Константинов М.С., Каменков Е.Ф., Перелыгин Б.П., Безвербый В.К. Механика космического полета (1989) (1246269), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Тогда (3.30) есть линейная ~неоднородная система относительно г(С~/г(1, е(Сг/Ж, ..., а1С6/Ж. Раз~решимость этой системы относительно не- известных (г/С,/~й, г/С2/Ж, ..., г/Сб/й) следует из предполагае- мой независимости пе~р~вых ~интегралов уравнений возмущен~но- го дв~ижения, константа~ми которых являются Сь Св ..., Св Та- ки~м образом, из системы шести л~иней~ных алгебраических урав- нений (3.30) можно определить дСр/Ж, дСз/Ж, ..., г(С~/Ж. Но Сь С,, ..., С6 есть оди~н из возможных наборов оскулирующих элементов.
Под системой Сь См ..., С, мы можем рассматри- вать элементы р, е, ..., /н. Замечание /. Если имеется воз~можность пользоваться од- ином из равенств (3.25) ~в виде пе~рвого интеграла невозмущен- ного движения фз(х,у,г, 1'„,Уу, У„/)=См (3.31) 113 то в соответствии с приведенным выводе~и можно утверждать, что дифференциальное уравнение для оскулирующего элемента С; и|меет иид юЮСЮ дщ дзгЮ дтЮ вЂ” = — Фх+ — ФУ+ — Ф,. юЮЮ дгггх дю"у д югг Замечание 2. Понятно, что есл|и удается ~разбить систему (3.25) на независимые по константаы интегрирования подсистемы, то ~и система алгеб1раичееких уравнений (3.30) относительно ю!Сю/Ж, ю!Сг/Ж, ..., ю(СБ/ю!! разбивается ~на подсистемы. Этим целесообразно пользоваться для уменьшения т1рудоемкости вывода у~равнений для оскулируюпуих элементов.
Уравнения для оскулирующих переменных р, 44, ! Проекции вектора площадей о на оси экваториальной системы координат (ом. (2.72)) имеют следующий вид о„=оз!п !юз!пю; оу — — о соз (ю 5]п (; (3.33) О,=ОСОБ!. С другой стороны, о„, оу, о, как постоянные ~интегри~рован~ия невозмущепного движения определяются из ра~венства ю / /ю х у г ]ю уу о=[о„, о„о,]=(гхГ]= (3.34) 114 Используя (3.33) и (3.34), получи~м — уГ, + гает + о яп (ю яп ю' = 0; — г)юх+ х]ю, — о соз (ю Яп ю' = 0; (3.35) хг У + у У х + о со5 ю = О. Систему терех,равенств (3.35) можно рассматривать ка1к незавиои~мую подсистеюиу системы (3.25) от~нооительно трех констант ~интеприрования о., (ю, !. Уран~ненни (3.30) для подсистемы имеют вид .
ко . юююю юй 51п Бю 5!п ю — + о соз юг 5!и ю — + о 51п Бю соБ ю — = ююю юн ж = — гФу+ уФ,; . ююа... юююю ю11 — соз(юз!Пю — +аз]п(юз]п ю — — осоз(4 созю — = (3 36) ююю ююю ююю =- г Фг — х Ф„. юю о .. гююю созю — — ояпю — = — уФ. +хФ . г У' Решение этих линейных алгебраических уравнений относима в 11 Еи тельно —, —, — дает возможность получить вс з11 Ж .
ве мз ззпз — + осозс — ' = — г(Ф„зспй+ Ф„созЕ2)+ вс вч + (у яп зз + х соз зз) Ф„ (3.37) о — = Фм (У Яп ( — г сов с сов Е2) + Ф„( — х ззп ( — г сов с Яп Е)) + мс в'с + Ф, сов 1(у ззп Е2+ х сов Й). (3.38) . вй ояп( — =Фмгяпзз — Фвгсоззг+Ф,(усов(з — хяпзз). (339) Ра~венсвва (3.38) и (3.39) можно рассматривать как дифференциальные уравнения для оокулирующих элементов ( и (2. Чтобы получить аналогичное уравнение для фокального параметра р, вспом~ни~м, что р=оз(1с. 2в во Из последнего равенства следует, что с(р/с(1 = — †.
По- Р этому — ~С л (Ф ( — у соз 1 — г з!п 1 соз зз) + вр в'1 + Ф, (х соз с — г яп 1 яп Е2) + Ф, з!п 1(у яп Е) + х соз Е))). (340) Равенства (3.38) ... (3.40) — дифференциальные уравнения для ~рассмотренных оскулирующих элементов орбиты р, Е), Отметим, что полученная форма уравнений мало распространена. Значительно чаще ~в,проводимых в литературе уравнениях используют не проекции возмущающего ускорения на экваториальную систему координат Ф„, Ф„, Ф„а проекции этого ускорения на орбитальные оси. Пусть Т вЂ” проекция вектора возТ 5 мущающего ускорения на трансверсаль; 5 — проекция вектора, возму- л шающего ускорения на радиальное направление в точке, в которой находится КА (рис.
3.7); )Р' — проекция возмущающего ускорения на нормаль к плоскости орбиты (поло- С з жительное направление ))г противо- и положно направлению вектора площадей и составляет правую тройку Е векторов Т, 5, )г'). Отметим, что в литеРатУРе РаспРостРанены пРоек- Рв . зд.
