Константинов М.С., Каменков Е.Ф., Перелыгин Б.П., Безвербый В.К. Механика космического полета (1989) (1246269), страница 24
Текст из файла (страница 24)
При этом возможны и другие подходы. р -Я'аспг Рис. 3.8. Угловая скорость радиуса-вектора спутника в воамушеииом состоянии 118 Случай околокруговых свербит весьма интересен для црак- тик~и, поэтому особенность дифференциальной системы (3.44) прн е=О существенна. Для того что~бы исключить особенность, распространен следующий прием. Вввесто оскули~рующих эле- ментов е и ы ~рассматривают такие футвкции этих переменных Л,=есозы; ( ) 3. 48 Лг = аз(п гэ. При этом е= 3/'Л',+Л, агс(ц —, если Л, ) 0; Л2 агс1я — '+ и, если Л, < 0; Л1 (3.49) —, если Л,=О, Л,~О; — —, если Л,=О, Л,<0; неопределенно, если Л, = Л, = О. Величины Л~ и Л~ как фу~нкцни констант н~нтеприрования не- возмущенного движения также являются постоянным~и невозмущенного движения.
Использование ~их в качестве оскулирующих элементов п~риводит к следующи~м уравнен~ням: — '= ~' — ( Т1 1+ — ) сози+ Язгп и+ ») + — (Т Л, — Ж' Л, с1я ю' з(п и) ~; Р— =- у — 1 Т ~ 1+ — ) з(п и — Я соз и+ а — 'г' + — (ТЛ, +Ж'Л,с(йюз1пи)~. Р Последние уравнения не содержат особенностей при е=О, ими можно заменить второе и пятое уравнения системы (3.44), оскулирующие значения е и гв при этом подсчитываются по (3.49).
Что касается последнего уравнения из (3.44) (оно характеризует 1„— момент прохождения перицентра), существуют несколько приемов избавиться от сложностей этого уравнения. Остановимся на одном из приемов, идея которого взята из [62). При этом дадим информацию, представляющую самостоятельный интерес. Угловая скорость радиуса-вектора спутника в возмущенном движении в каждый момент времени есть 119 вектор, перпендикулярный мгновенной плоскости орбиты. Обозначим ее 5(51/Ж. Величина угловой скорости радиуса-вектора может быть найдена из значения трансверсальной скорости спутника 'г'„= г „, =- —" (1+ е соз и). (3.50) П'! Г П Направление радиуса-вектора спутника в пространстве определяется тремя углами 11, 5, и. Введем векторы угловых скоростей Й, 5, и.
Вектор Й направлен по оси г невращающейся системы координат. Он характеризует угловую скорость линии узлов (рис. 3.8). Вектор ! направлен по линии узлов и характеризует скорость изменения угла наклона плоскости оскулирующей орбиты. Вектор и направлен перпендикулярно плоскости орбиты (по вектору интеграла площадей) и характеризует скорость изменения аргумента широты. Рассмотрим сумму введенных векторов в=Й+5+и. (3.51) 5)5!51! = 1д и.
Действительно, с помощью второго и третьего равенств из (3.43) получим Ч5 55 5!и ! 5!и и 5!и Лà — (я и. Ч! 1 Мп ! со5 ип!' Таким образом, векторная сумма (3.51) может быть разложена на две составляющие. Первая составляющая (и+Й сов !) перпендикулярна плоскости орбиты и характеризует угловую скорость вращения радиуса-вектора спутника — =. и+Й соз!'. л! (3.52) Вторая составляющая 1' 5!5+Й55(п5 !' направлена по радиусу-вектору спутника.
Так как эта составляющая угловой ско- !20 Разложим ее на три взаимно перпендикулярных компоненты. Одну компоненту возьмем вдоль линии узлов 51!=51 Вторую компоненту рассмотрим в плоскости мгновенной орбиты перпендикулярно линии узлов 515=Й 51п 51 третья компонента направлена вдоль нормали к плоскости 515=и+Й сов 5 Докажем, что сумма двух компонент 51!+515 направлена по радиусу-вектору спутника. Для этого достаточно показать, что г' — = )гг)в р = о. нч Н1 Из последнего соотношения следует, что константа площадей в возмущенном движении выражается через полную угловую скорость радиуса-вектора спутника (а не через гЬ/Ж, как в невозмущенном движении).
