Константинов М.С., Каменков Е.Ф., Перелыгин Б.П., Безвербый В.К. Механика космического полета (1989) (1246269), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Единичный вектор, направленный по гь есть г~/гь Скаляр.ное произведение единичных векторов равно косинусу угла между векторами. Отсюда сози,=(~, —" ) =(х,созЙ+у,з(пЙ) —. (2.79) ,,) Для однозначного нахождения и, нужна информация о знаке з!п иь Для получения такой информации можно рассмотреть векторное произведение тех же единичных векторов р и г,/гь В ,результате математических преобразований получим (агссоз( — ' созЙ+ ~' з(пЙ), если зг(п( ' з(пЙ)= Г~ = з )п (дт " и г~ )ги); (2 80) — (' - "' ) г кг Нг . ~ ! а~ — агссоз ( — ' соз Й+ — ' з!п Й), если зпп( — 'з)пЙ) = Г, Г, Г, = — зпп (у, 'г'„— г, Ь',т). 7. Определяем аргумент перицентра а=и,— и,.
(2.81) Эта простая геометрическая связь следует из определения фигурирующих в ней углов (см. рнс. 2.12). 8. Определяем эксцентрическую аномалию заданного положения. Эксцентрическая аномалия орбиты спутника для момента /~ равна Е,=2агс!а~ф —, !к — ' ) С помощью уравнения Кеплера определяем момент прохождения пернцентра Последние два соотношения записаны для эллиптической орбиты. Аналогично эти соотношения можно записать для гиперболической орбиты.
Для параболической вместо них можно использовать равенство, вытекающее из (2.70) Г,з 2 Таким образом, найдены все шесть элементов орбиты по условиям движения в одной точке орбиты (по начальным условиям движения). 92 Прогнозирование положения спутника в задаче двух тел Рассмотрим задачу определения положения спутника в любой заданный момент времени Ро если известны элементы орбиты. Если заданы элементы орбиты спутника (все шесть), то движение спутника в рамках задачи двух тел полностью определено и поставленная задача об определении положения спутника в любой момент времени однозначно решается. Коротко сформулируем задачу. Дано; 1ь, р, е, 11, 1, оз, 1, 1ь Найти: гь(6~). Для решения такой задачи, кроме прямоугольной декартовой системы координат Схуз, которая чаще всего предполагается экваториальной, рассмотрим перицентралоную систему координат С9т1~.
Ее начало пусть совпадает с гравитационным центром. Ось Сь перпендикулярна плоскости орбиты и направлена в сторону, с которой вращение радиуса-вектора спутника видно проходящим против часовой стрелки (по внешней нормали к плоскости орбиты). Ось С$ направлена в перицентр орбиты спутника, Ось Ст1 дополняет систему С~т1~ до правой. Рис. 2.13 иллюстрирует взаимное положение рассматриваемых систем координат. Это положение фиксировано с помощью трех углов ьа, й еь Для нахождения положения спутника в экваториальной системе координат можно поступить следующим образом: найти координаты спутника в перицентральной системе; пересчитать эти координаты в экваториальную систему.
1. Нахождение перицентральных координат с п у т ни к а. Обратимся к рис. 2.14. На нем нарисована плоскость орбиты спутника, перицентральные оси С9 и Стр Текущее положение спутника в момент 1~ отмечено раднусом-векто- Рис. 2.13. Связь экваториальной и пе- Рпс. 2Л4. Перицентральаые коорднрицентральной систем координат наты КА 93 ром СА=Е Параметрическое уравнение эллиптической орбиты в этой системе координат может быть записано с учетом равенств (2.68) и использованием того, что система координат С$т! смещена относительно геометрического центра эллипса на фокальное расстояние с=ае в виде 9 = а соз Š— а е = а (соз Š— е); т! =ЬяпЕ; 9=0. (2.82) Значение эксцентрической аномалии в заданный момент времени следует найти с помощью уравнения Кеплера Е,— ез(ПЕ,= )/ — '~, (1,— 1„).
