоторых маневров желаемое конечное состояние аппарата задается безотносительно ко времени, например при снижении и посадке аппарата. Наиболее простой путь к решению уравнений (2.2) состоит в задании составляющих вектора управляющего ускорения в виде ГЗ„-=à — + В„, 2'„, (Г) + И22~„2 Я, па= — "", +йп1п И) тйз21з2(г) гЗ аз =.
— "+ И,ЗУ„(1)+ л,2) „(г), гЗ (2. 3) где А;;и=,„,, 2, и — постоянные, козффициенты; ,„, т км — функции времени. Подставляя эти значения для а„, ах и а, в уравнения (2.2), получаем линейно независимую систему уравнений: ~г12кЧ (") Г ~г2 1к2 (") лги йЗЪ|И (~)+~У2г УЗ (") г222 — "' = А„~„(г)+ й,,~„(т). (2. 4) 45 Вдесь г= хзг+у7-(-та; а - — =а,2 'газг'-~-азй — вектор управ- ЗЗ лающего ускорения; Р— вектор тяги.
В проекциях на оси ннерциальной базовой системы координа2 ОХИ с началом в центре планеты имеем Определение коэффициентов )го и функций времени )м(~) рассмотрим на примере первого уравнения (2.4). Предварительно заметим, что выполнение условий (2.3) предполагает применение двигателя с регулируемой тягой, создающего ускорение, модуль которого определяется равенством (а~ = 1/ аг+ а"; + а',. Поскольку граничные условия известны, то в результате двойного интегрирования первого уравнения (2.4) находим с, После вычисления интегралов получим алгебраическую систему из двух уравнений для однозначного определения )г„1 и н„г. Основная задача заключается в таком задании функций )ы(~) и ) г((), при котором приращение характеристической скорости будет минимальным.
Можно показать, что при сравнительно малом изменении радиуса-вектора г как по направлению (поворот аппарата по орбите на небольшой угол), так и по величине (незначнтельное изменение высоты вилара~а за время действия тяги) приращение характеристическои скорости по всем трем осям минимизируется, когда ),, (() =)г,(~) =)„(() =1, ггг(г) =ггг(г) =)*г(г) =г — гг.
Вычисление )го производится по указанному выше способу. Таким образом, требуемый закон формирования управляющего ускорения будет а, =- — +~г. г —,й..г И вЂ” ~г) нх гг ггд, Г йу1, ~гг(~ О)' нд Г (2. 5) а,= — +я,г —,я,г(г го) ° вг Гг Эти выражения определяют величину и направление вектора управляющего ускорения, обеспечивающего выполнение орби- тального маневра. Однако в случае непрерывного приложения к аппарату тяги полученное решение трудно реализовать, поскольку величина тяги обычно несоизмеримо мала по сравнению с ньютоновской силой притяжения, т, е, ~а~ << — ".
Данное обстоягв тельство, с одной стороны, исключает возможность выбора законов управления в форме (2. 5), а с другой — служит обоснованием применения при решении уравнений (2,2) как классических методов теории возмушений небесной механики, так и других асимптотических методов. В гл. ! показано, что орбита невозмушенного движения аппарата представляет собой коническое сечение (эллипс, парабола, гипербола), для вычисления которой необходимо шесть элементов, а именно: — наклонение 1 н долгота восходяшего узла в), задаюшие ориентацию плоскости орбиты; — длина большой полуоси а и эксцентриситет е, определяющие геометрию орбиты; — аргумент перицентра со и время прохождения 1п пери- центра, фиксирующие положение орбиты в ее плоскости.
Заметим, что некоторые из указанных элементов орбиты мо. гут быть заменены другими равноценными им элеменгамп. Так. вместо длины большой полуоси нередко принимается параметр орбиты р, в случае плоского движения аппарата, когда наклонение и долгота восходящего узла постоянны, в качестве элементов орбиты рассматриваются расстояния до перицентра гп и апо. центра г„. Изменение элементов орбиты в возмущенном движении аппа,- рата в зависимости от составляющих вектора управляющего ускорения а по радиусу-вектору ас, трансверсали ав и нормали ав к плоскости орбиты определяется следующей системой дифференциальных уравнений, которые приводятся здесь без вывода[27): и'1 / р сопи Я., и'1 ~' и 1+ е сов 9 ве )// и 1+есов — 1/ Р '(ез(п ба,+(1+е сов й)ав], (2.
