Константинов М.С., Каменков Е.Ф., Перелыгин Б.П., Безвербый В.К. Механика космического полета (1989) (1246269), страница 22
Текст из файла (страница 22)
При этом для заданных (конкретных) начальных условий ~движения с помощью какого-либо метода численного интегрирования (метода Рунге — Кутта оп~ределенного порядка, Адамса и т. д.) решают задачу Коши и численно строят траекторию КА. Пр~и этом ~возникают определенные трудности, связанные с выбором шага интегрирования, оценкой точности расчета траектории, трудоемкостью вычислений (большим ма- шинным временем, необходид,~ з,/ мостью использования двойной ! / з точности при расчетах) и т.
д. 1 / Такие трудоемкие расчеты ут практически невозможно (да- А же с учетом современного разг, Ут вития вычислительной техни- лт кн) широко проводить на эта- А пе проектных изысканий, при проектировании космических Рис. 3.6. Осиулируиииие элементы ор- объектов, при проектировании биты: орбит КА. В таких случаях должны помогать приближен!он но-аналитические исследования или другие подходы к анализу возмущенного движения ИСЗ. Одним из таких подходов, нашедших широкое применение в механике космических полетов, является метод оскулирующих элементов орбиты. Суть его заключается в следующем.
Пусть траектория воз~мущевного движения спутника есть дуга АВ (рис. 3.6). В какой-либо момент 1~ спутник ~находится в точке А, (радиус-вектор г~) и имеет скорость Рь Если предположить, что в этот момент 1~ спутник начал двигаться в рамках задачи двух тел (возмущающие ускорения на него перестали действовать), то его траектория (орбита) будет кривой второго, порядка, один из фокусов которой будет расположен в точке С. Элементы такой орбиты .(рь е„йь ц, вь 1ш) будут определяться начальными условия~ми г„Рь 1ь Если бы возмущений,не существовало, траектория полностью определялась бы этими элементами.
Такая траектория на рис. 3.6 обозначена дугой А~Во А~В, касается реальной траектории КА А,В в точке А, (вектор Рь как скорость на реальной возмущенной траектории, начинающейся в Аь касается этих траекторий). Если, возмущающее ускорение мало по отношению к основному, то реальную траекторию в окрестности точки А,,можно приближенно заменить частью дуги А~Во Рассмотрим ~момент в~ремени 1» Пусть КА в этот ~момент находится,в точке А2 возмущен~ной траектории. Аналогично уже построенной дуге А,В~ построим коническое сечение А,Вы соответствующее невозмущенному движению с начальными условия~ми гм 7ь 1» Элементы такого конического сечения обоз~начим р„ем ..., 1вь Дуга А,В„так же как и А,Вь касается возмущенной траектории АВ и может служить приближением траекто~р~ии КА.
Рассматривая последующие моменты времени 1м 14 ит.д., можно было бы построить дуги невозмущенного движения АзВм А4Во ... с элементами р„ез, ..., 1 з, 'р4, е4, ..., ~„« и т.д. Таким об~разом, исследование возмущенной траектории КА может быть сведено к анализу совокупности невозмущвнных траекторий, соответствующих каждому,монументу времени. Д~руги~ми слова~ми, прои анализе возмущенного движения мы можем считать, что ~в любой ~момент времени КА находится на дуге конического сечения с определенными з~начениями элеме~нтов орбиты, и коническое сечение по,д~вижению КА из~меняется. П~ри этом изменяются элементы орбиты КА, т. е. р=. р(1), Й= й (1), а=в (1), е = е (1), 1 =1 (г), 1 = 1„(1).
(3.19) Форма и размер орбиты, положение орбиты в пространстве изменяются. Орбита как бы «разбухает», «поворачивается» и т. д. Причем, если возмущающие факторы малы, эти изменения протекают ~медленно. !ов — = а«+ Ф„»+ Ф,»+ Ф„„; й~ Д Жз аз+ Фаз+ Фаз+ Флз дз з лзз =-а,+ Ф„,+ Ф„+ Ф „ (3.20) можно свести к анализу изменения оокулир~ующих элементов орбиты КА. Такое преобразование ~можно трактовать как замену переменных в системе дифференциальных ура~внешний (3.20). От переменных этой системы (она шестого порядка) х(1), у (1), з(1), г'» (г), У„(1), 1', (1) (3.21) можно перейти к оскули~рующим элементам Р (1), е (1), Й (1), 1(1), ы (1),1 (().
(3.22) Прежде чем осуществить переход, выявим возможные преимущества такой замены переменных. Совершенно ясно, что надеяться на а~налитическое решение системы дифференциальных уравнений,в новых переменных не приходится. Какие же .преимущества имеет еноте~ма с оокулирующими переменными? Пожалуй, все эти преимущества вытекают из единственного факта: в невозмущенном движении 110 Элементы орбиты, рассматриваемые как функции времени, через, которые коордвнаты и составляющие скорости в воз~мущенном движении выражаются теми же формула~ми, что и в невозмущенном дв~ижвнии, называются оскулируюзцими элементами орбиты. Реальная ~возмущенная траектория есть огибающая оскулирующих ксзнических сечений А~Вб АзВз; АзВз и т.