Компоненты возмуции векторов ускорений, отличаю- щвщщвгв усвврв«вв 115 (3.42) г = гз!низ!п ! после алгебраических преобразований дает ай г 5!пи — — = Ж'! ч! (Iа я 5!п ! Ы1 гс05И вЂ” — %'. Уи (3.43) Уравнения для оскулирующих переменных е, гв, 1„ Уравнения для остальных оскулирующих элементов орбиты можно получить, анализируя другие пещерные интегралы невозмущенного движения. Для возможности дальнейшей ссылки на систему для оскулнрующих элементов запишем их совместно с ранее полученными уравнениями: ар — =2г1~ Р Т; (3.44) 116 щиеся от введенных направлением нормальной проекции Ю', т.
е. )Гг направляется по вектору кинетического момента. При этом правая тройка некто~ров имеет ~вид 5, Т, %'. На рис. 3.7 точка А — положение КА (характеризуется радиусом-вектором Р), мгновенная плоскость орбиты обозначена ЕАР и характеризуется долготой ~восходящего узла Й и наклонением и Положение спутника в этой плоскости характеризуется аргу~ментом широты и (угол между линией узлов и текущим радиусом-вектором). Компоненты возмущающего ускорения ~в экваториальной системе координат Ф„, Ф„, Ф, можно найти по орбитальным компонента~м Т, 5, 1Г, используя ~матрицу перехода между системами (см. табл..1.1) по соотношениям Ф„= Т ( — з!и и соз Й вЂ” соз и з!и Й соз !) + + 5 (соз и соз Й вЂ” з!и и з!и Й соз !) — Ч7 з(и ! яп Й; Фз — — Т( — яи ияпЙ+ сов исоа Й сов !)+ (3 41) +5(созияпЙ+з!и и сов Й сов!) + 1г'яигсозЙ; Ф, = Т соз и з1п 1 + 5 з!и н 51п 1 — )к соз 1.
Подстановка (3.41) в полученные у~равнения для аскулирующих элементов орбиты с учетом зависимостей координат от элементов орбиты и щи~роты (ом. рис. 3.7) х =- г (соз и соз Й вЂ” яп и зьи Й соз !); у = г (соз и яп Й+ яп и соз Й соз 1); "„; =1/ Р ([(1+ ' )со"+е — '1Т+з(пп8)1 иге Мпи — = — = — Ж'! й! (ггйр Мп) сп гсоеи — — — (р'; — = ')à — ( 111+ — ) — Т вЂ” — 5+ — С1д1З1П и)ег); (10) и Г Р 1( г ~ Б!по соео г йе )Г )с (.(, Р) е е р ( — ' И Т+ (е з1п о1ч' — сов о) 5), ер, г где 1ч'= 2ре с05 о е! о ге 1 (1 + ессеи)3 Систе|ма уравнений ~в оокулирующих элементах (3.44) является за~мкнутой системой, если учитывать сле|дуюшее обстоятельство. При за~да~нных в произвольный момент времени ! оскулирующих элементах можно определить: по уравнению Кеплера или по уравнению, из которого выводится уравнение Кеплера (оно у~ниверсально и ~не зависит от типа орбиты), истинную аномалию о спутника в момент 1 (3.44) Рзж о ео -рг), о !! + е сосо) (3.45) длину радиусаевектора спутника (3.46) 1+ е сои о аргумент широты спутника в,мгновенной плоскости орбиты (3.4?) и= а+ о.
Таким образом, при известных элементах орбиты и известных возмущающих ускорениях,неправые части системы (3.44) определены. В этих условиях исследование возмущенного движения КА с помощью этой системы может сводиться к ее численному интегрированию. Если входящие в правые части (3.44) возмущающие ускорения являются функциями координат и сксхростей КА, то на каждом шаге интегрирования приходится по оскули~рующим элемента~м находить положение и скорость КА по соотношениям раздела «Прогнозирование положения спутника в задаче двух тел».
117 Анализ особенностей уравнений для оскулирующих элементов Записанная система (3.44) есть система обыкновенных дифференциальных у~равнений шестого, порядка, разрешенная относительно п1роиэводных. Правые части этой системы есть ли|нейные однородные ф~увкции компонент, возмущающих ускорений. Если, возмущения отсутствуют Т=5=рк'=О, то правые части (3.44) обращаются в,нуль и элементы орбиты не изменяются по времен|и, как иы и положено в задаче двух тел. Обращают на себя,в~ни~мание особенности правых частей (3,.44), которые в ряде случаев усложняют ее .использован~не. При и=О теряются понятия аргумента лер~иценъра ы и момента прохождения пер~ицентра 1 .
При этом в уравневиях для г(соуй, г(1„(г(1 появляются особенности. П~рн 1=0 становятся неопределенными долгота восходящего узла ь1 и а|ргумент перине~итра со. При этом в укравнен~нях для Ю/Ж и г(со1Ж,появляются особенности. Пр~и р=О (оскулирующая орбита, прямолинейна) ста~новится неопределенной плоскость оокулирующей орбиты, что п|роявляется в особенностях у~раанений для с(ь11Ж и с((1Ж. Что касается случая р=О, то из-за того, что ~на реальных траекториях КА и спутников этот случай практически не встречается, он ме является важным (на эту особенность дифференциальной системы (3.44) часто,не .обращают вин~мания). Для того чтобы в процессе исследования не натолкнуться на особенность, связанную с обращением наклонения в ~ноль, есть возможность за основную плоскость ху системы коор~динат, в которой рассматривается движение, выбирать не экваториальную плоскость, а плоскость, которая в процессе всего движения КА не может быть плоскостью оскулирующей орбиты.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