Используя последние два равенства, получим и = ~г — — Й соз( РР гв Именно этим равенством можно заменить имеющее особенности уравнение для оскулирующей переменной („. Действи. тельно, система уравнений ш 1г 1г гà Р— — (Т 1+ — соз и+Выпи+ — (г Л,— г ° ) — (Р'Л, с1явып и)); — ' = ! гг Р (Т ( 1+ — ~1 з(п и — 5 соз и + — (ТЛ, + Р + (Р'Л, с1Н( з(п и)); К; вп )г 1вР мп 1 сн гсов и — — Ф'; и ргР о'и рг Р г — + — зш и с1я((г' ог гв не имеет существенных особенностей. Используя ее, не приходится решать уравнение Кеплера, брать квадратуру М, входящую в (344). В случае круговой орбиты (Лв=Лв=О) истинная аномалия не определяется, здесь г=р.
Сделаем два замечания. !. Обратим внимание на то, что последнее уравнение в системе (3.53) не есть уравнение для оскулирующего переменного. 121 (3.53) рости направлена по радиусу-вектору, то она никак не влияет на его угловую скорость. Таким образом, нами доказано, что угловая скорость радиуса-вектора спутника в возмущенном движении определяется соотношением (3.52). С другой стороны, эта же угловая скорость удовлетворяет равенству, полученному с помощью (3.50): Правая часть этого уравнения не обращается в нуль при отсутствии возмущений.
Действительно, аргумент широты монотонно изменяется и в невозмущенном движении со скоростью '1/ цр/г' (целесообразно не ограничивать и диапазоном О... 2п, а рассматривать монотонной переменной). Авторы [62] предлагают рассматривать не аргумент широты, а отклонение аргумента широты от невозмущенного движения. 2. Дифференцируя равенство, следующее из уравнения орбиты г(1+есозэ) =р, и используя выражения для оскулирующих переменных с(е/Ж, др/Ж, можно получить дифференциальное уравнение для истинной аномалии в возмущенном движении Это равенство может быть использовано при анализе возмущенного движения. Таким образом, в данном разделе введено понятие оскулирующих элементов орбиты, записаны дифференциальные уравнения, характеризующие изменение оскулирующнх элементов в возмущенном движении, проанализирован вид и особенности этих уравнений.
3.3. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И ВЕКОВЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ОРБИТЫ СПУТНИКА Системы дифференциальных уравнений для оскулирующих элементов (3.44) или (3,53) являются точной моделью возмущенного движения КА. Таким образом, исследование возмущенного движения может заключаться в нахождении компонент возмущающих ускорений Ф=(Т,5, й21 и численного интегрирования системы (3.44) или (3.53). Трудоемкость такого интегрирования несмотря на определенные преимущества, которые существуют при интегрировании этих систем по отношению к системам, описывающим изменения, например, прямоугольных декартовых координат спутника типа (3.23), велика. Нужно отметить, что чаще всего правые части дифференциальных уравнений для оскулирующих переменных вычисляются значительно сложнее правых частей системы (3.23).
Основным преимуществом уравнений для оскулирующих элементов является возможность их приближенного исследования. Дадим одну из возможных трактовок такого исследования. При этом будем рассматривать движение спутника, предполагая, что его траектория многовитковая и оскулирующий эксцентриситет в каждой точке орбиты меньше единицы (оскулирующая траекто- 122 рия — эллипс). Все возмущения орбиты спутника можно разделить на две большие группы: периодические и вековые. Периодическими называются возмущения элементов орбиты, появляющиеся в течение одного оборота спутника и не накапливающиеся от оборота к обороту. Поскольку время одного оборота невелико (ограничено), а возмущающие факторы (ускорения) малы, то и периодические возмущения (отклонения элементов орбиты от элементов в невозмущенном движении) будут малы.