д. Понятно, что совокупность оскулируюш1их элементов в виде (3.19) — не единственная совокупность. Как ~н при определении элементов орбиты не~возмущенного движения, можно пользоваться любыми независимыми шестью постоянными интегри~ров~ання задачи двух тел. Так, вместо фекального параметра как оскул~и~рующего элемента орбиты р(1) часто ~рассматривается большая полуось а(1). Если для какого-либо ~момента в~ремени 1* известны оскулирующие элементы орбиты ИСЗ (р*, е*, ..., 1*„), то однозначно можно найти координаты спутника, скажем, в экваториальной системе координат (см. равд. «Прогнозирование положения спутника в задаче двух тел»). По элемвнта~м орбиты легко наход~ится и скорость сну~ника.
Та~ким образом, исследование траектории, возмущенного движения КА, описьпваемого уравнением (3.18) или проекц~иями этого уравнения на геоцентрнчеокую нев~ращающуюся систему координат эти переменные являются постоянныы~и интегрирования, константами. Поэтому, так как возмущения малы, то оскулирующие элементы из~меняются медленно. При использовании числен~ных методов интегрирования это дает .надежды на достаточно большой шаг интегрирования при достиже~н~ии высокой точности.
Но основанные преи~мущест~ва оскулирующих элементов проявляются при проведении приближенно-аналитических исследовавший. Идея их .может заключаться,в том, что приращение оскулирующих элементов орбиты оп~ределяется ~на инте~рвале траектории КА, ~в~а ~котороы оокул~ирующие элементы п~редполагаются неизменны~ми. После того, как:некоторые идеи анализа уравнений для оскули~рующих элементов изложены (они должны были пояснить целесообразность перехода в у~разве~виях (3.20) от прямоугольных .координат (3.21) к оокулнрующиы элемента~м (3.22)), осуществим вывод уравнений в оскули1рующих эле~ме~нтах.
Вывод уравнений в оскулирующих элементах Возможных подходе~в вывода урав~нений в оскулирующих элементах иного, од~вако во всех случаях по существу проводится переход от переменных, в которых записана дифференциальная система возмущенного движения, к другим переменным — оскулирующим элементам. Будем использовать подход, освоив~ой идеей которого является метод ва~р~иации произвольных постоянных п~ри реше~нин систем дифференциальных уравнений. Идея вы~вода уравнений.
Пусть известна запись уравнений возмущенного движе~н~ия в прямоугольной декартовой системе координат л у„лу, лу — "га+Ф, — 'га+Ф. д к1 л л1 р1 Система состо~ит из шести скаля~р~ных д~ифференц~иальных ура~в~пений первого порядка. Первые три — у~равнения сил (дина~мические ура~ниенна, оп~исывающие воз~мущенное движение спупн~ика).
Последние трои — кинематические связи. Отметим, что в дальнейшем будут использованы два свойства системы (3.23): л1ра~вые части у~равнений сил долнены представлять сумму двух слагаемых (первое слагаемое определяется основным ускорением, второе — .возмущающим); 11! ~~ х — =а„; — =У„; дг " ' дг дуг ду =а; — =У дг "' и (3.24) дуг аг — =а,; — = У,. дг ' ' дг Пусть общий интепрал системы (3.24), описывающей невозмущенное движение, представлен следующи~м образо~и: фг (х, у, г, 1'г, У„, У„г, Сг, С, Сг, Сг, С„С,) =О (г= 1, ..., 6), (3.25) где С„ ..., Сг — постоянные интегрирования. Из (3.25) следует, что в невоз~мущен~ном движен~и~и выполняется следующая система ~ра~венств: дф~ дх дфг ду дфг дг д грг дУх дх дг ду дг дг Ж ду дг дф; дуг дфг дуг, дф~ + — + — — + — =О дур дг ду» дг дг (3.26) (1 = 1, ..., 6).
Или, используя (3.24), получим — У,+ — У„+ — 1',+ а„+ дфг, дфг дфг д фл дх ду дг ду„ + — а„+ — а,+ — = О. дфоп дфг дфг дуг дУг дг (3.27) Будем искать решение системы (3.23), описывающей возмущенное движение слутпика, в виде (3.25), полагая, что С„... г!2 правые части кинематических связей не содержат никаких возмущений, в общем случае являются функцией координат и скоростей. Это за~мечан~ие дает возможность рассматривать .дифференциальную систему возмущенного движения не толь- но л прямоугольной декартовой системе, координат (3.23), но и отмооителыно многих других систем координат, в других перевген~иых. Невозмущенное движение спутника может быть исследовано с помощью системы (3.23), если положить нулевыми возмущающие ускоренияг Сз являются фу~нкцияаги времени (идея метода ~вариации постоянных).
Тогда из (3.25) следует д~р~ дг дф; Ыу дф; дг — — + — — + — — + дх др ду Ш де д1 д'И (~~х д~И дру дфр дуг + дУя дг д1'д дг д Уг Ш дг дСг Ш д Сз дг д Св Ю (1= 1, ..., 6). Используя (3.23), из (3.28) получ~им дф,у дф~ дфру+дф~ ( +1 + дх ду " дг ' ду (ау+ Фу) + — 'р' (а, + Ф,) + ф' -1- дуу д Уг дг + — ' — ' + ' — +... + — ' — =0 (3.29) дф; дС~, дф ОСА дф; дС, дСг Ж дС2 д1 дСв дг (1= 1, ..., 6). Учитывая (3.27), последнюю систему равенств можно пере- писать в виде дф, дСз дф~ ЙС2 дул 0Св — — + — — + -+ д Сз д1 д С2 дг д Сз д1 (3.30) дУх дуу дуг (1 = 1, ..., 6). Си~етому равенств (3.30) можно рассматривать как алге- б~раическую относительно с/С,/а/, с/С,/г/1, ..., г(Св/Ж.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