(2.83) (2.84) где — СО5 йЯП В— — 5!П й СО5 В СО5 ! 51П й 51П ! — соз й яп1 СОЗИСО5В— — Янй51ПВСО5! — япйяпв+ + соз й соз в со5 ! япйсозв+ + соз йз!пвсоз ! В= соз ! 51п1соз в яп ! яп в 94 Таким образом, нахождение перицентральных координат 9, и,,". сводится к решению трансцендентного уравнения Кеплера (2.83) относительно Е, и подстановке найденного Е! в равенства (2.82).
2. Нахождение экваториальных координат с п ут н и к а. Обратим внимание на то, что переход от экваториальной системы координат к перицентральной аналогичен переходу от экваториальной системы к орбитальной, описанному в равд. 1.2. Орбитальная система фиксировалась относительно экваториальной углами й+270' (~поворот вокруг оси Сг), !+ +180' (поворот вокруг оси Су'), 360' — и (поворот вокруг оси Сз"). Перицентральная система фиксируется относительно экваториальной углами й, 1, в. Переход от геоцентрической не- вращающейся системы к перицентральной осуществляется поворотами: на угол й вокруг оси Сг, на угол ! вокруг оси Сх', на угол в вокруг оси Сги (рис. 2.14).
Описав повороты так, как это проводилось в равд. 1.2, перемножив матрицы этих поворотов, получим матрицу перехода от геоцентрической системы координат к перицентральной. Тогда получение координат КА в экваториальной системе сводится к следующей операции: Таким образом, задача прогнозирования движения спутника в рамках задачи двух тел сводится к решению уравнения Кеплера (2.83), вычислению а, ть ~ по (2.82) и проведению матричной операции (2.84). В данном разделе были введены элементы орбиты спутника, показано, как эти элементы находятся по условиям движения в какой-либо (например, начальной) точке орбиты. Рассмотрена задача определения положения спутника в произвольный момент времени, если известны элементы его орбиты.
В настоящей главе достаточно подробно проанализировано движение КА относительно гравитирующего тела в рамках задачи двух тел. Полученные решения будут использованы при исследовании траекторий КА различных классов. Это прежде всего траектории ИСЗ и других небесных тел, которые в первом приближении можно рассматривать в рамках задачи двух тел. Это и участки траектории межпланетных КА, и участки траекторий КА, маневрирующих в окрестности планет и т.
д. Таким образом, материал настоящей главы является основой исследования траектории многих классов КА, рассматриваемых далее. г л А в А 3. ДВИЖЕНИЕ ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ Искусственным спутником Земли (ИСЗ) называется Кл, выведенный на орбиту вокруг Земли для решения научных и прикладных задач. В рамках задачи двух тел можно в ряде случаев достаточно точно исследовать движение ИСЗ относительно Земли. Но, безусловно, полученная при этом траектория (орбита) должна рассматриваться как некоторое приближение реальной траектории спутника.
При исследовании траектории спутника нужно учитывать болыпое число возмущающих факторов. К этим возмущающим факторам (возмущающим силам) следует отнести: гравитационные силы, связанные с «неправильностью» фигуры Земли (нецентральность гравитационного поля Земли); аэродинамические силы, которые могут быть весьма существенны, если исследуется движение низких спутников, Земли; силы тяготения Луны, Солнца и других небесных тел. Кроме перечисленных факторов, которые чаще всего считаются основными возмущениями, в некоторых случаях приходится учитывать и силы более сложной структуры: электромагнитные, реактивные, связанные с сублимацией материала, силу светового давления и т. д.
Движение КА с учетом перечисленных возмущающих факторов будем называть возмущенным. В этом смысле движение в задаче двух тел назовем невозмущенным. ЗЛ. ВОЗМУЩАЮШИЕ УСКОРЕНИЯ ПРИ АНАЛИЗЕ ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА Для описания движения в задаче двух тел использовалась дифференциальная система шестого порядка (2.7). Гравитационное ускорение, входящее в правую часть (2.7), будем называть основным ускорением при исследовании возмущенного движения КА и обозначим а= — — т. Таким образом, не- Р тЗ возмущенное движение описывается системой: аа г/Й' = а. 96 В возмущенном движении учитываются эффекты от возмущающих факторов.
