Алексеев К.Б., Бебенин Г.Г., Ярошевский В.А. Маневрирование космических аппаратов (1970) (1246622), страница 14
Текст из файла (страница 14)
е. управляющий импульс является тапгенциальным. В результате такого маневра космический аппарат переходит с круговой орбиты на эллиптическую, перигей которой совпадает с точкой М, а апогей находится над точкой С исходной круговой орбиты. Двухимпульсный орбитальный переход. При осугцсствлении двухнмпульсного орбпгальпого перехода к космическому аппарату последовательно прикладываются два импульса тяги )правляющего двигателя: один в некоторой точке первоначальной орбиты, второй — в точке заданной орбиты. Под действием первого импульса аппараг переводится на орбиту перехода. Второй импульс после векторного суммирования со скоростью движения аппарата в конечной точке орбиты перехода обеспечивает полет по заданной орбите.
Для каждой пары орбит существует бесчисленное множество орбит перехода, определяемых относительным положением точек начала и конца перехода, а такхсе положением начальной точки па исходной орбите (нли конечной точки на заданной орбите). Поэтому для анализа двухимпульспого перехода необходимо наложить определенное условие на переходную орбиту.
В качестве примера рассмотрим два случая перехода между компланарными эллиптическими орбитами. Положим,что начальная точка Л2 н конечная точка Л2 орбиты перехода находятся на угловом расстоянии, равном л. Отмечая элементы исходной орбиты индексами 1, а конечной — индексами 2 с учетом связи между истинными аномалиями точек А, и А2 (рис. 2.!2), имеем 92= — Ь, +и, ~22 ~п д92 79 Запишем уравнение (1.9) в точках А~ и Аг для исходной н пере. ходной орбит, а также для заданной и переходной орбит, соот- ветственно " Р| Р гт = 1 + с~ гон Ь~~ 1 -1- с гов й1 Рг г 1 — се сот(ьп — лат) 1 — с соа й~ Отсюда находим рг~гг Р= г~ -'-, гг есозб,— -:— гг — тч г -т- Г! (2.62) Равенства (2.
82) определяют элементы р и е орбиты перехода при опРеделенных значениЯх гь г, и бь Ьу Яр а тес бд эд, г, ечаиь ап>п Рис 2. 13 Дпаьраыыы сьоростеи Рис. 2. 12. Двухиьтпульсный переход с разностью аномалий !ВО'. т — перицентр напальной орбиты; г"-нерп центр орбиты перехопа; 3 — перниентр ко.
пенной орбиты )г, = 1/ — ' (1+ в сов и), (г р =-1/ — ' е з)п й. Р )г Р " 3,темснты переходной орбиты приводятся без индексов. На основании выражений (!. 8) и (1. 45) имеем с,~едующие формулы для горизонтальвой и вертикальной составляющих скорости полета по эллиптической орбите: Исходя из диаграммы скоростей (рис. 2.
13), применяя зти фор- мулы к точкам А, и А2 с учетом пх диаметральностп и соотноше- ний для истинных аномалий, получим ч 1'„Р.— ~, — '- (е, з)п йм), Р1 — (1 >в е сов 91), Г Р !Ъ,=-~~ — '" (! — азсоз(!)и — аз2)), !' 222 ' е2 з1п (611 д' 2) Рз !Р2, 1/ — (1 — е соз 61), )' Р (2.63) Уза =- — Ь'ю Суммарный управляющий импульс определяется выражением / / 1 У )/(~/ )>' )2+(~/ ~/ )2+ где — . ')Р(р'22,— ~'2.,)' -)- М + '~2) .