6) ие (1 — е)в йе / р / . 1 есовва-Ь2сова+е — — ~з(пба,+ йе )/ 1с (( ' 1+есова ! / р ( о вппа(2+есова) есвя1в1пи — = — в / — — соз оа,+' ' свв— ав йЕ е )/ и ~ 1+есова 1+есава 47 ~(едгз)п й — сов Ь)а,з- а!1 М и! еп(! +ессеи)о ~ ! + есоез и=ы1 )), где 2 созвав ! + е соса ~ (! + е сое Э)е о е /р" Р' à — 1п =-р ~/ и „()Ч-ессеи')! ' о Учитывая, что р=-а(1 — ео) г„=-, г,=- ! -',-е ! — е легко найти ар, Гр — = 2р ае, ог ~/ н )+ессеи р 1 . о ! 2(! — соса)+еыпа 1 — — з)поа,+ ао~ ° Н 1 '+ )-!-есоей Г р ! ., 2(! -)-соха)+еыпса 1 1~ — з)п оа,+ а, Р !+ессеи аг„р о'е (! + е)о ага р е'Е (! — е)с (2.
7) Определение из этих уравнений явных зависимостей элементов орбиты от приложенного ускорения в общем случае представляет серьезные трудности. Не меньшие трудности возникают при проведении параметрического анализа полученных решений с целью установления зависимости между требуемым изменением оскулирующих элементов орбиты и действующей на аппарат тяги.
Поэтому целесообразно вначале составить на основе приведенных уравнений общее представление о влиянии ориентации в пространстве постоянной по величине тяги на характер изменения элементов орбиты. Из первых двух уравнений системы (2.6) следует, что изменение положения плоскости орбиты происходит под действием составляющей тяги, кормальной к мгновенной плоскости орбиты. Причем для обеспечения монотонности изменения этих элементов орбиты во времени необходимо периодически менять при и= -!- †' и и=п направление действия 2 тяги на противоположное. Изменение большой полуоси и эксцентриситета (третье и четвертое уравнение системы (2. 6)) зависит от составляющей тяги, расположенной в плоскости орбиты.
Естественно, что ориентация этой составляющей по отношению к радиусу-вектору определяют скорость изменения этих элементов. Наконец, последние два уравнения системы (2.6) свиде- гельствуют о зависимости положения орбиты в ее плоскости от действия всех составляющих вектора тяги. В случае плоского движения аппарата (а.- =О) уравнения (2.7) позволяют сравнительно просто выбрать такое направление действия постоянной по величине тяги, при котором элементы орбиты либо остаются постоянными, либо изменяются с максимальной скоростью [27). Обозначив Л угол между вектором тяги р и радиусом- вектором аппарата г, представим а,=а сов Л, а,= — ая1пЛ, где а= [а[.
(2. 8) Примем в качестве элементов орбиты е, р, сп, г„, г„а и перепишем соответствующие уравнения систем (2.8) и (2. 7) с учетом равенств (2.8): не / р !... есоввЭ+2совз+е — =а — я!и и сов л+ я!и л е/Е [/ Н ~ 1+есовз ар, / р 1 — = 2ар я!п Л, М/ 1/ Н 1+ е сов Э /а а Гр[ в!и Э (2+е сов Э) — — — — сов Ь сов Л вЂ”; в!и Л, (2, 9) И/ е 1// и ~ ! + еспвЬ е/г„ар Г р 1 2 (! — спв Э)+е в!пв Э вЂ” — — я!и Ь сов Л вЂ” ' я!и л а/ (! + е)в )// ! + есовЬ с!гв ар Г р 1 .
Ь, 2(!+совЭ) — еслпвЬ . 1 — в!п Ь соя л+ я!и л ае (1 — -е)в [// !в ~ 1+еспвЬ вЂ” // — [е в!и Ь соя л+(! + е соя Ь) я!и Л[. На 2ар р ~/Е (1 — ев)в р Н Приведенные соотношения, следуя методике работы [27], можно записать в общем виде а — ==[!',(е, р, Э)совл+ Р',(е, р, Ь)яьаЛ, (2.10) с/Е !' !в где й — любой из шести рассматриваемых элементов орбиты; 1! и )в — известные функции е, р, О. Управление, обеспечивающее постоянство элемента й, находится из условия с(/с/с((=0, откуда в соответствии с уравнениями (2.10) находим (я л.=— /ю(е, р, Э) /в(е, р, Ь) (2. 11) 49 Уравнение, при котором изменение элемента й максимально, определяется в предположении независимости а от )с из условия — — [ — „7,(е, р, Ь) з!пЛ+ Гв(е, р, Ь) соз 'в]=0, (2.12) дх де В ~ откуда ! ) Ув( Р В) (2.
13'т У1(е, р, В) Подстановка значений для з[п й и сов Х в соответствии с выражением (2.!3) в уравнение (2. 10) дает — — 1/[у,(е, р, Ь)]' + [Л (е, р, Ь)]'. (2. 14у д! Для определения характера изменения элемента А (возрастание или убывание) вычислим вторую производную по ). от с(й/Ж. Продифференцируем выражение (2, 13) и с учетом значений з[п Х и сов ). получим двв дс )'и — — — -+ — У [)1(Е, р, Ь)]в+[(Л(Е, р, Ь)]', (2.15) Сопоставляя уравнения (2.14) и (2.15) заключаем, что управление обеспечивает максимальную скорость возрастания элемента й при ув(е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