Если обозначить Ф вектор суммарного. возмущающего ускорения, то дифференциальная система, описывающая возмущенное движение, примет вид Й' г~ И' = и '~- Ф. В настоящей главе исследуются такие траектории КА, на которых возмущающее ускорение существенно меньше основного: (Ф! « )а!. При этом решение задачи двух тел (невозмущенное движение) действительно может являться первым приближением возмущенного движения.
Для создания полной модели возмущенного движения необходимо обратиться к описанию возмущающих ускорений„ входящих в Ф. Нецентральность гравитационного поля Земли Если во всех точках шара, равноудаленных от его центра, плотность равна, то говорят, что шар имеет сферическое распределение плотности. Если бы Земля была шаром со сферическим распределением плотности, то можно было бы показать, что гравитационная сила такой Земли была бы равна ньютоновской гравитационной силе точечной массы, равной массе Земли, помещенной в ее центр, т. е., если бы Земля была такой «правильной», то гравитационная сила, действующая на спутник, была бы та же, что и в задаче двух тел.
Реальная Земля существенно сложнее. Прежде всего на гравитационное ускорение влияет полюсное сжатие Земли. С определенной степенью точности можно считать, что сечение Земли плоскостью, проходящей через ее ось, имеет форму эллипса с большой полуосью, равной экваториальному радиусу )«„= =6378,245 км, и малой полуосью, равной полярному радиусу )с,, =6356,863 км.
Коэффициент сжатия Земли подсчитываетсм так: а = " '" — = 0,0033523. 298,3 Для того чтобы найти гравитационный потенциал произвольного тела, необходимо каждую элементарную массу тела рассматривать как притягивающую материальную точку и суммировать (проинтегрировать) элементарные ньютоновские потенциалы материальных точек тела по всему его объему.
Обычно такой интеграл вычисляют, раскладывая подынтегральную функцию в ряд по сферическим функциям (4]. Для модели « — 8 97 Земли как сжатого сфероида получают следующее приближен- ное равенство: (7 = ~' — ~' 6(381пэср — 1), г Зсэ (3.3) где 1ьэ — гравитационный параметр Земли; г — расстояние от центра Земли до точки, потенциал в которой рассматривается; эр — широта точки; эээ ~~ 6 =Я' (з — — ''э)-1 6242 10 — з баэз 66 07.10э км' дэ — ускорение свободного падения на экваторе; ы. — угловая скорость собственного вращения Земли. В литературе [4) встречается н эквивалентное (3.3) выражение для потенциала Земли в виде и= — "; ()+У,( — ") —,' (Зз)п' р — 1) ), 98 где У,= — 1098,08 !Π— '.
Первое слагаемое справа в равенстве (З.З) есть ньютоновский потенциал. Второе слагаемое учитывает сжатие Земли по полюсам. Многочисленные исследования показали, что в громадном большинстве задач проектирования орбит ИСЗ оказывается достаточным рассматривать гравитационный потенциал Земли в виде (З.З). Такой потенциал часто называют нормальным. С другой стороны, понятно, что задача точного прогнозирования траектории спутника на длительный интервал времени требует более сложных моделей земного потенциала, учитывающего аномалии. Существуют и оценки вклада возмущения каждой гармоники в общее возмущение 143; 57; 9). По результатам этих исследований можно сделать вывод о том, что учет гармоник, не входящих в нормальный потенциал, очень слабо (на проценты) изменяет характер возмущения орбиты ИСЗ, а основное возмущение орбиты связано со сжатием Земли.
Имея это в виду, рассмотрим возмущения, обусловленные сжатием Земли. В гл. 1 был приведен (1.22) общий вид используемого в настоящее время потенциала гравитационного поля Земли, содержащий большое число членов разложения, называемых зональнымн у„( ээ) Р„(з(п цэ) (п=З, 4...), тессеральными— (Ъ) '" Я ~э ) Рл (81п Ч) (Аэь соз й э'+ ~эх 81п лп) (й=!,, и; п=2,...). Для того чтобы получить проекцию гравитационного ускорения на какое-либо направление, достаточно найти производную потенциала по этому направлению. Так, проекцию гравитационного ускорения для Земли как сжатого сфероида на радиальное направление с учетом (3.3) можно записать как л„= — = — — + — (3 51п гр — 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