(2.64) Так как злемеиты исходной (Р1, е1) и конечной (Рм е2) орбит заданы и известно их относительное положение, определяемое углом м2, то, как видно нз выражений (2. 63), для каждой начальной точки перехода, характеризуемой истинной аномалией 611, существуют вполне определенные значения !'11,, У112, Р22, и )>22„. В качестве независимого переменного в последнем выражении можно принять )12. Тогда необходимое условие минимизации суммарного импульса будет ИГ1 — =О. Л'11 Подставляя сюда выражение (2. 64), после дифференцирования и несложных преобразований получим уравнение ->~ еа(! и )' >гк)" б! >к()Р>1+1 222) Корни этого уравнения кп«а~ъ»«+ ьэг»зг'1« »»= з~ 3» ~~ ьг (2.65) определяют экстремальные значения 7и. Вторая производная при Г» — — ~'»«может быть преобразована так: Учитывая, что $'„«является конечной величиной, можно утверждать, что д~'„-+- д~',„ф- О.
Следовательно, при Г„=Р„» ~ )О. г1ь'"„ Это неравенство является достаточным условием минимума. Поэтому после подстановки выражения (2. 65) в выражение (2. 64), получим д з ~/2 ( ) ~ (ива+ ь22») ' (аь'» ~ зь«.)') Очевидно, что если Лры и ЛГг„имеют одинаковые знаки, необходимо в формуле брать «+», а в противоположном случае— знак « — ». Следовательно, имеем два выражения для минимального суммарного импульса: — при одинаковых знаках ЛГ,, и Ь~Г1,, — при различных знаках ду, и д(гз у~ .~«=-У(('иа+ ('ж.)'(-(ар' » — а('~х)' в2 Эти выражения определяют минимальную величину. суммарного управляющего импульса при определенной точке А1 исходной орбиты (и соответствующей ей точке А» заданной орбиты).
Однако путем выбора точки А, (истпнной аномалии ди) можно осуществить дальнейшую минимизацию импульса Уг. В результате получим импульс, соответствующий оптимальному пере- ходу. Для определения условия оптимальности представим вы- Ражениа длЯ Уг !2ы в виде ук „„.„=-=1/ — ' 3/(Х! — Х2)2 — ', (у, — У2)' (2.66) Ф' Р! (зг!!,) ! (Д( 2!) тг — '.
Р "'! !2 У! = )7Ъ 1Г ., БезРазмеРные паРаметРы х!, хм У!, У, ЯвлЯютсЯ фУнкЦиЯми истинной аномалии 6!, п с учетом выражений (2, 63) могут быть представлены в виде х,= ' — — 1 (1+а!соз6!!), Р Р! х2 = — 1 [1 аз соз (Ьп ЛЕ2)[ Рг Рз у,=е, з!и Ьп, уз= 1/ — Р2 з2п ( !! д62) ° Р! Р2 д (Х, — Х,) (Х, — Х,) —,(У, — У,) — (У, — У,)=0. Нзн ' -' ' ' дз2! После подстановки в это уравнение равенств (2. 67) и представления р в виде функции 6!! с помощью равенства (2. 62) и соотношений для истинных аномалий можно получить уравнение.
которое определяет значение 6|!, соответствующее оптимальному переходу. Однако это уравнение является трансцендентным и его анализ в общем виде затруднителен. Поэтому воспользуемся приближенным решением, которое можно назвать условием практической оптимальности. Последнее может быть получено с учетом следующих соображений. При выбранном способе орбитального перехода переходная орбита (в геометрическом смысле) является средней меигду исходной и заданной (см.
рис. 2. 12), Оптимизация орбнтальпого перехода может быть выполнена минимизацией подкоренного выражения (2. 66), так как р, является постоянной ве.чичиной. Следовательно, условие оптимальности будет причем величина р, как правило, незначительно меняется с из- менением би. Тогда, принимая — — 1 = 1 — — = сопз(, Р - Р Р! Р. получим — (х,— хг) =- 1 — — 1 (у,— у,). па, условие практической оптимальности будет Следовательно., и| =уг. Отсюда ег ггв даг (2.68) Р егсоедаг — е~ ~ Р| а оптимальный импульс ,' я эи оег=(х1 — хг) 1/ Р1 Равенство (2.