Вековыми называются возмущения элементов орбиты, которые, возникая на витке орбиты, накапливаются от витка к витку. Эти возмущения могут быть весьма значительны, так как являются результатом воздействия малых возмущающих ускорений на больших интервалах времени. В дальнейшем в качестве примера приведены некоторые цифры, дающие оценку периодических и вековых возмущений. Здесь же отметим, что периодические возмущения от нецентральности гравитационного поля Земли в координатах спутника могут иметь порядок десятка километров.
Вековые же возмущения орбиты спутника при значительном времени существования могут достигать тысяч километров и более. Понятно, что неучет периодических возмущений может быть допустим на определенных этапах проектирования спутника и его орбиты. С другой стороны, вековые возмущения чаще всего приходится учитывать. Остановимся на анализе лишь вековых,возмущений орбиты ИСЗ. Общий подход к анализу вековых возмущений орбиты спутника Общую идею используемого в разделе подхода можно назвать идеей конечных разностей. Рассмотрим один из элементов оскулирующей орбиты Еь Уравнение для этого элемента, полученное в предыдущем разделе, имеет вид ' — '=6(Ео ...,Ем ~, Т, З,)Р).
(3.55) ж Найдем приращение этого элемента орбиты за виток траектории и+тнеу и+т ЛЕз= ~ — 'йг= ~ )з(Е, Е, ~ Т, 3 К)йй (3 56) где ~1 — начальный момент времени; Т вЂ” время, в течение которого спутник сделал полный оборот вокруг Земли. Причем Еь ..., Ем входящие в подынтегральное выражение, можно считать постоянными, соответствующими начальному моменту ~ь Интеграл в (3.56) может быть вычислен, если возму- 123 щающие ускорения выражены через время и через элементы орбиты.
В ряде случаев для определенной структуры возмущений удается аналитически вычислить квадратуру (3.56) и получить аналитическую запись приращения элемента орбиты за виток траектории (получить вековое возмущение элемента орбиты) ЬЕ,=д.(Е„..., Е,). (3.57) Таким образом, (3.57) определяет приращение элемента орбиты за виток траектории. Считая, что это приращение от витка к витку траектории изменяется слабо и достаточно мало, то его можно рассматривать как производную от элемента орбиты по числу оборотов спутника У, т. е. рассматривать дифференциальное уравнение йЕ~ ИМ вЂ” = д~ (Е„..., Е8) . (3. 58) Если такую операцию провести для всех оскулирующих элементов орбиты, то можно получить полную систему для анализа вековых возмущений спутника АЕ, — К~ (Еь — Ев) дМ (3.59) с~и -)/ „, ~й /гз 1= [1+ — Кс19(з)пи~ ЬР (3.60) (3,61) где 124 Система (3.59) дает возможность анализировать только вековые уходы элементов орбиты, шаг ее интегрирования может быть равен оборотам спутника, трудоемкость ее исследования несоизмеримо меньше трудоемкости исследования (3.44).
Система (3.59) иногда называется осредненной (по виткам) системой для оскулирующих элементов. 3 а м е ч а н и я. 1. Чтобы не возникло дополнительных трудностей с нахождением времени полного оборота спутника Т, входящего в (3.56), обычно в уравнениях для оскулирующих элементов предварительно переходят от времени, как независимого переменного, к аргументу широты и. Для этого можно воспользоваться связью 1 и и (последнее уравнение из (3.53)) Уравнения (3.44) для оскулирующих элементов р, е, 12, й гп при этом можно переписать в виде — =- — г Т; р 21 2 йи и йе ге/Гl г т г — = — ( ( 1+ — ) Т созе+ 521п е+ е — Т1; ис( р) р НГ2 ге У 2!и и — — — (р'; йи ир мп2 (З.б2) еп ге! — = — — соз и'К; ии ир йе ге(Г/ г — = — ~ ( 1+ — ) Т з(п и — 5 соз о+ е — К с1д(21п и~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