68) дает два значения истинной аномалии 61ь отвечающих условию оптимальности. Только в одном частном случае, когда е, — ' с(; ег соз двг, 1д двп = 1~ дйг Г Р1 и истинная аномалия точки начала перехода имеет одно значение ве дч Проанализируем случай касательного перехода, когда переходная орбита касается в точке А, исходной, а в точке Аг заданной орбиты. При этом будем полагать, что аг)аь Если орбиты не пересекаются, т. е. выполняется условие а~<а(аг, то, как видно из рис.
2. 14,,РгР 1=РгА~ — Р ~Аь РгРгг= =РггАг — РгАг. Учитывая следующие равенства: Р,А, +Рг1А1=2аь Р,Аг+Рг,Аг=2аг, (2. 69) Г~А1+РгА1=2а, Р|Аг+РгАг=2а, которые отражают основное свойство эллипса применительно к точкам А~ и Ам получим Р,рм+Р,Г„=2(а — а,)+2(аг — а) =2(аг — а,) =сопз1. Это равенство позволяет сформулировать следующую теорему. При касательном орбитальном переходе между непересекающимися эллиптическими орбитами геометрическое место вторых фокусов переходной орбиты является эллипсом, фокусы которого совпадагот со вторыми фокусами исходной и заданной орбит, а больгиая полуось равна разности больших по.гуосей этих орбит.
Рис. 2. 14 Двухимпульсиый касателыгый переход между иепересеквюгпимися ор- битами При пересекающихся орбитах а)аг)аг на основании рис. 2.15 имеем ГгГгг=ГгАг — г"'ггАг, Ггргг=ргАг — рггАг Используя соотношение (2. 93), находим тгЕгг — тгГгг=2(аг — а) — 21аг — а) = — 2(аг — а,) =-сопз1. Отсюда следует теорема. При касатеггьном орбита,гьнои переходе между пересекаюгг1имися эллиптически ии орбитами гео- А, Рис.
2. 1б. Двухимпульсиый касательный переход между пересскающимпся орбитами метрическое место вторых фокусов переходной орбиты является гиперболой, фокусы которой совпадают со вторыми фокусами Рис. 2. 16. Зависимость величины импульса от отношения фекальных параметров конечной и начальной орбит для практически оптимального перехода ФРЕДИ 0 - уп„ "а .тп йп Юа гйй гбайФ гра~ Рис. 2. 17. Зависимость истинной аномалии точки начала перехода от утлоаого расстояния между перицснтрами начальной и конечной орбит йй исходной и заданной орбит, а большая полуось равна разности больших полуосей орбит. Каждому из положений фокуса на указанных кривых (эллипсе или гиперболе)'соответствует определенная орбита перехода, характеризуемая точкой А, (ее истинной аномалией Оп). При определенном значении бм имеет место оптимальный переход с минимальным суммарным импульсом.
Расчеты, выполненные в работе [1171, показывают, что истинные аномалии бп и величины импульсов при оптимальных переходах в обоих рассмотренных случаях (когда разность истинных аномалий точек А, и А, равна и и в случае касательного перехода) очень близки и мало отличаются от соответствующих значений для оптимального перехода, полученного путем вычислений на цифровой машине без ограничений орбиты перехода. Поэтому для оценки условий оптимального перехода между эллиптическими орбитами можно использовать полученные выше выражения (2. бб) и (2. б8) .
В качестве иллюстрации па рис. 2.16 приведены графики зависимости Укььт!1 р(р~ от рэ|р~ для нескольких значений Лбз (отмечены на графиках в градусах) при е~=ез=0,2, а на рис. 2. 17 графики бп ". в функции Лбт (на графиках отмечены значения рз/р,) при е,=еь Указанные выше расчеты также показывают, что в случае непересекающихся орбит касательный переход очень близок к оптимальному для любой начальной точки перехода (любого значения бп). При пересекающихся орбитах касательный переход является удовлетворительным лишь в точках Аь соответствующих истинному оптимуму, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
